[Brevet2006\
L’intégraledeseptembre2005àjuin
2006
Amiensseptembre2005 ...............................3
Besançonseptembre2005 ............................6
Nouvelle–Calédonieseptembre2005 .................9
Polynésieseptembre2005 ............................12
Aix-Marseillejuin2006 ...............................14
Bordeauxjuin2006 .................................. 17
Nancy-Metzjuin2006 ................................20
Paris,Amiensjuin2006 ..............................23
Centresétrangersjuin2006 ..........................28
Polynésiejuin2006 ...................................31L’intégrale2006[BrevetAmiensseptembre2005\
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12points
Exercice1
CalculerendonnantlerésultatsousformedefractionsirréductiblespourAetB
etennotationscientifiquepourC.
1
2− 4 −23 1 2 1 3×10 ×10 ×53A= + × + B= C= −114 4 3 3 103+
4
Exercice2 p
ÉcrireDsouslaformea b oùa etb sontdeuxnombresentiers.
p p p
D=3 12+ 27−5 3.
Exercice3
2E=(2x−3) −3(2x−3).
1. DévelopperE.
2. FactoriserE.
3. Résoudrel’équation(2x−3x)(2x−6)=0.
p
4. CalculerE pourx= 2. p
(on écrira le résultat sous la forme a−b 2 où a et b sont deux nombres en-
tiers).
Exercice4
1. CalculerlePGCDde696et406.
406
2. Rendrelafraction irréductible.
696
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12points
Exercice1(Lafigureci-contrenestpasenvraiegrandeur)
F
OndonneAB=4cm,OB=3cm,OC=
6cm.
Lesdroites(BC)et(AF)secoupenten
O.
1. Expliquerpourquoi(AB)et(CF)
sontparallèles.
2. MontrerqueOA=5cm.
3. CalculerOFetCF. 3 BO
C 6
4
5Brevetdescollèges L’intégrale2006
Exercice2
SoitC lecercledecentreOetderayon4cm.
[AB]estundiamètreducercleC etM estunpointdececercletelqueAM=5cm.
1. Faire unefigureenrespectant les dimensions données etla compléter au fur
etâmesure.
2. DémontrerqueAMBestuntrianglerectangle. 3. CalculersinMBA.EndéduireunemesuredeMBAarrondieaudegré.
4. PlacerlepointRmilieudusegment[OH].TracerlesymétriquedeM parrap-
portàR,onl’appelleP.
QuelleestlanatureduquadrilatèreMBPO?(Justifier)
−−→ −→
5. EndéduirequeMO =BP .
−−→ −−→ −→
6. ConstruirelepointN telqueMN =MO+BP .
PROBLÈME 12points
Premièrepartie
B
C
A D
Unréservoirestconstituéd’unepyra-
miderégulièreàbasecarréesurmon-
tée d’un parallélépipède rectangle
(Voirfigure).
AB=BC=2m. F
GAE=5m,OI=1,5m
O
(OIestlahauteurdelapyramide)
E H
31. Calculerlevolumedelapyramideenm .
32. Calculerlevolumeduparallélépipède rectangleenm .
3. Endéduirelevolumeduréservoirlorsqu’ilestplein?
DeuxièmepartieBrevetdescollèges L’intégrale2006
On remplit d’eau ce réservoir. La
partie pyramidale étant entièrement
pleine, on appelle x la hauteur d’eau
dansleparallélépipède rectangle.
1. Quelles sont les valeurs de x
possibles. Donner la réponse
sous forme d’un encadrement
dex.
2. Exprimer en fonction de x le B Cvolume d’eaudansleparallélé-
A Dpipède.
3. Montrer que le volume d’eau
dans le réservoir est donné par
la fonction affineV définie par
V(x)=4x+2.
4. Représenter graphiquement F xGcette fonction affine V en O
prenant 1 cm pour 0,5 m en E
3 Habscisse et 1 cm pour 2 m en
ordonnée.
5. Liresurlegraphiqueunevaleur
de x telle que le volume d’eau
3égale12m .
6. Trouver par le calcul le volume
d’eau dans le réservoir lorsque
x vaut1,8m.
Quelestalorslepourcentagede
remplissage du réservoir? (ar-
rondiràl’unité).[BrevetBesançonseptembre2005\
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12points
Exercice1
2 1
+ −3 5 p p p35×10 ×3×103 6A= 2 ; B= ; C=3 5−2 80+ 20.−11 21×102−
2
1. ÉcrireAsouslaformed’unefractionirréductible.
n2. ÉcrireBsouslaformea×10 oùa estunentieretn unentierrelatif.
p
3. Écrire C sous la forme a b où a est un entier relatif et b un entier positif le
pluspetitpossible.
Exercice2
2Soitl’expressionD=(3x−1)(2x+5)−(3x−1) .
1. Développeretréduirel’expressionD.
2. Factoriserl’expressionD.
Exercice3
Résoudrelesdeuxéquationssuivantes:
1. (x+2)(3x−5)=0;
2. x+2(3x?5)=0.
Exercice4
1. CalculerlePGCDdesnombres462et546.
462
2. Endéduirelafractionirréductibleégaleà .
546
Exercice5
Voicilesnotesobtenuespar13élèvesàundevoirdemathématiques :
6; 8; 8; 9; 9; 10; 11; 12; 14; 17; 18; 18; 19.
1. Calculerlamoyennearrondieaucentièmedecettesériedenotes.
2. Déterminerlamédianedecettesériedenotes.Brevetdescollèges L’intégrale2006
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12points
Exercice1
Leschémadonnéci-dessousn’estpasenvraiegrandeur.
OndonneAM=5cm;AB=15cm;AN=4cm;AC=12cmetAH=7,5cm.
Lesdroites(AH)et(MN)sontperpendiculairesenD.
A
M D N
B C
H
1. Démontrerquelesdroites(MN)et(BC)sontparallèles.
2. CalculerAD.Justifier. ƒ 3. Pourquoipeut-ondirequelesanglesAMNetABCsontégaux?
4. MontrerqueletriangleAHBestrectangleenH.
5. Montrerquel’airedutriangleABCestégaleà9foisl’airedutriangleAMN.
Exercice2
1. Construire:
a. UncarréABCDdecentreOetdecôté3cm.
−→ −→ −→
b. LepointEtelqueOE =OA+OB.
c. LepointF,symétriquedeOparrapportàC.
−→ −→
d. LepointGtelqueCG =BO.
2. Démontrerque:
a. Lespoints O,FetGsontsitués sur unmême cercledontonprécisera le
centreetlerayon.
b. LetriangleOFGestrectangleenG.Brevetdescollèges L’intégrale2006
PROBLÈME 12points
Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas dessinée en vraie grandeur, ABCD est un
trapèzerectangle.
OndonneAB=6cm;AD=8cmetDC=10cm.
(HB)et(RS)sontperpendiculaires à(DC)etR estunpointdusegment[AB]telque
AR=x.
RA B
D C
S H
Rappel:L?airedutrapèzeestdonnéeparlaformule
(B+b)×h
A= .
2
B, b eth désignentrespectivement leslongueurs delagrandebase,delapetite
baseetdelahauteurdutrapèze.
1. Calculerl’airedutrapèzeABCD.
2. CalculdeBC.
a. DémontrerqueADHBestunrectangle.EndéduireHC.
p
b. Calculer BC. (On donnera le résultat sous la forme a b avec b le plus
petitpossible). 3. Calculerlamesuredel?angleBCD,arrondieaudixièmededegré.
4. Calculsd?aires.
a. Exprimer,enfonctiondex,l’aire f(x)durectangleARSD.
b. Exprimer,enfonctiondex,l’aireg(x)dutrapèzeRBCS.
c. Calculer x pour que ces deux airessoient égales; donner alors la valeur
communedechacunedecesdeuxaires.
5. xestunnombrecomprisentre0et6.Surlafeuilledepapiermillimétré,construire
une représentation graphique des fonctions f et de g dans un repère ortho-
normal. Une unité en abscisse représente 1cm et une unité en ordonnée re-
2présente4cm .
6. Retrouversurlegraphiquelerésultatdelaquestion5.
Onferaapparaîtrelespointillésnécessaires.Durée:2heures
[DiplômenationalduBrevetNouvelle–Calédonie\
Décembre2005
4pointssur40sontattribuésàlarédactionetàlaprésentation
I–ACTIVITÉSNUMÉRIQUES 12points
Danscettepartie,lescalculsdevrontêtredétaillés.
EXERCICE 1
1. Calculer A etB etdonnerlesrésultatssousformefractionnairelaplussimple
possible:
5 −314×10 ×35×10
B=16 321×10A=4−4÷
3
p
2. Écrire C sous la forme a b où a et b sont des entiers, b étant le plus petit
possible: p p p
C=2 32− 5× 10
EXERCICE 2
2SoitD=(x−3)(3x−1)−(3x−1)
1. FactoriserD
2. DévelopperetréduireD.
3. Résoudrel’équation(3x−1)(x+1)=0
EXERCICE 3
Voicilesrésultatsd’unsondageeffectuédansuneclassedetroisièmeconcernantles
moyensdetransportutilisésparcesélèvespourveniraucollège.
Recopieretcompléterletableausuivantpuisconstruireundiagrammecirculairede
3cmderayon:
Voiture Bus Àpied Booster total
Fréquence 45% 25% 20% 10%
Angle
EXERCICE 4
1. CalculerlePGCDdesnombres1 547et1 729.
1 547
2. Écriresousformefractionnaireirréductiblelafractionsuivante:
1 729Brevetdescollèges L’intégrale2006
II–ACTIVITÉSGÉOMÉTRIQUES 12points)
EXERCICE 1
Leplanestmunid’unrepère(O,I,J).
L’unitédelongueurestlecentimètre.
1. Dansuntelrepère,placerlespoints:A(3;−2);B(1;2);C(−3; 0).
2. CalculerlavaleurexactedeAB.
p
3. a. SachantqueBC= 20,endéduirequeABCestuntriangleisocèle.
p
b. SachantdeplusqueAC= 40,prouverqueABCestuntrianglerectangle.
4. CalculerlescoordonnéesdupointM,milieudusegment[AC].PlacerM.
5. ConstruirelepointDsymétriquedupointB parrapportaupoint M.
CalculerlescoordonnéesdupointD.
6. ProuverquelequadrilatèreABCDestunparallélogramme.
7. EndéduirelanatureexacteduquadrilatèreABCD.
EXERCICE 2
L’unitédelongueurestlemillimètre.
SoitABCHuntrapèzerectangleenAetH.
(HB)et(BC)sontdesdroitesperpendiculaires.
48A B
36
H C
(Ceschéman’estdonnéqu’àtitreindicatif)
1. ConstruirelafiguresachantqueAH=36etAB=48.
2. CalculerHB.3. CalculercosAHB
o 4. Endéduirelamesuredel’angleAHB,puisdel’angleBHCarrondiesà1 près.