Brevet des collèges Groupement Est

Brevet des collèges Groupement Est

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Niveau: Secondaire, Collège
Durée : 2 heures [ Brevet des collèges Groupement Est \ septembre 2004 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points Dans toute cette partie les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications, le barême en tiendra compte. EXERCICE 1 On donne les expressions A = 5 3 ? 2 3 ? 7 4 et B = (?3) 6 7 . Calculer A et B en détaillant les étapes des calculs et écrire les résultats sous forme de fractions irréductibles. EXERCICE 2 On donne les expressions C = p 2 (p 2+5 p 3 ) et D = p 24+ p 9+ p 54. 1. Écrire C et D sous la forme a +b p 6 où a et b sont des nombres entiers. 2. Utiliser les résultats de la première question pour comparer C et D. EXERCICE 3 Soit l'expression : E = (x +1)2+ (x +1)(2x ?3). 1. Développer puis réduire l'expression E . 2. Factoriser l'expression E . 3. Résoudre l'quation (x +1)(3x ?2)= 0. EXERCICE 4 Au rugby, un essai transformé permet d'augmenter le score de l'équipe de 7 points, un essai non transformé augmente le score de 5 points et une pénalité augmente le score de 3 points.

  • repère orthonormal

  • coordonnées des vecteurs ???

  • essais transfor- més

  • aire du triangle bmc

  • volume de la pyramide p1

  • feuille de papier millimétré

  • demême aire


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Publié le 01 septembre 2004
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Langue Français
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Durée:2heures
[BrevetdescollègesGroupementEst\
septembre2004
L’utilisationd’unecalculatriceestautorisée.
ACTIVITÉSNUMÉRIQUES 12points
Danstoutecettepartielesrésultatsdescalculsdemandésdoiventêtreaccompagnés
d’explications,lebarêmeentiendracompte.
EXERCICE1
5 2 7 6
OndonnelesexpressionsA= − × etB=(−3) .
3 3 4 7
Calculer A et B en détaillant les étapes des calculs et écrireles résultats sous forme
defractionsirréductibles.
EXERCICE2 p ¡p p ¢ p p p
OndonnelesexpressionsC= 2 2+5 3 etD= 24+ 9+ 54.
p
1. ÉcrireCetDsouslaformea+b 6oùa etb sontdesnombresentiers.
2. Utiliser lesrésultatsdelapremièrequestionpourcomparerCetD.
EXERCICE3
2Soitl’expression:E=(x+1) +(x+1)(2x−3).
1. Développerpuisréduirel’expressionE.
2. Factoriserl’expressionE.
3. Résoudrel’quation(x+1)(3x−2)=0.
EXERCICE4
Aurugby,unessaitransformépermetd’augmenter lescoredel’équipe de7points,
unessainontransforméaugmentelescorede5pointsetunepénalitéaugmentele
scorede3points.
Si, par exemple, aucoursd’un match, l’équipe deFrancemarque4 essais transfor-
més, 2 essais non transformés et 3 pénalités, le nombre de points marqués par la
Franceest: 4×7+2×5+3×3=47.
½
x+y = 7
1. Résoudrelesystêmesuivant:
7x+5y = 39
2. Lors d’une autre rencontre, l’équipe de France a marqué 7 essais, certains
transformésetd’autresnonet2pénalitéspouruntotalde45points.
Déterminer le nombre d’essais transformés et le nombre d’essais non trans-
formésmarquésparl’équipedeFranceaucoursdecematch.
ACTIVITÉSGÉOMÉTRIOUES
EXERCICE1
Leplanestmunid’unrepèreorthonormal(O,I,J).L’unitéestlecentimètre.A.P.M.E.P. Brevetdescollèges
1. PlacerlespointsA(−2; 1);B(3;6);C(4; −1).
−→
2. CalculerlescoordonnéesduvecteurAB.
p
3. Montrerquel’ona: AB=5 2.
4. MontrerqueletriangleABCestisocèledesommetB.
−→ −→ −→
5. a. ConstruirelepointDtelque: BD =BA+BC.
b. QuelleestlanatureduquadrilatreABCD?(justifierlaréponse)
EXERCICE2
ABCestuntrianglerectangleenAtelque: BC=12et
AC=6.
(L’unitédelongueurestlecentimètre).
1. ConstruireletriangleABC.
p
2. Montrerquel’ona: AB=6 3.
? ?3. CalculersinABC;endéduirelamesureexacte,endegrés,del’angleABC.
4. On considère le point M du segment [AB] et le point N du segment [BC] telsp
que: BM=4 3etBN=8.
a. PlacerlespointsM etN.
b. UtiliserlaréciproqueduthéorèmedeThalèspourmontrerquelesdroites
(MN)et(AC)sontparallèles.
EXERCICE3
S
Lafigureci-contrereprésenteunepyramideP de
sommetS.
SabaseestuncarréABCDtel que: AB=6cm; sa
hauteur[SA]esttelleque: SA=9cm.
1. CalculerlevolumedecettepyramideP.
2. E est le point de [SA] défini par SE = 6 cm
E; EFGH est la section de la pyramideP par F
unplanparallèleàsabase;lapyramideP ,1
desommet SetbaseEFGHestdoncuneré-
H GductiondelapyramideP ; calculer lecoef-
Aficientk decetteréduction.
B
3. CalculerlevolumedelapyramideP .1
D
C
PROBLÈME
MonsieurJeanpossèdeunterrainqu’ilsouhaitepartagerendeuxlotsdemêmeaire.
Ceterrain a la formed’un triangleABCrectangle enA tel que AB= 50 m etAC= 80
m.
1. a. Calculerl’airedutriangleABC.
GroupementEst 2 septembre2004A.P.M.E.P. Brevetdescollèges
2b. Endéduirequel’airedechaquelotdoitêtrede1000m .
2. Dans un premier temps, il pense faire deux lots
ayant la forme de deux triangles AMC et BMC
M
commeindiquésurlafigureci-contre.A B
OnposeAM=x.
a. Exprimer en fonction de x l’aire du triangle
AMC.
b. En déduire que l’aire du triangle BMC est
égaleà
2000−40x.
c. Déterminerx pourquelesairesdesdeuxtri-
anglesAMCetBMCsoientégales.
C d. Quelle estalorsla position dupoint Msur le
segment[AB]?
3. Onconsidèrelesdeuxfonctionsaffines f etg définiespar
f(x)=40x et g(x)=2000−40x.
Surunefeuilledepapiermillimétré,construireunrepèreorthogonal:
• l’origineseraplacéeenbasàgauche,
• surl’axedesabscisses,onprendra1cmpour5unités(1cmpour5m),
• surl’axedesordonnées,onprendra1cmpour100unités(1cmpour100
2m ).
a. Dans ce repère, représenter graphiquement les fonctions affines f et g
pour06x650.
b. Enutilisantcegraphique,retrouverlerésultatdelaquestion2.c..
M
4. Finalement, Monsieur Jean se décide à partagerA B
son terrain en un lot triangulaire AMN et un lot
ayant la forme d’un trapèze BMNC comme in-
diqué sur la figure ci-contre avec (MN) parallèle
à (BC).
OnposeAM=x.
a. En utilisant la propriété deThalès, exprimer
N
AN enfonctiondex.
b. En déduire que l’aire du triangle AMN est
2égale àx .
C
25. Le graphique suivant représente l’aire en m du triangle AMN exprimée en
fonctiondex.
En utilisant ce graphique, déterminer x, à un mêtre près, pour que les aires
desdeuxlotsAMN etBMNCsoientégales.
GroupementEst 3 septembre2004A.P.M.E.P. Brevetdescollèges
Graphiquedelaquestion5duproblème
(àrendreaveclacopie)
y
1500
1000
500
0
x
0 25 50
GroupementEst 4 septembre2004
2
airedutriangleAMN enm