1CERCLES VICIEUX MATH MATIQUES ET

Giuseppe Longo

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
1CERCLES VICIEUX, MATH?MATIQUES ET FORMALISATIONS LOGIQUES1 Giuseppe Longo CNRS et D?pt. de Math?matiques et Informatique ?cole Normale Sup?rieure, Paris Resum? Dans ce texte on analyse bri?vement, et d'une fa?on essentiellement accessible ? un lecteur humaniste, certains formes de circularit?s logiques et math?matiques (auto-appartenance, auto- application, impr?dicativit? ....). On essaye tout d'abord de les comprendre comme propri?t?s de fermeture de certaines structures math?matiques, qui leur donnent un sens. En fait, nombreuses circularit?s peuvent ?tre comprises comme des solutions de syst?mes d'?quations. La r?flexion philosophique qui en suit essaye de souligner le r?le que ces circularit?s logiques et math?matiques ont et peuvent encore plus avoir dans nos tentatives de rendre le monde intelligible par les math?matiques. Summary In this text, we briefly analyse, in a style which should be accessible to a non-mathematician, some forms of circularity in Logic and Mathematics (self-membership, self-application, impredicativity ...). We then try to unify them as closure properties of suitable mathematical structures, which give meaning to them. As a matter of fact, the main circularities may be understood as solutions of systems of equations. The ensuing philosophical reflection stresses the positive role that the logico- mathematical circularities have and may even more have in our endeavour to make the world intelligible by mathematical tools.

• clair ?


• syst?me solaire


• aise avec le calcul alg?brique


• math?matiques


• structure math?matique


• difficult?s essentielles pour la solutions des syst?mes d'?quations diff?rentielles


• solutions dans la preuve de la fermeture


• solution du probl?me


• physique


• probl?mes

Sujets

• Mathématiques
• Physique
• Physique-chimie

Informations

• Publié par: sucun
• Publié le: 01 juin 1998
• Nombre de lectures: 69
• Langue: Français

Extrait

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CERCLES VICIEUX, MATHƒMATIQUES ET

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CNRS et DŽpt. de MathŽmatiques et Informatique

ƒcole Normale SupŽrieure, Paris

http://www.dmi.ens.fr/users/longo

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Dans ce texte on analyse brivement, et d’une faon essentiellement accessible ˆ un lecteur

humaniste, certains formes de "circularitŽs" logiques et mathŽmatiques (auto-appartenance, auto-

application, imprŽdicativitŽ ....). On essaye tout d’abord de les comprendre comme "propriŽtŽs de

fermeture" de certaines structures mathŽmatiques, qui leur donnent un sens. En fait, nombreuses

circularitŽs peuvent tre comprises comme des "solutions de systmes d’Žquations". La rŽflexion

philosophique qui en suit essaye de souligner le r™le que ces circularitŽs logiques et mathŽmatiques

ont et peuvent encore plus avoir dans nos tentatives de rendre le monde intelligible par les

mathŽmatiques.

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In this text, we briefly analyse, in a style which should be accessible to a non-mathematician, some

forms of circularity in Logic and Mathematics (self-membership, self-application, impredicativity

...). We then try to unify them as "closure properties" of suitable mathematical structures, which

give meaning to them. As a matter of fact, the main circularities may be understood as "solutions of

systems of equations". The ensuing philosophical reflection stresses the positive role that the logico-

mathematical circularities have and may even more have in our endeavour to make the world

intelligible by mathematical tools.

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Dans les phŽnomnes naturelles, mais aussi dans ceux de la pensŽ et dans les constructions

conceptuelle, on trouve maintes formes de "circularitŽs". Il est bien difficile de les classer, car elles

se prŽsentes sous des formes et dans des contextes trs diffŽrents. On peut en citer quelques unes,

en commenant par la Physique.

ConsidŽrez le "plus simples" des systmes dynamiques : trois corps ou plus dont le mouvement

est seulement rŽglŽ par la loi newtonienne de gravitation universelle. La position, la vitesse et

l’accŽlŽration de chaque corps est dŽterminŽ par la position, la vitesse et l’accŽlŽration de chaque

1

Texte d’une confŽrence invitŽe, Coll.

Logique et Sciences Humaines

, Paris, Juin 1998. PubliŽ dans

"MathŽmatiques et Sciences Humaines", n. 151, 2000 (http://www.ehess.fr/centres/cams/publica/msh.html).

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autre corps : on ne peut pas isoler un des corps et en Žtudier le mouvement, car celui-ci dŽpend du

mouvement du

systme

, dans sa globalitŽ. Le systme n’est pas "stratifiŽ". Ce problme Žtait clair

ˆ Newton lui mme et, au cours du sicle dernier une grande quantitŽ de travail mathŽmatique

remarquable fut dŽdiŽ au traitement de cette "circularitŽ", au coeur de problmes physiques

d’importance Žnorme (notre systme solaire en fournit un bon exemple). PoincarŽ, vers la fin du

sicle, dŽmontra les difficultŽs essentielles pour la solutions des systmes d’Žquations diffŽrentielles

qui dŽcrivent ces systmes dynamiques: elles sont due ˆ cette circularitŽ

physique

du systme et elles

en donnent la contrepartie mathŽmatique, conceptuelle.

Passons aux phŽnomnes de la vie. Tout d’abord chaque tre vivant reprŽsente une "unitŽ

systŽmique", au moins aussi complexe et "intercorrŽlŽe" que les systmes dynamiques de la

Physique. On ne peut pas comprendre les fonctions, la nature mme d’une partie, d’un organe,

sans la comprendre dans l’unitŽ de l’organisme, en fait dans son rapport et ses maintes liaisons avec

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systŽmique plus grande, par des phŽnomnes de symbiose, par exemple, ou d’Žchanges vitaux dans

les quels on peut pas dire qui est "ce qui vient le premier", au cours de l’Žvolution, par exemple.

Que dire des processus mentaux? Le regard sur soit mme, la conscience de notre propre

conscience ... les rŽflexions cognitives sur la cognition humaines et autres jeux de mots qui sous-

tendent des vrais problmes de reprŽsentation conceptuelle.

Dans certains cas, les mathŽmatiques aident a traiter ces problmes ou, au moins, elles donnent

des clarifications, traitent des cas particuliers, reprŽsentent avec rigueur certains systmes. La

Logique MathŽmatique, en particulier, a permis l’analyse et a proposŽ des solutions pour certaines

circularitŽs prŽsentes dans le langage des mathŽmatiques. On discutera d’abord de trois formes

fondamentales de "circularitŽs" traitŽes en Logique MathŽmatique, tout en essayant de trouver le

sens de la mŽthode commune de solution : on verra en particulier que ces circularitŽs syntactiques

trouvent des solutions dans la preuve de la

fermeture

, par rapport ˆ certains opŽrations, de certaines

structures algŽbriques ou gŽomŽtriques. On esquissera aussi quelques ŽlŽments du problme tel

qu’il se pose dans d’autres secteurs des mathŽmatiques.

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mathŽmaticien, s’il y en a une, c’est que ces apparents paradoxes dans le monde ou dans nos

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"challenges", et que les mathŽmatiques ont su, dans certains cas (trs peu ˆ vrai dire), en donner des

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instructives, quoique trs spŽcifiques. Un lien peut-tre important ou possible entre physique, vie et

pensŽ, d’un cotŽ, et reprŽsentation mathŽmatique, de l’autre.