Sujet du bac S 2010: Mathématique Obligatoire
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Description

Etude de limites et de convergence de suite, probabilité (lancé de dé), intégration par parties, géométrie complexe
Sujet du bac 2010, Terminale S, Réunion

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Publié le 01 janvier 2010
Nombre de lectures 72
Langue Français

Exrait

Bac S – La Runion – juin 2010 EXERCICE 1 : (6 points) Commun  tous les candidats Soitla fonction dfinie sur lintervalle ]–1 ;+∞[ par(x) = 1 + ln(1 +x).     On notesa courbe reprsentative dans un repre orthonormalO . On noteDla droite dquationy=x. Partie A1)a) tudier le sens de variation de la fonction. b) Dterminer les limites de la fonctionaux bornes de son ensemble de dfinition. 2)On dsigne pargla fonction dfinie sur lintervalle ]–1 ;+∞[ parg(x) =(x) –x. a) Dterminer limg(x). x– 1 ln(1 +x) b) Dterminerlim .En dduirelimg(x). 1 +x x→ + ∞x→ + ∞ c) tudier le sens de variation de la fonctiong, puis dresser le tableau de variations de la  fonctiong. d) Montrer que sur lintervalle ]–1 ;+∞[ lquationg(x) = 0 admet exactement deux  solutionsαet, avecαngative etappartenant  lintervalle [2 ; 3]. e)  laide des questions prcdentes, dterminer le signe deg(x). En dduire la position  relativede la courbeet de la droiteD. Partie BDans cette partie, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera prise en compte dans lvaluation. Soit (un) la suite dfinie pour tout nombre entier naturelnpar :u0= 2 etun+1= (un). 1)Montrer que, pour tout nombre entier natureln, 2un. 2)La suite (un) est-elle convergente ? Justifier la rponse.
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EXERCICE 2 : (4 points) Commun  tous les candidats Dans cet exercice, tous les rsultats seront donns sous forme de fractions irrductibles. Partie I: On dispose dun d cubiqueAparfaitement quilibr possdant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges. Un jeu consiste  lancer deux fois de suite et de manire indpendante ce d. On note  chaque lancer la couleur de la face obtenue. 1)Calculer la probabilit pour qu lissue dun jeu, les deux faces obtenues soient noires. 2)Soit lvnement C : «  lissue dun jeu, les deux faces obtenues sont de la mme 7 couleur ». Dmontrer que la probabilit de lvnement C est gale . 18 3)Calculer la probabilit pour qu lissue dun jeu, les deux faces obtenues soient de couleurs diffrentes. 4) lissue dun jeu, sachant que les deux faces obtenues sont de la mme couleur, quelle est la probabilit pour que les deux faces obtenues soient vertes ? Partie II: On dispose dun second d cubiqueBquilibr prsentant quatre faces vertes et deux faces noires. Le nouveau jeu se droule de la manire suivante : on lance le dB; si la face obtenue est verte, on lance  nouveau le dBet on note la couleur de la face  obtenue; si la face obtenue est noire, on lance le dAet on note la couleur de la face obtenue. 1)a) Construire un arbre de probabilits traduisant cette situation. b) Quelle est la probabilit dobtenir une face verte au deuxime lancer, sachant que lon  aobtenu une face verte au premier lancer ? 4 2).Montrer que la probabilit dobtenir deux faces vertes est gale  9 3)Quelle est la probabilit dobtenir une face verte au deuxime lancer ?
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EXERCICE 3 : (5 points) Commun  tous les candidats Les deux parties de cet exercice peuvent tre traites indpendamment. Partie A: On cherche  dterminer lensemble des fonctions, dfinies et drivables sur lintervalle ]0 ;+∞[, vrifiant la condition (E) : 2 2x pour tout nombre relxstrictement positif,x(x) –(x) =xe . 1)Montrer que si une fonction, dfinie et drivable sur lintervalle ]0 ;+∞[, vrifie la (x) condition (E), alors la fonctiongdfinie sur lintervalle ]0 ;+∞[ parg(x) =vrifie : x 2x  pourtout nombre relxstrictement positif,g(x) = e. 2)En dduire lensemble des fonctions dfinies et drivables sur lintervalle ]0 ;+∞[ qui vrifient la condition (E). 3)Quelle est la fonction dfinie et drivable sur lintervalle ]0 ;+∞[ qui vrifie la condition 1 (E?) et qui sannule en 2 Partie B: 12xe On considre la fonctionhdfinie sur lintervalle [0 ;+∞[ parh(x) =xe –x. 2 2 On dsigne parsa courbe reprsentative dans un repre orthonormalO. 1)Dterminer, suivant les valeurs du nombre rel positifx, le signe deh(x). 1 2 2x 2)a) Calculer,  laide dune intgration par parties, lintgralexe dxet en dduire 0 1 2 h(x) dx. 0 b) En dduire, en unit daire, la valeur exacte de laire de la partie du plan situe en  dessousde laxe des abscisses et au dessus de la courbe.
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EXERCICE 4 :(5 points) Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit Partie I : Restitution organise de connaissances   Le plan complexe est rapport  un repre orthonormal directOuv. SoientA,BetCtrois points du plan daffixes respectivesa,b,c. On suppose queAetBsont distincts, ainsi queAetC.  On rappelle queu,AB= arg(ba) [2π]. caMontrer queAB,AC= arg[2π].   ba Partie II :   Le plan complexe est rapport  un repre orthonormal directOuv. On considre le pointAdaffixe 1 + i. z– 1 – i On associe,  tout pointMdu plan daffixeznon nulle, le pointM daffixez. = z Le pointM est appel le point image du pointM. 1)a) Dterminer, sous forme algbrique, laffixe du pointB, image du pointBdaffixe i. b) Montrer que, pour tout pointMdu plan daffixeznon nulle, laffixez du pointM est  tellequez1. 2)Dterminer lensemble des pointsMdu plan daffixeznon nulle pour lesquels laffixe du pointM est telle que |z| = 1. 3)Quel est lensemble des pointsMdu plan daffixeznon nulle pour lesquels laffixe du pointM est un nombre rel ?
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