Brevet 2006 maths intégrale des épreuves
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[Brevet2006\ L’intégraledeseptembre2005àjuin 2006 Amiensseptembre2005 ...............................3 Besançonseptembre2005 ............................6 Nouvelle–Calédonieseptembre2005 .................9 Polynésieseptembre2005 ............................12 Aix-Marseillejuin2006 ...............................14 Bordeauxjuin2006 .................................. 17 Nancy-Metzjuin2006 ................................20 Paris,Amiensjuin2006 ..............................23 Centresétrangersjuin2006 ..........................28 Polynésiejuin2006 ...................................31 L’intégrale2006 [BrevetAmiensseptembre2005\ ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12points Exercice1 CalculerendonnantlerésultatsousformedefractionsirréductiblespourAetB etennotationscientifiquepourC. 1 2− 4 −23 1 2 1 3×10 ×10 ×53A= + × + B= C= −114 4 3 3 103+ 4 Exercice2 p ÉcrireDsouslaformea b oùa etb sontdeuxnombresentiers. p p p D=3 12+ 27−5 3. Exercice3 2E=(2x−3) −3(2x−3). 1. DévelopperE. 2. FactoriserE. 3. Résoudrel’équation(2x−3x)(2x−6)=0. p 4. CalculerE pourx= 2. p (on écrira le résultat sous la forme a−b 2 où a et b sont deux nombres en- tiers). Exercice4 1. CalculerlePGCDde696et406. 406 2. Rendrelafraction irréductible. 696 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12points Exercice1(Lafigureci-contrenestpasenvraiegrandeur) F OndonneAB=4cm,OB=3cm,OC= 6cm. Lesdroites(BC)et(AF)secoupenten O. 1. Expliquerpourquoi(AB)et(CF) sontparallèles. 2. MontrerqueOA=5cm. 3. CalculerOFetCF. 3 BO C 6 4 5 Brevetdescollèges L’intégrale2006 Exercice2 SoitC lecercledecentreOetderayon4cm. [AB]estundiamètreducercleC etM estunpointdececercletelqueAM=5cm. 1. Faire unefigureenrespectant les dimensions données etla compléter au fur etâmesure. 2. DémontrerqueAMBestuntrianglerectangle. 3. CalculersinMBA.EndéduireunemesuredeMBAarrondieaudegré. 4. PlacerlepointRmilieudusegment[OH].TracerlesymétriquedeM parrap- portàR,onl’appelleP. QuelleestlanatureduquadrilatèreMBPO?(Justifier) −−→ −→ 5. EndéduirequeMO =BP . −−→ −−→ −→ 6. ConstruirelepointN telqueMN =MO+BP . PROBLÈME 12points Premièrepartie B C A D Unréservoirestconstituéd’unepyra- miderégulièreàbasecarréesurmon- tée d’un parallélépipède rectangle (Voirfigure). AB=BC=2m. F GAE=5m,OI=1,5m O (OIestlahauteurdelapyramide) E H 31. Calculerlevolumedelapyramideenm . 32. Calculerlevolumeduparallélépipède rectangleenm . 3. Endéduirelevolumeduréservoirlorsqu’ilestplein? Deuxièmepartie Brevetdescollèges L’intégrale2006 On remplit d’eau ce réservoir. La partie pyramidale étant entièrement pleine, on appelle x la hauteur d’eau dansleparallélépipède rectangle. 1. Quelles sont les valeurs de x possibles. Donner la réponse sous forme d’un encadrement dex. 2. Exprimer en fonction de x le B Cvolume d’eaudansleparallélé- A Dpipède. 3. Montrer que le volume d’eau dans le réservoir est donné par la fonction affineV définie par V(x)=4x+2. 4. Représenter graphiquement F xGcette fonction affine V en O prenant 1 cm pour 0,5 m en E 3 Habscisse et 1 cm pour 2 m en ordonnée. 5. Liresurlegraphiqueunevaleur de x telle que le volume d’eau 3égale12m . 6. Trouver par le calcul le volume d’eau dans le réservoir lorsque x vaut1,8m. Quelestalorslepourcentagede remplissage du réservoir? (ar- rondiràl’unité). [BrevetBesançonseptembre2005\ ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12points Exercice1 2 1 + −3 5 p p p35×10 ×3×103 6A= 2 ; B= ; C=3 5−2 80+ 20.−11 21×102− 2 1. ÉcrireAsouslaformed’unefractionirréductible. n2. ÉcrireBsouslaformea×10 oùa estunentieretn unentierrelatif. p 3. Écrire C sous la forme a b où a est un entier relatif et b un entier positif le pluspetitpossible. Exercice2 2Soitl’expressionD=(3x−1)(2x+5)−(3x−1) . 1. Développeretréduirel’expressionD. 2. Factoriserl’expressionD. Exercice3 Résoudrelesdeuxéquationssuivantes: 1. (x+2)(3x−5)=0; 2. x+2(3x?5)=0. Exercice4 1. CalculerlePGCDdesnombres462et546. 462 2. Endéduirelafractionirréductibleégaleà . 546 Exercice5 Voicilesnotesobtenuespar13élèvesàundevoirdemathématiques : 6; 8; 8; 9; 9; 10; 11; 12; 14; 17; 18; 18; 19. 1. Calculerlamoyennearrondieaucentièmedecettesériedenotes. 2. Déterminerlamédianedecettesériedenotes. Brevetdescollèges L’intégrale2006 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12points Exercice1 Leschémadonnéci-dessousn’estpasenvraiegrandeur. OndonneAM=5cm;AB=15cm;AN=4cm;AC=12cmetAH=7,5cm. Lesdroites(AH)et(MN)sontperpendiculairesenD. A M D N B C H 1. Démontrerquelesdroites(MN)et(BC)sontparallèles. 2. CalculerAD.Justifier. ƒ 3. Pourquoipeut-ondirequelesanglesAMNetABCsontégaux? 4. MontrerqueletriangleAHBestrectangleenH. 5. Montrerquel’airedutriangleABCestégaleà9foisl’airedutriangleAMN. Exercice2 1. Construire: a. UncarréABCDdecentreOetdecôté3cm. −→ −→ −→ b. LepointEtelqueOE =OA+OB. c. LepointF,symétriquedeOparrapportàC. −→ −→ d. LepointGtelqueCG =BO. 2. Démontrerque: a. Lespoints O,FetGsontsitués sur unmême cercledontonprécisera le centreetlerayon. b. LetriangleOFGestrectangleenG. Brevetdescollèges L’intégrale2006 PROBLÈME 12points Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas dessinée en vraie grandeur, ABCD est un trapèzerectangle. OndonneAB=6cm;AD=8cmetDC=10cm. (HB)et(RS)sontperpendiculaires à(DC)etR estunpointdusegment[AB]telque AR=x. RA B D C S H Rappel:L?airedutrapèzeestdonnéeparlaformule (B+b)×h A= . 2 B, b eth désignentrespectivement leslongueurs delagrandebase,delapetite baseetdelahauteurdutrapèze. 1. Calculerl’airedutrapèzeABCD. 2. CalculdeBC. a. DémontrerqueADHBestunrectangle.EndéduireHC. p b. Calculer BC. (On donnera le résultat sous la forme a b avec b le plus petitpossible). 3. Calculerlamesuredel?angleBCD,arrondieaudixièmededegré. 4. Calculsd?aires. a. Exprimer,enfonctiondex,l’aire f(x)durectangleARSD. b. Exprimer,enfonctiondex,l’aireg(x)dutrapèzeRBCS. c. Calculer x pour que ces deux airessoient égales; donner alors la valeur communedechacunedecesdeuxaires. 5. xestunnombrecomprisentre0et6.Surlafeuilledepapiermillimétré,construire une représentation graphique des fonctions f et de g dans un repère ortho- normal. Une unité en abscisse représente 1cm et une unité en ordonnée re- 2présente4cm . 6. Retrouversurlegraphiquelerésultatdelaquestion5. Onferaapparaîtrelespointillésnécessaires. Durée:2heures [DiplômenationalduBrevetNouvelle–Calédonie\ Décembre2005 4pointssur40sontattribuésàlarédactionetàlaprésentation I–ACTIVITÉSNUMÉRIQUES 12points Danscettepartie,lescalculsdevrontêtredétaillés. EXERCICE 1 1. Calculer A etB etdonnerlesrésultatssousformefractionnairelaplussimple possible: 5 −314×10 ×35×10 B=16 321×10A=4−4÷ 3 p 2. Écrire C sous la forme a b où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible: p p p C=2 32− 5× 10 EXERCICE 2 2SoitD=(x−3)(3x−1)−(3x−1) 1. FactoriserD 2. DévelopperetréduireD. 3. Résoudrel’équation(3x−1)(x+1)=0 EXERCICE 3 Voicilesrésultatsd’unsondageeffectuédansuneclassedetroisièmeconcernantles moyensdetransportutilisésparcesélèvespourveniraucollège. Recopieretcompléterletableausuivantpuisconstruireundiagrammecirculairede 3cmderayon: Voiture Bus Àpied Booster total Fréquence 45% 25% 20% 10% Angle EXERCICE 4 1. CalculerlePGCDdesnombres1 547et1 729. 1 547 2. Écriresousformefractionnaireirréductiblelafractionsuivante: 1 729 Brevetdescollèges L’intégrale2006 II–ACTIVITÉSGÉOMÉTRIQUES 12points) EXERCICE 1 Leplanestmunid’unrepère(O,I,J). L’unitédelongueurestlecentimètre. 1. Dansuntelrepère,placerlespoints:A(3;−2);B(1;2);C(−3; 0). 2. CalculerlavaleurexactedeAB. p 3. a. SachantqueBC= 20,endéduirequeABCestuntriangleisocèle. p b. SachantdeplusqueAC= 40,prouverqueABCestuntrianglerectangle. 4. CalculerlescoordonnéesdupointM,milieudusegment[AC].PlacerM. 5. ConstruirelepointDsymétriquedupointB parrapportaupoint M. CalculerlescoordonnéesdupointD. 6. ProuverquelequadrilatèreABCDestunparallélogramme. 7. EndéduirelanatureexacteduquadrilatèreABCD. EXERCICE 2 L’unitédelongueurestlemillimètre. SoitABCHuntrapèzerectangleenAetH. (HB)et(BC)sontdesdroitesperpendiculaires. 48A B 36 H C (Ceschéman’estdonnéqu’àtitreindicatif) 1. ConstruirelafiguresachantqueAH=36etAB=48. 2. CalculerHB.3. CalculercosAHB o 4. Endéduirelamesuredel’angleAHB,puisdel’angleBHCarrondiesà1 près.
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