Sujet du bac S 2009: Mathématique Spécialité
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Sujet du bac S 2009: Mathématique Spécialité

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Loi de probabilité, similitudes complexe, barycentre et équation paramétrique, dérivées, suites et intégrales.
Sujet du bac 2009, Terminale S, Polynésie

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Publié le 01 janvier 2009
Nombre de lectures 93
Langue Français

Exrait

[BaccalauréatSPolynésiejuin2009\
Exercice1 4points
Communàtouslescandidats.
UneentreprisefabriquedeslecteursMP3,dont6%sontdéfectueux.
Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas
parfaite.
Cetteunité decontrôlerejette98%deslecteurs MP3défectueux et5%deslecteurs
MP3fonctionnantcorrectement.
Onnote:
• D l’évènement :«lelecteurMP3estdéfectueux»;
• R l’évènement :«l’unitédecontrôlerejettelelecteurMP3».
1. FaireunarbrepondérésurlequelonindiqueraJe...donnéesquiprécèdent.
2. a. Calculerlaprobabilitéquelelecteursoitdéfectueuxetnesoitpasrejeté.
b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté
alors qu’il n’est pas défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est
défectueux.
Calculerlaprobabilitéqu’ilyaituneerreurdecontrôle.
3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à
0,8942.
4. Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour sa-
voirsiunlecteurMP3peutêtrecommercialisé.
UnlecteurMP3est:
• commercialiséaveclelogodel’entreprises’ilsubitavecsuccèslesquatre
contrôlessuccessifs,
• détruits’ilestrejetéaumoinsdeuxfois,
• commercialisésanslelogosinon.
Lecoûtdefabricationd’unlecteurMP3s’élèveà50€.
Sonprixdeventeestde120€pourunlecteuraveclogoet60€pourunlecteur
sanslogo.
OndésigneparG lavariablealéatoirequi,àchaquelecteurMP3fabriqué,as-
socie legainalgébriqueen euros(éventuellement négatif)réalisé parl’entre-
prise.
a. DéterminerlaloideprobabilitédelavariablealéatoireG.
−2b. Calculerà10 prèsl’espérance mathématique deG.Donneruneinter-
prétationdecerésultat.
Exercice2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA:Restitutionorganiséedeconnaissances
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormaldirect.
Onsupposeraconnuslesrésultatssuivants:A.P.M.E.P. BaccalauréatS
• Pour tous points A, B et C du plan d’affixes respectives a, b et c, avec A6? C et
A6?B:¯ ¯ µ ¶ ³ ´¯ ¯b−a AB b−a −→ −→¯ ¯= etarg = AC, AB +k×2πoùk estunentierrelatif;¯ ¯c−a AC c−a
• Soit z unnombrecomplexeetsoitθunnombreréel:
iθz=e sietseulement si|z|=1etarg(z)=θ+k×2πoùk estunentierrelatif.
Démontrerquelarotationr d’angleαetdecentreΩd’affixeωestlatransformation
′ ′ ′duplanquiàtoutpoint M d’affixez associelepointM d’affixez telleque:z −ω=
iθe (z−ω).
PartieB ³ ´→− →−
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v ,unitégra-
phique1cm.
′ ′Soit f l’application qui, àtout point M d’affixe z associe le point M d’affixe z telle
que:
′z =iz+4+4i.
1. a. Déterminerl’affixeωdupointΩtelque f(Ω)=Ω
′b. Montrerque,pourtoutnombrecomplexe z ona:z −4i=i(z−4i).
c. Endéduirelanatureetlesélémentscaractéristiquesde f.
2. OnnoteAetBlespointsd’affixesrespectives a=4−2ietb=−4+6i.
a. Placerles points A,BetΩsurune figureque l’on completera aufur et à
mesuredesquestions.
′ ′b. DéterminerlesaffixesdespointsA etB imagesrespectivesdespointsA
etBpar f.
3. On appelle m, n, p et q les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs
′ ′ ′ ′dessegments[AA ],[A B],[BB ]et[B A].
a. Déterminerm.Onadmettraquen=1+7i, p=−3+3iet q=1−i.
b. DémontrerqueMNPQestunparallélogramme.
q−m
c. Déterminerlaformealgëbriquedunombrecomplexe .
n−m
EndéduirelanatureduquadrilatèreMNPQ.
′4. Démontrerquelesdroites(B A)et(ΩN)sontperpendiculaires.
Exercice2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PartieA:Restitutionorganiséedeconnaissances
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthononnaldirect.
Onsupposeraconnulerésultatsuivant:
Uneapplication f duplandanslui-mêmeestunesimilitudedirectesietseulement
′si f admetuneécriturecomplexedelaforme z =az+b oùa∈C−{0}etb∈C.
′ ′ ′DémontrerquesiA,B,A etB sontquatrepointsteIsqueAestdistinctdeBetA est
′ ′distinctdeB ,alorsilexiste uneunique similitude directetransformant AenA etB
′enB .
PartieB ³ ´→− →−
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v , unité gra-
phique2cm.
OnnoteA,B,C,DetElespointsd’affixesrespectives
z =2i, z =2, z =4+6i, z =−1+i et z =−3+3i.A B C D E
Polynésie 2 juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
1. Placerlespointssurunefigurequiseracomplétéeaufuretàmesuredesques-
tions.
2. DéterminerlanaturedutriangleABC.
3. Soit f lasimilitude planedirectetelleque f(A)=Det f(B)=A.
a. Donnerl’écriturecomplexede f.
b. Déterminerl’angle,lerapportetlecentreΩdecettesimilitude.
c. MontrerqueletriangleDAEestl’imagedutriangleABCparlasimilitude
f.
d. EndéduirelanaturedutriangleDAE.
4. Ondésignepar(Γ )lecercIedediamètre[AB]etpar(Γ )lecercledediamètre1 2
[AD].
Onnote M lesecondpointd’intersectionducercle(Γ )etdeladroite(BC),et1
N lesecondpointd’intersectionducercle(Γ )etdeladroite(AB).2
a. Déterminerl’imagedeM parlasimilitude f.
b. EndéduirelanaturedutriangleΩMN.
c. Montrerque MB×NE=MC×NA.
Exercice3 5points
Communàtouslescandidats. ³ ´→−→− →−
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  , k .
On considère les points : A(1 ; −1 ; 3), B(0 ; 3 ; 1), C(6 ; −7 ; −1), D(2 ; 1 ; 3) et
E(4; −6; 2).
1. a. Montrerquelebarycentredusystème{(A, 2), (B,−1), (C, 1)}estlepoint
E.
b. Endéduirel’ensembleΓdespoints M del’espacetelsque
° ° p−−→ −−→ −−→° °°2MA −MB +MC°=2 21.
2. a. MontrerquelespointsA,BetDdéfinissentunplan.
b. Montrerqueladroite(EC)estorthogonaleauplan(ABD).
c. Détermineruneéquationcartésienneduplan(ABD).
3. a. Déterminerunereprésentationparamétriquedeladroite(EC).
b. Déterminer les coordonnées du point F intersection de la droite (EC)et
duplan(ABD).
4. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative,
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation
Montrer que le plan (ABD) et l’ensembleΓ, déterminé à la question 1., sont
sécants.Préciserleséléments caractéristiquesdecetteintersection.
Polynésie 3 juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
Exercice4 6points
Communàtouslescandidats. ³ ´→− →−
Leplanestmunid’unrepèreorthogonal O, ı ,  .
PartieA
La courbe (C), donnée en annexe, , est la courbe représentative d’une fonction f
′dérivablesur[0; +∞[,defonctiondérivée f continuesur[0; +∞[.µ ¶
1
Lacourbe(C)passe parles points O etA 1; et, sur[0; 1], elle est audessus du
2e
segment[OA]. Z1 1′1. Montrerque f (x)dx= ·
2e0Z1 1
2. Montrerque f(x)dx> ·
4e0
PartieB
Onsaitdésormaisquelafonction f considéréedanslapartieAestdéfiniesur[0;+∞[
par:
−xxe
f(x)= .
2x +1
1. Déterminer la limite de f en+∞. Interpréter graphiquement le résultat ob-
tenu.
3 22. Onconsidèrelafonction g définiesur[0; +∞[par:g(x)=x +x +x−1.
Établir que l’équation g(x)=0admet une solution uniqueαdansl’intervalle
[0; +∞[.
′3. a. Montrerquepourtoutxde[0;+∞[, f (x)etg(x)sontdesignescontraires.
b. Endéduirelesvariationsde f sur[0;+∞[.
4. Onconsidèrelasuite(u )définiepourtoutentiernatureln par:n
Z2n
u = f(x)dx.n
n
x 1
a. Montrerquepourtout x de[0; +∞[, 06 6 .
2x +1 2¡ ¢1 −n −2nb. Montrerquepourtoutentiernatureln, 06u 6 e −e .n 2
c. Endéduirelalimitedeu quandn tendvers+∞.n
Polynésie 4 juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
ANNEXE
Exercice4
Cettepageneserapasàrendreaveclacopie
0,3
0,2 A
C
0,1
O 1 2
Polynésie 5 juin2009
b

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