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Autour du théorème de Brun Titchmarsh

De
39 pages

  • mémoire


Autour du théorème de Brun-Tit hmarsh Joseph Basquin Septembre 2005

  • théorème de la progression arithmétique de diri hlet

  • produit des séries de diri hlet

  • usage de lemmes lassiques d'analyse

  • lassiques théorème

  • arithmétique

  • fon tion

  • théorème de brun-tit hmarsh


Voir plus Voir moins

Septem
Autour
Joseph
du
2005
th?or?me
Basquin
de
bre

hmarsh∗∗∗
la
historique

du
situaien
stage

Mes
j'esp
remerciemen
de
ts
plusieurs
v
ter
on
e
t
hniques
?
ten
Olivier
un
Ramar?
ais
qui,
r?el-
d?j?
titre,
bien
es
a
eu
v
a
an
J'ai
t
de
mon
ail
stage
le
?
1
Lille,
de
m'a
domaine,
guid?
nom
dans

la
h?es

faite
erte
par
de
or
la
th?
th?orie
une
analytique

des
traditionnels,
nom
tout
bres
aider


notammen

t
trev
par
actuels.
ses
t

s?r,
toujours
v
tr?s
he
?clairan
fallu
ts.
nom
Je
sances
tiens
dans
?
j'a
le
trevues
remercier
fois
ensuite
dans
p
mais
our
t
a
le
v

oir
?
imm?diatemen
ten
t
de


ma
des
demande
emiers
en
?me
vue
arithm?tique
d'eectuer
un
mon
acad?mique
stage
l'on
de
les
magist?re
un
sous
an
sa


p
Les
d?butan
nom
ensuite
breuses
des
discussions
mo
que
m?tho
nous
et
a
o?
v
les
ons
tra
pu
?t?
?c
son
hanger,
math?matique
et
aussi
plus

g?n?ralemen
le
t

la
m'a
grande
m'a
qualit?
asseoir
de

son
bre


t,

tout

au
le
long
que
de
v
mon
en
s?jour
de
?
breuses
Lille
depuis
m'on
ann?es
t
mes
?t?

des
jamais
plus
lemen
protables.

Enn
sur
son
papier,
aide
d?sormais
p
hose
our
!
la


j'ai
du
t?
pr?sen
exemple
t
pr?sen
m?moire
les
m'a
th?
?t?
?me
tr?s
nombr
pr?cieuse.
pr
et
et
ts
or
Remerciemen
de
pr
gr
o
Le
ession
sujet
sous
prop
forme
os?
p
p
moins
our
que

que
stage
trouv
m'a
dans
s?duit
ouvrages
d'em
dans
bl?e,
but

v
il
t
pr?sen

tait
qui
l'a
?re
v
ourra
an-
le
tage
t.
d'ab
pu
order
appro
di?ren
her
tes


plus
de
dernes
la
les
th?orie
des
analytique

des
en
nom
oir
bres,
se
?
t
sa
probl?mes
v
Ce
oir
v
m?tho
aura
des
passionnan
d'analyse
par


d'une
u
part
bien
et
mais
m?tho
par
des

?l?men
a
taires
ec
d'autre
monde
part.
la
Dans
herc
un
qu'il
premier
oert.
temps,
ila b (a,b) [a,b]
p
A |A| 1A
π(x)
x log loglog logloglog
log log x2 3
[x] {x} f g
f ∼g f =o(g)
f =O(g) f ≪g
s =σ +iτ
f :N→C ∗

φ 1
1
f
P f(n)
F(s) = sn≥1 n
  
X X Xf(n) g(n) h(n)
   = ,
s s sn n n
n≥1 n≥1 n≥1
X
h(n) = (f∗g)(n) = f(n )g(n )1 2
n n ≤n1 2
s
les
la
ensem
notation
s?ries
de
indi?remmen
Landau
t
est
not?e
et
sa
tiers
(?
en
des
deux
pro
de
un
et
en

son
de
?
Vinogrado
?rien
v


qu'en
pp
).
le
?troit
.
v
Les
:
nom
,
bres
bre

,
seron
d?signe
t
et
usuellemen
d?signe
t
nom
not?s
nom
(resp.
asso

on
Le
usuelles
pr?liminaires
nous
et
tier,
Notations
t
de
s'explique
v
le
des
tre
s?ries).
de
remarquera
et
a

ec
d?signe
lien
partie
tre
bre
pro
?tan
de
d'un
h
La
de
donn?
2
ble

not?s
n?p
,
logarithme
v
Le

.
t
premiers
par
),
it?r?s
leur
et

not?
v
t
olution,

not?e
tan
?
asso
.
t
On
notations
utilise
utilisons
les
,
notations
,

fonctions
p
donn?es
our
?tan
les
Cela
fonctions
notammen
arithm?tiques
par
usuelles
lien
:
en
La
le
lettre
duit
(p

t
olution
le
duit
pro
le
des
M?bius,
de
,
hlet

.
d'Euler,
toujours
,
fractionnaire
la
sa
fonction
nom

premier.
te
est
?gale
r?el
?
nom
en
ti?re
,
partie


Lors
t
de
un
l'?tude,
,
en
,
th?orie
son
analytique
t
des

nom

bres,
a
des
ec
fonctions
fonction
arithm?tiques,
On
apparaissen

t
,
fr?quemmen
l'usage
t
le
les
bre
s?ries
(resp.
not?
).
,
.
de
Les

de
hlet
bres
qui
est
leur
son
inf?rieurs
(1)
domaine
our
la
dans
fonction
de
d?signe

.
ergence
On
trois
supp
On
ose
l'analogie

v
ues
le
les
en
notions
le
?l?men
duit
taires
Cauc
sur
y
les
deux
fonctions
arithm?tiques  
X X X
n n n  a z b z = c z ,n n n
n≥0 n≥0 n≥0
X
c = f(n )g(n ).n 1 2
n +n ≤n1 2
en95

de
asso
que
:
se
t
lemmes
son
el,
a
3
hlet,
p
v
?
ec
On
?galemen
usage
leurs
d'analyse,
qui
sommation
ti?res
form
en

s?ries

des
on
duit
ourra
pro
r?f?rer
le
[T
et

suites
fera
(2)
t
P
de
our

les
tels
notions
la
de
d'Ab
bases
la
relativ
ule
es
sommation
aux

s?ries
dea q a q
x q q
x→∞
q x
q x
X N
1≤ 2
φ(q)log(N/q)
M+1≤p≤M+N
p=a (mod q)
2 2−ξ ξ > 0
trerons
Hadamard
particulier.
en
toujours
1896,
notammen
et
lytique
plus
notre
de
m?-
soixan
A
te
il
ans
v
aupara
our
v
bres
an
?es
t
t
du
premiers
th?
th?or?me
or
:
?me
premiers
de
d'un
la
t
pr
de
o
Cela
gr
la
ession
donc
arithm?tique
son
de
du

de
hlet,
es
donnan
r?partition
t
etits
l'existence
p
d'une
don
innit?
l?g?remen
de
or
nom
sur
bres
t
premiers
th?or?mes

La
?

oussin
n'est
mo

dulo
D?mon
P
4
(a
grandemen
v
pratique
ec
des
all?e
et
premier
traitemen
?
part,
V
d?v
).
au
Ce
si?cle,
deuxi?me
des
th?or?me
qui
s'est
t
pr?cis?
r?sultats,
en
sur
un
nom
"th?or?me
les
des
terv
nom
titre,
bres

premiers

en
nous
progressions
v
arithm?tiques"
plus
qui
des
donne
du
une
distribution
?v
renseignen
aluation
nom
asymptotique
bres
du
th?orie
nom
deux
bre
depuis
de
de
nom
si
bres
2
premiers
est
inf?rieurs

?
qu'une
la
serait-ce
dans
tr?s
les
tro
di?ren
tionn?
tes
!

limite
mo
t
dulo

de
sur
,
distribution
p
nom
our
premiers,
?

x?,
un
et
t
t
D'autre
endammen
se
ind?p
t
.
elopp
Si
tout
l'on
long
souhaite
XX?me
faire
des
tendre
tho
d?
dites
v

ers
fournissen
l'inni
d'autres
en
yp
m?me
de
temps
et
que
t
,
la
,
de
les
bres
probl?mes
dans
actuels
p
se
in
situen
alles.
t

au
on
niv
eut
eau
le
de
de
la
hmarsh,
d?p
t
endance
d?mon
en
une
tre
ersion
emiers
t
et
faible
pr
nombr
,
?me
et
th?
de
s'agit
l'
:
ee
leur

t
de
nous
tels
bres
r?sultats
les
es

et
nom
des
aurait
ana-
r?p
de
imp
grands
tes
si?cle,
toute
plus
th?orie,
(3)

question
nous
sa
nous
oir
t?resser
la
Plus
te
t,
apparaissan
mon
ici
qu'une
optimale
am?lioration
pas
tra?ne
h?e,
meilleure
est-il
de
am?lioration
distribution
ne
nom
que
premiers

progressions
par
tiques,

sens
p
l'eectivit?
In
r?sultat
:


des
th?or?mes

fon
ortan
t
dans
appara?tre
la
des
r?p

auxquelles
tes
allons
dans
in
les
ici.
termes
pr?cis?men
d'erreurs,
on
don
trera
t
telle
on
en
ne
une
sait

qu'?tablir
la
l'existence,
des
sans
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p
en
ouv
arithm?-
oir
au
les
de

du
ler
men
n

um?riquemen
teu
A
nous
v
arithm?tique
an
quelque
t
pa
d'attaquer
5
la
d?taillons
preuv
p
e
le
du
ysage
r?sultat

en
question,[logn]
n n
P
1/logn 1 x 1/logn∼n≥2Rx dt x∼
2 logt logx
π(x) 1 x
xπ(x)∼
logx
ax/logx≤π(x)≤bx/logx a
b
π
x/logx
ψ
π
ψ
ψ(x)∼x
P
π(x) = 1p≤x
1
tous
que
premier
de
bre
lin?aire
nom
meil
un
in
a
:
y
taille
qu'il
?
t)
tra
notammen
viron
Legendre
fonction
et
l'on
Gauss
p
fait
En
t
on
qu'on
autre
(ce
l'on

?
?
v
nom
(autour
bres
plus
premiers.
par
Soit
tiendra
alors
aura
am?ne

nous
en
um?riques
oir
n
p
le
eut
nom
.
bre
un
de
En
nom
p
bres
adapt?e
premiers
t
en
e
tre
En
tables
ailler
et
une
de
en
.
en
La
pas

!
annonc?e
duira
plus
suite
haut
qui
est
m?me
en
mais
fait

le
?re
Th?or?me
rep
1
fera
(des
t
nom
a
bres
une
premiers)


,
la
on
premiers,
de
bres
en
nom
tre
des
asso
distribution
oids
la
la
?
t
t?resse
oids,
Remarque.
arriv
Sans
fonction
aller

jusqu'?

a
la
v
leur
oir
fonction
un
?tudier.
tel
eet,
?quiv
v
alen
a
t,
ec
on
fonction
p

eut
tiers
a
d'un
v
tier
oir
n'est
plus
des

maniables
t
On
que
tro
ledit
alors
th?or?me
la
un
une

en
t

s'in
la
on
information
Quand
a
taires
qui
?l?men
une
r?sultats
que
et
esp
D?nitions
plus
1
?
Chapitre
?rer
i.e.
on
un
tout
en
d?nissan
tier
y
de
our
"probabilit?"
v
une
m?me
les

en
qu'il

eut
indique
on
l'on
.
une
fait,
sur
p
les
?crire
bres
et
et
tre
haque
Ainsi,
que
),
en
ec
,
v
qui
a
que
,
fait
premier
somme
et
tous
est
nom

premiers,
tes

(v
fois
oir
l'on
les
rencon
th?or?mes
un,
dus
lui
?

T
p

de
heb
dans
yc
somme.
hev).
mettan
Si
un
la
p
fonction
on
taille
eut
souhaite.
er
a
une
6
plus
d?nir,
?

que
n'est
pas
Nous
est
vions
simple
?[logn]
logp p
p
(p ) logpn n
p −pn n−1P P
logp ≈ p −p ≈xn n n−1p ≤x p ≤xn n
p p p p x1 2 n−1 n

νlogp n =p
Λ(n) =
0
P
ψ(x) = Λ(n)n≤x
ψ π
ψ(x)∼x
ζ
X 1
ζ(s) = ,
sn
n
ℜes> 1 ℜes≤ 1
s = 1
ζ
ζ
−1Y 1
ζ(s) = 1−
sp
p
eau
P
bres
our
bres
une
on
simple
prolongemen
raison
donc


hnique,
t
on
d'y
regardera
el?e
non
par
seulemen
l'on
t
viron
les
pr?dictions
nom

bres
).
premiers
m?tho
mais
heureusemen
aussi
ortan
les
en
puissances
les
de
tit?
nom
de
bres

premiers
our
(cela
d?nition
ne
p

P
hange
olongement
en
m?romorphe
r?alit?

pas
se
grand


y
hose
toutes
!)
m?me
et
.
l'on
suiv
in
qui
tro
sur
duit
un
la
1
fonction
nom
de
tro
v
fonction
on
Soit
Mangoldt
la
:
des
b
doit
sym
aloir
oids
.
p
ici
Ce

.
Si
premier
esp
bre

nom
son
haque
au
si
une

y
?
seul
oids
p
p
p
le
?
sinon
[T
On
our
d?nit

alors
plusieurs
la
v
fonction
t
donc
?

!)
Asso
de
tiers.
a
en
form
les
te,
tous
tit?
premier
le
bre
t
nom
les
un
tiers)
trait
duit
rencon
bres
.

Il
ort
olise
est
bre
?quiv
question.
alen
duisons
t
la
et
si
plus
Riemann.
simple
:
ici
note
de
suite
tra
te
v
nom
ailler
premiers,
a
p
v
v
ec
en
l'on
.
qu'a
La
v
donn?e
ec
n'a
que
t
,
sens
v
our
oir
nos
par
?rer
exemple
.
[TMF00
ar

tre,
:
utilisera
le
pr
th?or?me
analytique
des
plan
nom
en
bres
fonction
premiers
(a
est
an
?quiv

alen
p
t
eut
?
on
l'assertion
On
t
ourra
initialemen
r?f?rer

nouv
premier
?
pr?c?den
en95
t.
p
.
une
Les
de
d?monstrations
(il
habituelles
a
du
fa?ons
th?or?me
par-
des
enir,
nom
menan
bres
fort
premiers
t
passe
la
par
fonction
l'analyse
de

t
(il
exactes,
existe
On
des
l'imp
d?monstrations
te
?l?men
ule
taires,
an
mais
app
Ainsi,
iden
moralemen
d'Euler,
1
fait
p
lien
v
tre

(somme
tit?
tous
une
nom
ersion
en
du
et
d'existence
pro
d'unicit?
sur
la
nom
osition
premiers
en
:
t
de
la
rapp

au
est
son
utilis?
.
la
de
en
probabilistes
premiers,
elles
(1.1)
ne
On
son
eut
t
oir
n
iden
ullemen

t
v
ais?es
analytique
:
th?or?me
le
et
terme
de
?l?mentair

e
d'un
indique
tier
seulemen

t

qu'elles
qui
n'utilisen
d'ailleurs
t
dans
pas
d?monstration
l'analyse
l'iden

en
!),
7
inℜes> 1
f ℜes > 1
P Q −1s sf(n)/n = (1−f(p)/p )n p
ζ
0≤ℜes≤ 1
ψ ζ
ρXx 1 −2ψ(x) =x− −log(2π)− log(1−x ),
ρ 2
ρ
νx = p
ψ(x) = x +o(x) ζ
ℜe (s) ≥ 1 ℜe (s) > 1
ℜe(s) = 1
o(x)
f f(mn) = f(m)f(n)
(m,n)
elle
la
).
form
,
ule
a
suiv
de
an
y
te
l'on
due
C'est
?
ement
v
a
on
(1.1),
Mangoldt,

qui
[TMF00
exprime
qu'un
on
z?ros
au
allons
mo
?re
y
our
en
(on
d'une
.
somme
?
sur
de
les
sur
z?ros
e
non
telle
triviaux
en95
de
terme
d'illustration,
fonction
:
meilleure
titre
au
A
preuv
triviaux").
ici.
"non
arithm?tique
z?ros
duit
nomme
l'on
l'on
p
que

,
n'y
bande
p
la
a
dans
p

form

sut
et
trer
t,
a
temen
droite
parfai-
;

m
l'on
our
que
v
e,
p.50,
n?gativ
p.171.
r?elle
eut
partie
plus
de

z?ros
,
les
esoin
distingue

on


pr?c?den
(parmi
une
z?ros
que
ses
in
p
On
our
une
de
qui6
similaire
particulier
pr
en
un
et
Signalons
,
.
la
la
somme
pr?cise
fonction
Une
a
sait
qu'il
8
en
te
pas
en
our
"v
:
aleur
on

our
La
gr?ce
d?monstration
la
n'est
ule
pas
il
?loign?e
donc
de
mon

qu'il
du
en
th?or?me
pas
des
la
nom
v
bres
ainsi
premiers
2
que
ultiplicativ
nous
t
donnerons
P
ici
une
(v
d?monstration,
oir
oir


On
[T
p

eut
Si
mon
v
trer
un
le
d'erreur
th?or?me
n
des
simple
nom
arithm?tique
bres
toute
premiers
on
sous
b
la
d'une
forme
lo
la
des
plus
que
simple
annonc?e
la
paragraphe
de
t.

?
onne
telle
b
e
une
nous
sur
nous
ose
t?resser
rep
2
premiers
app
bres
ainsi
gr?ce
fonction
au
our
simple
v
fait
p
que
eul?rien
nom
o
n'a
en
pas
d?velopp
de
a
z?ros
que
dans
p
le
tous
demi-plan
our
des
r?partition

.
v
ergen9
Chapitre
d'en
2
a
Th?or?me
d?tails
des
du
nom
an
bres
dans
premiers
la
Nous
e
donnons
th?or?me,
d'ab
v
ord
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