Sujet du bac S 2009: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

Probabilités conditionnelles, arithmétique (modulo), études de fonctions et de suites récurrentes, QCM général.
Sujet du bac 2009, Terminale S, Asie

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 69
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Asie 16 juin 2009\

E X E R C IC E points1 5 Commun à tous les candidats Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussette auprès de trois fournisseursF 1 ,F 2 , F 3 . Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseurF 1 , le tiers par le four nisseurF 2 et le reste par le fournisseurF 3 . Une étude statistique a montré que •5 % des paires de chaussette fabriquées par le fournisseurF 1 ont un défaut ; •1,5 % des paires de chaussette fabriquées par le fournisseurF 2 ont un défaut ; •sur l’ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussette ont un défaut. 1.On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise. On considère les évènements F 1 , F 2 , F 3 et D suivants : •F 1 nisseur: « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourF 1 » ; •F 2 nisseur: « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fourF 2 » ; •F 3 : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseurF 3 » ; •D : « La paire de chaussettes prélevée présente un défaut ». a.Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les évè nements précédents. Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience. b.Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseurF 1 et présente un défaut. c.Calculer la probabilité de l’évènement F 2 ∩D. d.En déduire la probabilité de l’évènement F 3 ∩D. e.Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F 3 , quelle est la probabilité qu’elle présente un défaut ? 2.L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, succesifs avec remise. a.Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot pré sentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième. b.Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes d’un lot présente un défaut est égale à 0,983.

E X E R C IC E 2 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal directO,u,v.

5 points

On place dans ce repère, les points A d’affixe 1,Bd’affixeboùbest un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive. On construit à l’extérieur du triangle OAB, les carrés directs ODCA et OB E Fcomme indi qué sur la figure cidessous.

Baccalauréat S

1.Déterminer les affixescetddes points C et D. E 2.On noterla rotation de centre O et π d’angle+. 2 a.Déterminer l’écriture complexe B der. F b.En déduire que l’affixefdu point −→ v Fest ib. c.Déterminer l’affixeedu pointE. −→ O A 3.On appelleGle point tel que le quadri u G latère OF GD soit un parallélogramme. Démontrer que l’affixegdu pointGest égal à i(b−1). e−g 4.Démontrer que=i et en déduire c−g D C que le triangleE GC est rectangle et iso cèle.

E X E R C IC E 2 Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

1.On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifsNtels que ½ N≡5 (13) N≡1 (17)

a.Vérifier que 239 est solution de ce système. b.SoitNun entier relatif solution de ce système. Démontrer queNpeut s’écrire sous la formeN=1+17x=5+13yoùxety sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17x−13y=4. c.Résoudre l’équation 17x−13y=4 oùxetysont des entiers relatifs. d.En déduire qu’il existe un entier relatifktel queN=18+221k. ½ N≡5 (13) e.Démontrer l’équivalence entreN≡18 (221)et . N≡1 (17) 2.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infruxtueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

k a.Existetil un entier naturelktel que 10≡1 (17)? l b.Existetil un entier naturelltel que 10≡?18 (221)

E X E R C IC E 3 Commun à tous les candidats

On considère l’équation notée (E) : lnx= −x.

6 points

Le but de l’exercice est de prouver que l’équation (E), admet une solution unique notéeα appartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ et d’utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement.

Asie

2

16 juin 2009

Baccalauréat S

Partie A : existence et unicité de la solution

On considère la fonctionfdéfmie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parf(x)=x+lnx. 1.Déterminer le sens de variation de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ;+∞[. 2.Démontrer que l’équationf(x)=0 admet une unique solution notéeαappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[. 1 3.Vérifier que : 6 α 6 1. 2

Partie B : encadrement de la solutionα

4x−lnx On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ parg(x)=. 5

1.Étude de quelques propriétés de la fonctiong. a.Étudier le sens de variation de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[. · ¸ 1 b.En déduire que pour tout nombre réelxappartenant à l’intervalle,; 1g(x) 2 appartient à cet intervalle. c.Démontrer qu’un nombre réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[ est solution de l’équation (E) si et seulement sig(x)=x. 1 2.On considère la suite (u n ) définie paru 0 =et pour tout entier natureln, par 2 u n+1 =g ( u n ). a.En utilisant le sens de variation de la fonctiong, démontrer par récurrence que 1 pour tout entier natureln, 6 u n 6 u n+1 6 1. 2 b.En déduire que la suite (u n ) converge versα. 3.Recherche d’une valeur approchée deα

a.À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée deu 10 , arrondie à la sixième décimale. −4 b.On admet queu 10 est une valeur approchée par défaut à 5×de10 prèsα. En déduire un encadrement deαsous la formeu 6 α 6 voùuetvsont deux décimaux écrits avec trois décimales.

E X E R C IC E 4 Commun à tous les candidats

4 points

L’exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d’entre elles, trois ré ponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s’agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué. Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1.Question 1 ′ La solutionfde l’équation différentielley+2y=6 qui vérifie la condition initiale f(0)=1 est définie sur l’ensembleRdes nombres réels par :

Asie

Réponse (1) : −2x f(x)= −2e+3

Réponse (2) : 2x f(x)= −2e+3

3

Réponse (3) : −2x f(x)= −2e−3

16 juin 2009

Baccalauréat S

2.Question 2 −→ −→−→ On considère un triangle ABC et on note I le point tel que 2IB+IC=0 . Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système : Réponse (1) :Réponse (2) :Réponse (3) : {(A, 1), (C, 2)}{(A, 1), (B, 2), (C, 2)}{(A, 1), (B, 2), (C, 1)} 3.Question 3 ³ ´ −→−→ −→ Dans l’espace muni d’un repère orthononnalO,ı,,k, on considère le planP d’équation cartésienne :x−3y+2z=5 et le point A(2 ; 3 ;−1). Le projeté orthogonal du point A sur le planPest le point : Réponse (1) :Réponse (2) :Réponse (3) : H 1 (3 ;−1 ; 4)H 2 (4 ;−3 ;−4) H 3 (3 ;0 ; 1) 4.Question 4 La valeur moyenne de la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0 ; 1] par 1 f(x)=est égale à : 2 1+x Réponse (1) :Réponse (2) :Réponse (3) : π ππ − 2 42

Asie

4

16 juin 2009