Sujet du bac S 2010: Mathématique Obligatoire

[BaccalauréatSAsie21juin2010\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
CetexerciceestunQCMquicomporte8questions,numérotéesde1à8.Àchaquequestion,
uneseuledestroisréponsesnotéea,boucestexacte.Ondemandeaucandidatd’indiquer
sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n’est
demandée.
Uneréponseexacterapporte0,5point.Uneréponsefausseouuneabsencederéponsen’en-
lèventpasdepoint.
z
Dans l’espace rapporté à un repère or-? ?→− →− →−
thonormal O, ı ,  , k , on considère G H I
lespoints:A(1,0,0),B(1,1,0),C(1,2,0),
D F
D(1, 0, 1), E(1, 1, 1), F(1, 2, 1), G(0, 0, 1), E yJO KH(0, 1, 1), I(0, 2, 1), J(O, 1, 0), K(0, 2, 0)
commeindiquéssurlafigureci-contre:
A B C
x
1. Question1:LetriangleGBIest:
Réponsea:isocèle. Réponseb:équilatéral. Réponsec:rectangle.
2. Question2:Lebarycentredusystèmedepointspondérés{(O, 2), (A,-1), (C, 1)}est:
Réponsea:lepointK. Réponseb:lepointI. Réponsec:lepointJ.
−→ −→
3. Question3:LeproduitscalaireAH?FC estégalà:
Réponsea:1. Réponseb:−1. Réponsec:2.
4. Question4:LespointsB,C,I,H:
Réponsea : sont non co-Réponseb : forment unRéponsec : forment un
planaires. rectangle. carré.
5. Question5:Unereprésentationparamétriquedeparamètret deladroite(KE)est:
Réponsea Réponseb Réponsec  
x = t x = 3+4t x = 1−t  
y = 2+t y = t y = 1+t. . .  
z = t z = 4t z = 1−t
6. Question6:Uneéquationcartésienneduplan(GBK)est:
Réponsea:2x+2y−z−2=0.Réponseb: x+y−3=0. Réponsec:x+y+2z=2.BaccalauréatS A.P.M.E.P.
7. Question7:LadistancedupointCauplan(ADH)est:
p 1
Réponsea: 2. Réponseb:2. Réponsec: .
2
8. Question8:LevolumedutétraèdreHJKBestégalà:
1 1 1
Réponsea: . Réponseb: . Réponsec: .
2 6 3
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité? ?→− →−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v . L’unité gra-
π
phiqueest1cm.Onnoteilenombrecomplexedemodule1etd’argument .
2
OnconsidèrelespointsA,B,CetPd’affixesrespectives:
p p
a=−2, b=2−2i 3, c=3+3i 3 et p=10.
PARTIEAÉtudedelaconfiguration
1. Constructiondelafigure.
? ?→− →−
a. PlacerlespointsAetPdanslerepère O, u , v .
b. Déterminerlesmodulesdesnombrescomplexesb etc.
c. UtiliserlescerclesdecentreOetderayonsrespectifs4et6pourconstruireles
pointsBetC.
2. DémontrerqueletriangleBCPestéquilatéral.
π
3. Onnoter larotationdecentreAetd’angle .A 3 p
a. Vérifierquel’imageQdupointCparr apouraffixe:q=−4+4i 3.A
b. Vérifierl’égalité:q=−2b.Quepeut-onendéduirepourlespointsB,OetQ?
4. SoitRlesymétriquedeCparrapportàO.
a. Démontrerquelesdroites(AP),(BQ)et(CR)sontconcourantesenO.
b. Établirque:AP=BQ=CR.
PARTIEB
Onnote f l’application qui,àtoutpoint M duplan,associeleréel f(M)définipar:
f(M)=MA+MB+MC.
1. Calculer f(O).
2. Soient M unpointquelconqueetN sonimageparlarotationr .A
Démontrerque:MA=MN puisqueMC=NQ.
3. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiatives,même
infructueuses,serapriseencomptedansl’évaluation.
Enutilisantl’inégalitétriangulaire,démontrerquepourtoutpointM duplan,
f(M)>12.
Asie 2 21juin2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité ? ?→− →−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct A; u , v . L’unité gra-
phiqueest1cm.
π
Onnoteilenombrecomplexedemodule1etd’argument .
2
OnconsidèrelespointsB,CetHd’affixesrespectives:
b=5i, c=10 et h=2+4i.
Construireunefigurequel’oncompléteraaufuretàmesuredesquestions.
1. ÉtudedelapositiondupointH
a. DémontrerquelepointHappartientàladroite(BC).? ?h −−→ −−→ π
b. Calculer ,etendéduireque HC,HA =− [2π].
h−c 2
2. Étuded’unepremièresimilitude
BH BA AH
a. Calculerlesrapports: , et .
AH AC CH
b. Démontrerqu’ilexisteunesimilitudedirecteS quitransformeletriangleCHA1
enletriangleAHB.
c. Déterminer l’écriture complexe de cette similitude S ainsi que ses éléments1
caractéristiques.
3. Étuded’unesecondesimilitude
Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiatives,même
infructueuses,serapriseencomptedansl’évaluation
′ ′On note S la similitude qui à tout point M d’affixe z associe le point M d’affixe z2
telleque:
′z =(−1−2i)z+10.
Démontrer que S est composée d’une symétrie orthogonale d’axe (Δ), et d’une si-2
militudedirectedontlecentreΩappartientà(Δ).Préciser(Δ).
4. Étuded’unecomposée
a. Calculerlerapportdelasimilitude composéeS ◦S .2 1
b. EndéduirelerapportentrelesairesdestrianglesCHAetBAC.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Avantledébutdestravauxdeconstructiond’uneautoroute,uneéquiped’archéologiepré-
ventive procèdeàdessondagessuccessifs endespoints régulièrement espacés surleter-
rain.
Lorsquelen-ièmesondagedonnelieuàladécouvertedevestiges, ilestditpositif.
L’évènement : «le n-ième sondage est positif» est noté V , on note p la probabilité den n
l’évènementV .n
L’expérienceacquiseaucoursdecetyped’investigation permetdeprévoirque:
• siunsondageestpositif, lesuivantauneprobabilitéégaleà0,6d’êtreaussipositif;
• siunsondageestnégatif,lesuivantauneprobabilitéégaleà0,9d’êtreaussinégatif.
Onsupposequelepremiersondageestpositif,c’est-à-dire:p =1.1
1. Calculerlesprobabilitésdesévènements suivants:
Asie 3 21juin2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
e ea. A:«les2 et3 sondagessontpositifs»;
e eb. B:«les2 et3 sondagessontnégatifs».
e2. Calculerlaprobabilitép pourquele3 sondagesoitpositif.3
3. n désigneunentiernaturelsupérieurouégalà2.
Recopieretcompléterl’arbreci-dessousenfonctiondesdonnéesdel’énoncé:
Vn+1
pn
Vn+1
Vn+1
1−pn
Vn+1
4. Pourtoutentiernatureln nonnul,établirque:p =0,5p +0,1.n+1 n
5. Onnoteu lasuitedéfinie,pourtoutentiernatureln nonnulpar:u =p −0,2.n n
a. Démontrerqueu estunesuitegéométrique,enpréciserlepremiertermeetla
raison.
b. Exprimer p enfonctionden.n
c. Calculerlalimite,quandn tendvers+∞,delaprobabilitép .n
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
L’objectifdel’exerciceestl’étuded’unefonctionetd’unesuiteliéeàcettefonction
PARTIEA
Onnote f lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]0; +∞[par:
11
xf(x)= e .
2x ? ?→− →−
OnnoteC lacourbereprésentativedelafonction f dansunrepèreorthonormal O, ı ,  .
L’unitégraphiqueest1cm.
1. Étudedeslimites
a. Déterminerlalimitedelafonction f quand x tendvers0.
b. Déterminerlalimitedelafonction f quand x tendvers+∞.
c. Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe
C ?
2. Étudedesvariationsdelafonction f
a. Démontrerque,lafonctiondérivéedelafonction f s’exprime,pourtoutréelx
strictementpositif,par:
1 1′ xf (x)=− e (2x+1).
4x
′b. Déterminerlesignede f etendéduireletableaudevariationde f surl’inter-
valle]0; +∞[.
Asie 4 21juin2010
bbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
c. Démontrerquel’équation f(x)=2auneuniquesolutionnotéeαappartenant
àl’intervalle]0;+∞[etdonnerlavaleurapprochéedeαarrondieaucentième.? ?→− →−
3. TracerlacourbeC danslerepèreorthonormal O, ı ,  .
PARTIEBÉtuded’unesuited’intégrales
Pourtoutentiernatureln>2onconsidèrel’intégrale I définiepar:n
Z2 1 1
xI = e dx.n nx1
1. Calculer I .2
2. Unerelationderécurrence
a. Démontrer,àl’aided’une intégration parparties,que pourtoutentier naturel
n>2:
p
e
I =e− +(1−n)I .n+1 nn−12
b. Calculer I .3
3. ÉtudedelalimitedelasuitedetermegénéralIn
a. Établirquepourtoutnombreréelx appartenantàl’intervalle [1;2],ona:
1 1 e
x06 e 6 .
n nx x
b. En déduire un encadrement de I puis étudier la limite éventuelle de la suiten
(I ).n
Asie 5 21juin2010