Sujet du bac S 2009: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Analyse de suites de fonction, géométrie dans l'espace, étude de courbe et loi de probabilité exponentielle.
Sujet du bac 2009, Terminale S, Métropole, seconde session

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

Bac S – France – septembre 2009 Exercice 1(6 points) Commun  tous les candidats 2 Soitla fonction dfinie sur lintervalle [0 ;+∞[ par(x) = ln(x+ 4). PARTIE A 1)tudier le sens de variation de la fonctionsur lintervalle [0 ;+∞[. 2)Soitgla fonction dfinie sur lintervalle [0 ;+∞[ parg(x) =(x) –x. a)tudier le sens de variation de la fonctiongsur lintervalle [0 ;+∞[. b)Montrer que sur lintervalle [2 ; 3] lquationg(x) = 0 admet une unique solution que lon noteraα. −1 Donner la valeur arrondie deα. 10 c)Justifier que le nombre relαest lunique solution de lquation(x) =x. PARTIE B Dans cette partie, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation.  On considre la suite (u n ) dfinie paru 0 = 1 et pour tout entier naturelnpar :u n+1 = (u n ). La courbereprsentative de la fonctionet la droiteΔdquationy=xsont traces sur le graphique donn en annexe ( rendre avec la copie). 1) partir deu 0 , en utilisant la courbeet la droiteΔ, on a placu 1 sur laxe des abscisses. De la mme manire, placer les termesu 2 etu 3 sur laxe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. 2)Placer le point I de la courbequi a pour abscisseα. 3)a) Montrer que, pour tout nombre entier natureln, on a : 1u n α. b) Dmontrer que la suite (u n ) converge. c) Dterminer sa limite.

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Exercice 2(5 points) Commun  tous les candidats Lespace est muni dun repre orthonormalO  . 1)On dsigne parle plan dquationx+y– 1 = 0 et par le plan dquation y+z– 2 = 0. Justifier que les planset sont scants et vrifier que leur intersection est la droite,  x= 1 –t   dont une reprsentation paramtrique est : y=t  ,otdsigne un nombre rel.   z= 2 –t 2)a) Dterminer une quation du planpassant par le point O et orthogonal  la droite. b) Dmontrer que le point I, intersection du planet de la droite, a pour coordonnes  (0; 1 ; 1). 1 1 3)) et (1 ; 1 ; 0).; 0 ;Soient A et B les points de coordonnes respectives (– 2 2 a) Vrifier que les points A et B appartiennent au plan. b) On appelle A et B les points symtriques respectifs des points A et B par rapport au  pointI.  Justifierque le quadrilatre ABAB est un losange. c) Vrifier que le point S de coordonnes (2 ; –1 ; 3) appartient  la droite. d) Calculer le volume de la pyramide SABAB. On rappelle que le volume V dune pyramide de base daire b et de hauteur h est : 1  V= bh. 3

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Exercice 3(4 points) Commun  tous les candidats PARTIE A x Soitla fonction dfinie sur lensemble des nombres rels par(x.) = e     On appelle  O .dans un repre orthonormalla courbe reprsentative de la fonction 1)Soitaun nombre rel. Dmontrer que la tangente  la courbeau point M dabscissesa coupe laxe des abscisses au point P dabscissea– 1. 2)Soit N le projet orthogonal du point M sur laxe des abscisses.  Dmontrer que NP = –. PARTIE B Soitgune fonction drivable sur lensemble des nombres rels telle queg(x)≠0 pour tout nombre relx. On appellela courbe reprsentative de la fonctiongdans un repre orthonormalO. g Soitaun nombre rel. On considre le point M de la courbedabscisseaet le point N projet g orthogonal du point M sur laxe des abscisses. Soit P le point dintersection de la tangente T la courbeau point M avec laxe des a g abscisses. Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.

 g(a)  1)Dmontrer que le point P a pour coordonnesa– ;0 .   g(a) 2)Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation.  Existe-t-il une fonctiongvrifiantg(0) = 2 et NP =?

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Exercice 4(5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Un rparateur de vlo a achet 30 % de son stock de pneus  un premier fournisseur, 40 %  un deuxime et le reste  un troisime. Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans dfaut, le deuxime 95 % et le troisime 85 %. 1)Le rparateur prend au hasard un pneu de son stock. a) Construire un arbre de probabilit traduisant la situation, et montrer que la probabilit que ce pneu soit sans dfaut est gale  0,875. b) Sachant que le pneu choisi est sans dfaut, quelle est la probabilit quil provienne du −3 deuxime fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du rsultat  10. 2)Le rparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus  un tirage avec remise de dix pneus. Quelle est alors la probabilit quau plus un des pneus choisis prsente un dfaut ? On −3 donnera la valeur arrondie  10. 3)On noteXla variable alatoire qui donne le nombre de kilomtres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait lhypothse queXsuit une loi exponentielle de paramtreλ. k −λx  On rappelle que, pour tout nombre relkpositif : p(Xk) =λe dx.  0 –500 λ 1000 λ a) Montrer que p(500X.– e1000) = e b)Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative mme  nonfructueuse, sera prise en compte dans lvaluation.  Laprobabilit que le pneu parcoure entre 500 et 1000 kilomtres sans crevaison tant 1 −4  gale ,dterminer la valeur arrondie  10du paramtreλ. 4

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ANNEXE de lEXERCICE 1 ( rendre avec la copie)

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