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01 mai 2004

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Autour d'un resultat elementaire M. Tibouchi 22 mai 2004 Resume Comme promis, mais avec un certain retard, je propose ici une solution propre a l'un des exercices du 21 janvier, avec en prime quelques remarques culturelles s'y rap- portant. Tous les commentaires, demandes d'eclaircissements, corrections, remarques orthographiques ou autres, sont les bienvenus.1 1 Chose promise, chose due. Il s'agissait de montrer que pour tout polynome f non constant a coefficients entiers, il existe une infinite de nombres premiers p tels que f ait une racine modulo p. Posons a = f(0), qu'on peut bien sur supposer non nul, et g(X) = f(aX). Tous les coefficients de g sont divisibles par a, donc on peut ecrire g(X) = a · g0(X), avec g0 polynome a coefficients entiers, de meme degre que f , et verifiant g0(0) = 1. Il suffit de montrer que l'ensemble des nombres premiers modulo lesquels g0 a une racine est infini. Supposons par l'absurde qu'il n'y en ait qu'un nombre fini, et notons m leur produit. Comme le polynome g0(mX) n'est pas constant, il prend sur Z une valeur entiere autre que ±1, et il existe un entier x et un nombre premier tels que |g0(mx).

theoreme de cˇebotarev

polynome

veritable enonce du theoreme

polynome g0

racine

preuve basee

racine modulo

theoreme de dirichlet par la methode elementaire

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Autourd’unr´esultate´l´ementaire

M. Tibouchi 22 mai 2004

Re´sume´ Commepromis,maisavecuncertainretard,jeproposeiciunesolutionproprea` l’un des exercices du 21 janvier, avec en prime quelques remarques culturelles s’y rap-portant.Touslescommentaires,demandesd’´eclaircissements,corrections,remarques 1 orthographiques ou autres, sont les bienvenus.

1 Chosepromise, chose due. Ils’agissaitdemontrerquepourtoutpolynoˆmeftiens,ercieﬃtsentnatoca`nonsnoc ilexisteuneinﬁnit´edenombrespremiersptels quefait une racine modulop. Posons a=fsˆeurrnsiueppnosle,uettbo’nonnup,)uq0(g(X) =f(aX). Tous les coeﬃcients degsont divisibles para,donconpeut´ecrrieg(X) =a∙g0(X), avecg0aponˆlye`om coeﬃcientsentiers,demeˆmedegre´quefﬁant´eri,etvg0(0) = 1. Il suﬃt de montrer que l’ensemble des nombres premiers modulo lesquelsg0a une racine est inﬁni. Supposons par l’absurde qu’il n’y en ait qu’un nombre ﬁni, et notonsmleur produit. Commelepolynˆomeg0(mX) n’est pas constant, il prend surZuenavelruneite`ertuaer que±1, et il existe un entierxet un nombre premier`tels que`|g0(mx). Alorsg0a en particulier une racine modulo`, donc`|m. Mais alors : g0(mx)≡g0(0)≡1 (mod`) quiestlacontradictionrecherch´ee. On n’a fait, ﬁnalement, que tirer un peu sur la corde de la preuve d’Euclide qu’il yauneinﬁnite´denombrespremiers.Etilestassezremarquablequ’onpuisseobtenir autantavecsipeudemoyens,carlesr´esultatsanaloguespluspre´cissontconsid´erable-2 ment plus diﬃciles. 1 JeremercieenparticulierGae¨tanChenevier,C´edricPe´pinetAlexandrePilkiewiczpourleurlectureet leurspr´ecieusesremarques. 2 Cependant,contrairementa`cequ’indiquaituneversionante´rieuredecettenote,ler´esultatselonlequel pour toutfdenoit´eixniﬁsnt,eiulneesimrepserbmerpmodulo lesquelsfeste´dnics(i.e. le fait que Spl(f) estinﬁni,aveclesnotationsduparagraphe3)estencore´ele´mentaire,meˆmes’ilrequiertunattirailunpeu plusfourni.Envoiciunede´monstration,suivantunexercicepropose´parGa¨etanChenevierenTDd’alg`ebre. Soitα1, . . . , αnles racines defdansC, etk=Q(α1, . . . , αnrosposcn)elsa’D.e`rpsipoontid´deomec

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