TES Correction du bac blanc

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
TES : Correction du bac blanc Exercice 1 de spécialité Aucune justification n'était demandée, mais les voici pour expliquer d'où viennent les réponses. 1. Pour tout n ?N, un+1?un = ( 1? 6 n +1?10,5 ) ? ( 1? 6 n ?10,5 ) = 6 n ?10,5 ? n n +1?10,5 = 6? [ n +1?10,5?n +10,5 (n ?10,5)(n ?9,5) ] = 6 (n ?10,5)(n ?9,5) . (n?9,5)(n?10,5) est positif à l'extérieur des deux racines et négatif entre les deux racines, donc en particulier pour n = 10. On en déduit que la suite (un) n'est pas monotone (réponse (c)). 2. { u0 = 2 un+1?un =?0,1un ? { u0 = 2 un+1 = 0,9un La suite (un) tes donc géométrique de raison q = 0,9 (réponse (c)) 3. S = v10+·· ·+v100 = v10? q100?90+1 q ?1 = v10? q91?1 q ?1 .

• lim q?


• signe de ?


• correction du bac blanc


• milliers d'hectares


• vert bleu


• estimation

Sujets

• Estimation
• bac blanc

Informations

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• Langue: Français

Extrait

TES:Correctiondubacblanc
Exercice1despécialité
Aucunejustificationn’étaitdemandée,maislesvoicipourexpliquerd’oùviennentlesréponses.
? ? ? ?
6 6 6 n
1. Pourtoutn∈N,u −u = 1− − 1− = −n+1 n
n+1−10,5 n−10,5 n−10,5 n+1−10,5? ?
n+1−10,5−n+10,5 6
=6× = .
(n−10,5)(n−9,5) (n−10,5)(n−9,5)
(n−9,5)(n−10,5)estpositifàl’extérieurdesdeuxracinesetnégatifentrelesdeuxracines,doncenparticulierpour
n=10.
Onendéduitquelasuite u n’estpasmonotone(réponse(c)).( )n
? ?
u =2 u =20 02. ⇔
u −u =−0,1u u =0,9un+1 n n n+1 n
Lasuite(u )tesdoncgéométriquederaisonq=0,9(réponse(c))n
100−90+1 91q q −1
3. S=v +???+v =v × =v × .(réponse(c))10 100 10 10
q−1 q−1
4. Le graphe est connexe et a deux sommets de degré impair et deux seulement, donc il contient une chaîne eulé-
rienne.(réponse(b))
5. ABCDestunsous-graphecompletdonclenombrechromatiqueestsupérieurouégalà4.
Uncoloriagepossibleest:
Sommet B D A C E F
couleur rouge vert bleu jaune bleu vert
Onendéduitquecenombrechromatiqueest4.(réponse(b))
Exercice2(nonspécialistes)
1. Ilestclairquelesdeuxfonctionsn’ontpaslesmêmesvariations.
′f estdécroissantesur[0; 4]etcroissantesur[4; 7]donc f estnégativesur[0;4]etpositivesur[4;7].
′Onendéduitqueg= f .(réponse(A))
22. ln(x +3x)=ln(x(x+3))=lnx+ln(x+3)àconditionquelesensemblesdedéfinitionsoientlesmêmes,doncpour
x<−3oux>0.(réponse(C))
3. Poura>0,ln(3a)−lna=ln3+lna−lna=ln3.(réponse(A))
1
4. Ladérivéeestlafonctionx7!1×lnx+x× =1+lnx (Réponse(C))
x
5. OneffectueunchangementdevariableenposantX=u(x).
lim ln(u(x))= lim ln(X)=−∞(réponse(C))
x→−∞ X→0
Exercice3
valeurfinale−Valeurinitiale 65−38 27
1. = = ≈0,71.
Valeurinitiale 38 38
Le pourcentage d’augmentation de la superficie possédée par le conservatoire du littoral etre 1991 et 2001 est
d’environ 73% .
2. Nuagedepoints:
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60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6
3. (a) Àlacalculatrice, ontrouvequeladroitederégression, obtenueparlaméthodedes moindres carrés,apour
équation: y=12,2x−9,5 .
(b) Voirgraphique
4. 2006correspondàunrangégalà7.L’estimationdelasuperficieen2006estalors:12,2×7−9,5≈76.
En2006,lasuperficieacquiseparleconservatoiredulittoralseraitde76milliersd’hectares.
209,5
5. (a) 12,2x−9,5?200⇔12,2x?209,5⇔x? ≈ 17,17 .
12,2
Uneunitéderangcorrespondà5années:1976+17,17×5≈2062.
Avec cette estimation, le chiffre de 200 milliers d’hectares possédés par le conservatoire du littoral serait
atteinten2062environ.
(b) Soitx lasuperficieenmilliersd’hectares,delabandecôtièrefrançaise.
200×100
Onaalors:22%x=200doncx= ≈909.
22
Labandecôtièrefrançaiseaunesuperficied’environ 909 milliersd’hectares.
Exercice4
PartieA
y −y 1−3B A
1. Lecoefficientdirecteurdeladroite(AB)est:m= = =2.
x −x −1−0B A
L’équationréduitedeladroite(AB)estalors:y=m(x−x )+x ⇔ y=2x+3A A
2. • f(0)=y = 3A
′• f (0)=2 (coefficientdirecteurdeladroite(AB))
• f(1)=y =3+2ln2E
′• f (1)=0 (tangenteparallèleàl’axe(Ox))
3. Ontraceladroited’équationy=1;ellecoupelacourbeendeuxpointsdoncl’équation f(x)=1adeuxsolutions.
4. Tableaudevariationsde f :
x −1 1 +∞
3+ln2
@
@
@R
f(x) −∞ −∞
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bbbbbbPartieB
1. f estdéfiniesur]−1;+∞[par:
2−x +4x+3
f(x)= +ln(x+1).
x+1
2(a) lim (−x +4x+3)=−2; lim (x+1)=0avecx+1>0carx>−1.
x→−1 x→−1
2−x +4x+3
Donc lim =−∞.
x→−1 x+1
lim ln(x+1)= lim lnX=−∞.
x→−1 X→0
Parsomme: lim f(x)=−∞ .
x→−1
Onendéduitqueladroited’équationx=−1estasymptoteàlacourbeC .f
(b) f estdérivablecommequotientdefonctionsdérivables.
? 2u u(x)=−x +4x+3
f = +ln◦v avec
v(x)=x+1v
?′ ′ ′ ′u v−uv v u (x)=−2x+4′f = + avec .′2 v (x)=1v v
2 2 2(−2x+4)(x+1)−(−x +4x+3) 1 −2x −2x+4x+4+x 4x−3 1′Par conséquent : f (x) = + = + =
2(x+1) x+1 x+1 x+1
2 2 2−x −2x+1 1 −x −2x+1+(x+1) −x −x+2
+ = = .
2 2x+1 x+1 (x+1) (x+1)
−(x−1)(x+2)2 2 ′(c) −x −x+2auneracineévidente:-1.Onendéduitque:−x −x+2=−(x−1)(x+2)et f (x)= .
2(x+2)
2 ′Sur ]−1 ; +∞[, (x+2) et (x+1) sont positifs donc f (x) est du signe de−(x−1)=1−x, donc positif pour
−1<x?1,nulen1etnégatifpourx?1.
(d) Onretrouvelesvariationsquel’onavaittrouvéesetl’onabien f(1)=3+ln2.
2. Sur[0; 1], f(x)>0(d’aprèsletableaudevariations),doncl’équation f(x)=0n’apasdesolutions.
Sur [1 ; +∞[, f(1)= 3+ln2> 0; f(10)< 0 et f est continue. D’après le théorème des valeurs intermédiaires,
l’équation f(x)=0aunesolutionaumoins.Comme f estdécroissante,cettesolutionestunique;notons-laα.
−3Àlacalculatrice,ontrouve α≈6,797à10 près .
2b ax +ax+5+b
3. ax+5+ +ln(x+1)= +ln(x+1).
x+1 x+1
Pourquecetteexpressionsoitégaleà f(x),onidentifielescoefficients:ontrouve
?a=−1 a=−1
a=−1 ⇔
 b=−3
5+b=2
3
Parconséquent: f(x)=−x+5− .
x+1
Exercice5
5002Ona f(q)=0,5q +10q+50etg(q)=200−10q+ .
2q+5
1. (a) f estunefonctionpolynôme,doncdérivable.
′f (q)=q+10>0(carq?0)et f estdonccroissante sur[0; q[.
1
(b) g estdérivablecommesommedefonctionsdérivables. f(q)=200−10q+500× donc
2q+5? ?
1 500′f (q)=−10+500× − =−10− <0sur[0;+∞[.
2 2(2q+5) (2q+5)
g estdoncdécroissantesur[0;+∞[.
(c) f(q)estunpolynôme,doncsalimiteàl’infiniestcelledutermedeplushautdegré:
2• lim f(q)= lim 0,5q = +∞ .
q→+∞ q→+∞
Page3/4• lim (200−10q)=−∞.
q→+∞
500
lim (2q+5)=+∞donc lim =0.
q→+∞ q→+∞2q+5
Onendéduitque: lim g(q)=−∞ .
q→+∞
(d) Tableauxdevariationsde f etg
q 0 +∞ q 0 +∞
′ ′f (q) + g (q) −
+∞ 300
@
f(q) g(q) @
@R
50 −∞
(e) Onposeh=f −g.
Comme g est décroissante sur [0 ; +∞[,−g est croissante sur [0 ; +∞[ et par conséquent,h est croissante
sur[0;+∞[commesommededeuxfonctionscroisantes.
5002(f) h(q)=0,5q +20q−150− .
2q+5? ?
? ?500 2lim =0et lim 0,5q +20q−150 =+∞(limitedutermedeplushautdegré)donc: lim h(q)=+∞
q→+∞ q→+∞ q→+∞2q+5
? ?
500 500
2. (a) g(q)=(200−10q)= et lim =0donc lim [g(q)−(200−10q)]=0.
q→+∞ q→+∞2q+5 2q+5
Ladroited’équation y=200−10q estasymptoteàlacourbeC en+∞.g
(b) Courbes:
280
Cf
240
200
160
120
80
Cg
40
0
α0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3. (a) h estcontinue;h(0)=−250<0;h(15)≈248,21>0croissante.
D’aprèslethéorèmedesvaleurs intermédiaires,l’équationh(q)=0admetaumoins unesolution dansl’in-
tervalle[0; 15].Commeh estcroissante,cettesolutionestuniqueetonlanoteα.
Àlacalculatrice,ontrouve α≈7,396 .
(b) αestlenombredemilliersd’objetspourlequell’offreestégaleàlademande.
Leprixd’équilibreest f(α)≈154,3. Leprixàl’équilibreestd’environ151,3eparobjet .
(c) Onsupposequelemarchés’établitàl’équilibre. Laquantitéd’objetsvendusestalorsαmilliers.
Lechiffred’affairesestalorsde f(α)×α×1000≈1119020e.
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