Sujet du bac S 2009: Mathématique Obligatoire
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Description

Géométrie complexe, barycentre et coordonnées spaciales, probabilités et suites, étude de fonction et d'intégrale
Sujet du bac 2009, Terminale S, Nouvelle Calédonie

Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 janvier 2009
Nombre de lectures 71
Langue Français

Exrait

[Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie mars 2009\
EX E R C IC E1 4points Commun à tous les candidats ³ ´ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’ affixes respectiveszA=1 etzB=3+4i. Soit C et D les points d’affixes respectiveszC=2 3+i(23) et p p zD= −2 3+i(2+3). L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C. 2π 1. a.Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle 3 est le point D. b.En déduire que les points B et D sont sur un cercleCde centre A dont on déterminera le rayon. 3 2.Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport . 2 a.Montrer que l’affixezFdu point F est2i. b.Montrer que le point F est le milieu du segment [CD]. zCzFzCzF c.Montrer que= −.i 3.En déduire la forme exponentielle de zAzFzAzF Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD]. 3.Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l ’évaluation.
EX E R C IC E2 5points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ L’espace est rapporté au repère orthonormalO,ı,,k. On considère les points : µ ¶ 2 21 A(4 ; 0 ; 0),B(0 ;2 ;0), C(0; 0 ; 3)et E;; 3 39 On se propose de déterminer de deux façons la distanceδEdu point E au plan (ABC). RAPPEL :Soit (P) un plan d’équationa x+b y+c z+d=0 oùa,b,cetdsont des nombre réels avec,a,betcnon tous nuls etMun point de coordonnées ¡ ¢ xM;yM;zMla distanceδMdu pointMau plan (P) est égale à : ¯ ¯ a xM+b yM+c zM+d 2 2 2 a+b+c 1. a.Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan. −→ b.Soitnle vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4). −→ Montrer quenest un vecteur normal au plan (ABC). c.Montrer qu’une équation du plan (ABC) est : 3x+6y+4z12=0. d.Déduire des questions précédentes la distanceδE. 2. a.Montrer que la droite (D) de représentation paramétrique : x=1+t y=2t tR, 5 4 z= +t 9 3 est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E.
A. P. M. E. P.
Baccalauréat S
b.Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC). c.Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distanceδE.
EX E R C IC E3 5points Commun à tous les candidats Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles. 1 La probabilité que la première cible soit atteinte est. 2 3 Lorsqu’une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est. 4 1 Lorsqu’une cible n’est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est. 2 On note, pour tout entier naturelnnon nul : Anl’évènement : « lanième cible est atteinte ». Anl’évènement : « lanième cible n’est pas atteinte. anla probabilité de l’évènementAn bnla probabilité de l’évènementAn. 1.Donnera1etb1. Calculera2etb2. On pourra utiliser un arbre pondéré. 3 1 2.Montrer que, pour toutnN,n>1 :an+1=an+bn, 4 2 1 1 puis :an+1=an+ 4 2 2 3.Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturelnnon nul, parUn=an. 3 a.Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique. On précisera la raison et le premier termeU1. b.En déduire l’expression deUnen fonction den, puis l’expression dean en fonction den. c.Déterminer la limite de la suite (an). d.Déterminer le plus petit entier naturelntel que :an>0,666 5.
EX E R C IC E4 Commun à tous les candidats Soitfune fonction définie pour tout nombre réelxpar
6 points
x f(x)=(1+x)e . ³ ´ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,d’unité graphique 1 cm. 1. a.Étudier le signe def(x) surR. b.Déterminer la limite de la fonctionfen−∞. Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. c.On notefla fonction dérivée de la fonctionfsurR. Calculer, pour tout nombre réelx,f(x). En déduire les variations de la fonctionfsurR. d.Tracer la courbe représentative de la fonctionfsur J’intervalle [2 ; 5]. 2.On note (In) la suite définie pour tout entier naturelnpar : Z n In=f(x) dx. 1 Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte deInen fonction den.
Nouvelle–Calédonie
2
mars 2009
A. P. M. E. P.
Baccalauréat S
a.Montrer que, pour toutnN:In>0. b.Montrer que la suite (In) est croissante. 3. a.À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réelsaet b: Z b ba f(x) dx=(2b)e+(2+a)e . a b.En déduire l’expression deInen fonction den. c.limDéterminer :In. n→+∞ d.Donner une interprétation graphique de cette limite. Z α 4.DéterminerαRtel que :f(x) dx=e. 1 Ce calcul intégral correspondil à un calcul d’aire ?
Nouvelle–Calédonie
3
mars 2009
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