60 pages
Français

CALCUL TENSORIEL

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

LICENCE, Supérieur, Licence (bac+3)
  • cours - matière potentielle : sur les tenseurs
LICENCE DE PHYSIQUE : Parcours Physique et Applications UNIVERSITÉ PARIS-SUD ORSAY CALCUL TENSORIEL G. Abramovici septembre 2011
  • bijection parfaite entre bra
  • vecteurs de b′ de façon
  • façon cohérente avec la définition de la base canonique
  • base canonique
  • u3v2 u3v1
  • b′
  • produit scalaire
  • vecteur
  • vecteurs
  • définition

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 187
Langue Français

TENSORIEL
DE
PHYSIQUE
:
P
arcours
Ph
ysique
CALCUL
G.
vici
bre
ARIS-SUD
ORSA
Y
et
Abramo
Applications
septem
UNIVERSITÉ
2011
P
LICENCE2.
.
.
ératoire
.
.
.
.
A
.
.
.
.
.
.
métriques
.
.
.
.
.
.
.
.
et
.
.
.
.
or
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
2
.
9
.
.
.
.
.
3
.
.
.
ecteur
B
.
et
tensoriel
.
.
en
con
.
.
.
duit
.
.
bas
Symétries
v
.
.
.
.
.
transformation
e
.
.
.
.
.
.
.
.
inéaire
56
.
.
.
.
.
I
.
.
.
.
.
.
.
37
.
.
.
.
.
.
co
Dénition
.
.
arian
.
.
.
.
les
.
tra
.
.
41
tes
.
.
.
24
.
Cas
41
.
.
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
28
.
.
Autres
t
.
.
.
.
.
.
ectoriel
:
.
.
.
.
.
.
des
.
.
Algèbre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
récipro
.
.
34
.
enseurs
.
des
.
.
Op
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dénition
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
osan
.
.
37
arian
trinsèque
.
.
tra
.
.
.
d'un
.
.
.
.
.
.
tion
23
.
.
tes
.
.
.
arian
.
.
.
v
Pro
.
.
tenseur
.
.
.
.
.
10
.
Con
.
2
.
d
Pro
base
.
.
.
.
.
.
.
e
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
Bases
.
.
.
.
.
Changements
.
.
.
.
46
.
.
.
.
d'algèbre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
enseurs
.
an
.
.
.
.
Lois
.
.
47
c
des
.
rs
base
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
duit
2
.
.
.
de
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
par
.
.
.
.
des
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
.
.
.
Bases
.
.
.
ques
.
.
.
.
I
.
T
.
37
.
Définitions
.
tenseurs
3
.
.
.
.
.
.
.
érateurs
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
op
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
.
.
.
Comp
.
.
.
tes
.
.
.
v
2
.
in
tes
.
.
.
con
.
.
.
v
.
.
.
tes
.
.
.
v
.
.
.
.
.
.
.
.
39
.
Opéra
.
sur
.
tenseurs
4
.
.
osan
.
.
.
con
.
.
.
v
.
.
.
tes
.
.
.
co
.
.
1
arian
duit
.
.
d'un
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
5
.
B
.
v
.
.
.
tion
.
d'une
2
'Einstein
duit
Scalaires
tracté
.
.
non
.
.
.
Rappels
.
.
.
thonormal
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
45
.
Pro
.
scalaire
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
.
.
.
de
.
et
.
e
.
.
.
.
C
.
.
.
.
.
.
.
.
I
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ecteurs
.
.
.
17
.
.
.
.
.
.
47
Métrique
T
.
sy
.
et
.
tisymétriques
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
de
.
.
.
par
2
.
symétries
hangemen
tens
.
u
de
.
.
.
.
.
l
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
.
Pro
28
v
.
.
Application
.
.
.
orthonormalisation
.
.
.
able
matières
A
.
.
.
.
Comp
.
Gram-Sc
.
hmidt
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
.
Réduction
31
tenseurs
D
symétrie
T
.
ablea
.
ux
.
récapitula
.
t
.
if
.
s
.
.
.
.
3
.
Tpro
duit
in
érateurs
pro
duit
les
co
érateur
addition
t
transp
he)
notation
complexes
de
rédu
duit
qui
ou
(sans
ul
colonnes
des
ti
t
conjugaison
v
la
ble
hermiti
droite
de
nom
e
sens
olynôme
des
et
ecteur
pro
r
v
addition
dimension
des
l'op
base
comp
c
e
iden
trace
co
e
n
des
p
ti
in
et
matricielle

sens
ble
scalaire
matricielle
n
nom
érateur
la
v
table
ou
pro
en
op
in
v
en
réels
ecteurs
au
la
colonnes
ectoriel
ul
tensoriel
ertaines
extérieur
d'espaces
(d'un
ts
aire
v
érateur
des
tité
tersection)
érateur
matrices
t
canonique
des
dénitions
et
matriciel)
duit
à
d
tica
l'op
apitulatifs
l'op
o
trace
ecien
la
en
réels
t
quan
ositifs
réels
complexe

osition)
ensem
osition
ectorielle
comp
ensem
de
gauc
(au
les
duit
et
ou
des
e

en
des
classique
dans
l'op
bres
erse
base
pro
c
scalaire
)
hermiti
érateurs
n
du
notation
bres
t
espace
caractéristique
espace
angle
ectoriel
tre
aux
v
it
p
matrices
matrice
v
pro
comm
v
n
de
à
duit
(au
t
é
duit
tersection
déterminan
ecien
olume
atrice
trièdre)
espace
son
d'espaces
(en
complexes
2)
ectoriels
l'op
é
iden
in
l'op
la
n
voir
galement
dans
uten
ts
tre
strictemen
m
de
ensem
déterminan
ble
osition
des
op
en
matrice
tiers
la
naturels
pro
la
matriciel
ensem
matrices
ble
et
des
érateur
en
adjoin
tiers
de
relatifs
érateur
de
d
erse
adjoin
v
de
ensem
matrice
ble
4
Dirac
Glossaire
R
nR
C
nC
B
B
= B
f0g
\

N
Z
R+
tA
(u:v)
hujvi
ucv u v

^
V
I
O
AB A B
AB A B
yA A
yA A
tr(A) A
tr(A) A
det(A) A
det(A) A

1A A
1A A
P +Q P QLes
k
a
Soit
v
et
p
sur
te
tes
exemple
matrices
dénis
suiv
ac
osition
encore
e
ecteurs
par
seron
,
dimensions,
osantes
t
érier
formelle.
Dans
base
un
caractérisés
n
une
et
b
en

v
ts
ec
e
d'algèbre
matrice
toujours
la
à
le
,
v
Bases
ve
comp
b
notera
t,
s'app
le
p
,
,
a
dans
par
.
Bases
son
t
la
esp
te
so
p
Rappels
de
haut
le
e
la
ou
a
v
,
l'indice
n
ectoriel
ci
v
co
Algèbre
colonne
notés
la
on
base
t
dans
a
représen
il
on
trois
ecteur
de
un
linéaire
cteur
osan
d'un
on
Comp
les
:
orthonormales
par
ellen
explicitemen
orthogonale,
v
une
eut
notera
orthonormale
On
une
les
colonne
I
A
1
Soit
base
base
on
app
la
elée
écriture
b
Ces
ase
ecteurs
c
t
anonique
par
.
propriété
En
an
représen
:
tation
ermet
matricielle
er
dans
Kronec
sa
ole
prop
sym
re
.
base
transp
our
désigne
,
6
on
5
et
Chapitre
E R B = (e ;e ;e )1 2 3
B = (jei;jei;jei) B1 2 3
B
0 1 0 1 0 1
1 0 0
B B B@ A @ A @ Ajei = 0 jei = 1 jei = 0 ;1 2 3
0 0 1
e BiB

0 i =jte:e hejei = e e = i j i j iB jB ij1 i =j
t
0 1 0 1
0 0
@ A @ Ahejei = ( 1 0 0 ) 1 = 0 hejei = ( 0 0 1 ) 0 = 1 :1 2 3 3
0 1
0 1
1u
2@ Ajui B u u :B
3uiu i = 1; 2; 3 jui
3X
Bijui = ujei =u :i B
i=1
iu =hejuiioù
ecteur
m
que
iden
un
a
on
linéaires
t
une
in
Dans
une
.
dimension
c
.
fois
on
une
le
base
tre,
.
v
la
ond,
liné
e
à
Dirac,
la
o
t,
par
est
e
complexe
qui
dimension
rapp
conjugaison
leme
plus
constituée
.
et
n'est
a
ligne,
t
linéaire
même
est
tre,
e
on
ecteur,
établie
Br
notation.
une
ligne.
ule
bra
notation
linéaire
.
o
représen
eet,
que
faut
ecteur
t
.
matrice
k
comme
a
osée
,
uguée
rapp
que
sp
grand
tra
te
e
Finalemen
,
eut
t,
)
utilisé
des
colonne.
représen
étan
vraie,
ecteurs
la
scalaire
une
totale-
récipro
u
par
tié
o
e
asso
ar
teu
t
à
b
dimension
pas
un
qu'on
.
ligne
il
l'on
o
duire
t,
F
et
e
ket
p
l'
u
la
bra
.
fo
de
,
rm
ica
on
de
.
:
te
tout
v
v
v
,
.
l'adjoin
on
nie
f
d'une
le
En
que
dénie
et
l
elle
transp
par
et
ell
conj
,
de
l
,
corre-
innie)
Exemple
(en
ond,
,
dans
représen
atrici
la

complexe.
l
t,
plusieurs
p
n
écrire
de
est
à
(noté
(on
formes
matrice
l'espace
t
On
Kets
te
déjà
bra
v
pas
de
dans
son
base
n
par
donc
matrice
ne
selon
men
la
On
con
iden
;
dimension,
rme
s
f
duit
cié
P
bien
de
r
con
ec
alair
tout
un
:
son
inni
ra
en
v
pas
n'est
tre,
remarquera
v
note
duit
matrice
car
par
c
a
corresp
sans
du
tro
matriciellemen
d'autre
a
d
à
).
Pr
air
matrice
On
eut
:
aille
o
pro
sc
et
n'est
alable
On
tier
p
n
eut
que
faire
et
une
une
bijection
rme
parfaite
k
en
c'est-à-dire
tre
appl
bra
ti
et
n
k
bijection
et,
que
car
en
l'un
à
est
v
l'adjoin
oir
t
sa
de
Il
l'autre.
.
Matriciellemen
6
orme
Démonstration
0 1
X X
j j i@ Ahejui =hej ujei = u hejei =u :i i j i j
| {z }
j j
ij
0 1
1u
2 2@ Au = ( 0 1 0 ) u
3u
u jui
yA A
y tA A = A
yjui =huj huj B
0 1y1u
B y 2 1 2 3@ Ahuj =u u = (u u u ) ;B
3u
y
uB
huj U
E!R jxi2E jxi7!Ujxihujxi2R
$
jui huj
E
E
n E E
E (hej;;he j)1 n
0 1y
0
B C
B C iB C 0B B Cyhej =jei =B C = 0 0 1 0 0 :i i B 1Ci
B C
@ 0A
Rhermitien,
car
pro
rapp
n
t
s
v
généralisation
est
complexe.
aille
v
généralisen
une
des
d'après
Pr
orthonormale
scalaire
ces
On
dénition,
ourtan
main
t
car
la
et
fondamen
i
a
.
e
ri
D'où
se
s'écrit,
T
tenan
le
base
pro
scalaire
pro
norme
Démonstration
v
ici
soit
utile
par
sera
et
(en
obtien
(c)
gaison
canon-
tra
(1)
u
,
a
orthogo
d'un
l'égalité
di
base
cours
On
résultats
la
s
nalemen
v
dans
p
(c),
les
e,
le
t,
duit
ecteur
cas
le
dans
place
duit
duit
au
du
duit
de
du
;
la
deux
:
la
a
ecteurs
eler
canoni
de
donné
t
ar
p
:
Il
l
cas
t
appliquan
P
l'équation
on

conju-
ique
disparaît
g
on
base
v
n
dans
dans
)
tale
toujours
ecteur
t
u
leme
c
se
dans
q
a
Norme
orthogonale,
la
tes
t
osan
se
comp
du
des
D'où
dénition
certains
même
réels,
la
l
ec
ecto
v
espaces
A
our
.
fera
complexe
tenseurs
yse
ur
anal
cours
en
out
servira
hermitien
cela
o
;
f
complexe
7
e
On
0 1 0 1
1 1u v
B B2 2@ A @ AB jui = u jvi = v ;
3 3u v
0 1
1v
y 1 1 2 2 3 31 2 3 2@ Ahujvi (u u u ) v =u v =u v +u v +u v :BB
3v
P
ihuj = uhejii P
iR jvi = vjeiii
0 1 !
X X
i j@ Ahujvi = uhej vjeii j
i j
X
i j= uv hejeii j
| {z }
ij
ij
X
i i= uv :
i
iu jui
B
X X
i ijui = ujei () huj = uhej :i i
i i
0 1 !
X X
ji @ Ahujvi = uhej vjeii j
i j
X
ji= uv hejeii j
| {z }
ij
ij
X
ii= uv :
i
hujvi =hvjui :
jui
p
kuk = hujui
sX
i 2= (u ) :
ielle
v
a,
par
désigne
ceci
formelle
en
de
p
ctoriel
Pr
ies
On
ce
Enn,
et
la
i
pro
du
ecteurs
cas
dénition
de
cteurs
n
a
t
p
V
comp
h
rapp
u
elation
s'écrit
sesquili
si
sc
cas
est
est
la
particulier,
duit
deux
Récipro-
de
t
dui
d
de
dui
(3)
t
façon
de
deux
que
.
v
t,
seulemen
que
t
t
ar
est
form
une
our
suiv
n
h
à
ou
quand
e
:
les
si
o
c'est-à-dire
1
dans
e
On
complexe,
la
dénition,
par
du
scalaire.
en
cosin
v
en
duit
ecteurs
dans
et
t,
est
dit
v
exprimer
u
donn
eler
en
l'o
La
duit
norme.
V
le
gonaux
u
te
la
trouv
base
Rapp
on
ecteurs,
v
duit
ectoriel.
a
pro
tisymétrique
si
mme
si
tes
critère
é
.
tout
cteurs
tes
lèles
n'a
elle
orthonormale,
de
(ou
,
.
couple
à
on
e
o
elée,
trois
R
éciquemen
règles
,
entr
simplemen
la
qui
norme
parallélisme
sesquilinéaire
t
pr
seulemen
néarité
a
duit
o
e
rapp
alair
le
év
réel.
On
rapp
dans
que
par
géométrie
tuel
dénie
exprimé
le
ér
duit
norme
En
pro
le
fonction
us
qu'il
l'angle
pro
tre
hermitien
v
scalaire.
et
hermitien
v
quemen
deux
le
ectoriel
on
donné
on
:
eut
t
complexe,
pro
ce
d
.
la
ernier
rapp
e
ccasion
fonction
C'est
(on
ve
la
o
pro
j
Soien
e
linéarité
ortho
e
De
:
cohéren
q
a
ec
e
dénition
e
la
On
ca
pro
onique,
v
dit
1.
deux
on
ecteurs
:
l
:
et
:
duit
on
son
scalaire,
orthogonaux
précédemmen
et
,
t
co
le
gauc

n
le
our
égalemen
d
k
l'on
e
étan
p
an
al
osan
a
an
rapp
les
la
duit
ule
base
Cauc
pas
y
Dans
p
pro
tout
(2)
de
cas
he).
prouv
s,
).
et
q
dimensi
:
sûr,
le
a
et
du
l
et
v
'il
t
y
sp
a
6
une
6
bijection
t,
en
plus
tre
Alors,
norme
6
et
et
pro
du
duit
son
scalaire.
parallèles
i
et

t
ométrie
on
On
l'égalité,
se
n
pl
déniti
a
elle
ce
On
ici
8
ecteurs
Bien
q pP P
i i i 2kuk = uu = juji i
jjujj =jjjjujj
2R 2C
jui jvi
1 2 2hujvi = jju +vjj jj u vjj ;
4
jui jvi
hujvi
cos(ucv) = :
jjujjjjvjj
jui jvi hujvi = 0
jui jvi
jhujvijkukkvk :
jui jvi
jhujvij =kukkvk :

ukv () 9( ; ) = (0; 0); u +v = 0
u =0
9 = 0; v =u :

ukv () uv =0

jui jvi
0 1
2 3 3 2u v u v
B 3 1 1 3@ Auv = u v u v :
1 2 2 1u v u v
vu = uv
(u:v) 82 C;(u:v) = (u:v)
(u: v) =(u:v)main
t,
les
la
vien
particulière
à
comp
eut
les
On
t
trois
ositif,
c
trois
dit,
p
v
ecteurs
pas
p
o
(pro
y
réel.
tation
tation
par
deux
matricielle
la
est
aussi
est
représen
les
ob
base
par
tournen
la
o
c
,
A
en
abu
et
par
on
sion
de
les
dans
alair
la
quelconque,
tels
ob
ecteurs
canoni
hange
déterminan
,
érateur.
:
.
:
que
serait
o
trièdre
on
n
emen
v
o
enden
qui
'un
aigu
de
base
sp
quand
in
règle
la
négativ
rs,
tensoriel
trario,
et
dans
:
de
à
ne
t
(4)
)
mais
c
base
est
v
s
a
n
parfois
ac
dép
place
.
c
tations
Soit
elés
canonique,
une
jets
dénit
des
la
hoisie).
(relativ
v
la
la
u
base.
signe
ecteur
d'étudier
olume
Scalaires
on
cet
on
représen
d'un
est
rée
di
t
a
t
tée
eet,
tiv
et
est
une
t
ts
tée
d
fournit
ecteur
si
pas
serv
réels
ecteurs
ne
de
par
un
autremen
solide
t
),
hangemen
orien
te
emen
arian
v
désigneron
selon
son
la
olume
roite

t
la
o
ou
deux
ecteurs
t,
ce
,
con
l'écrira
fait
an
une
iden
sera
op
base.
deux
s
ossèden
dénition
qui
cet
norme

alaire
réels,
Si
base
base
ec
orthonormée,
n
a
a
duit
end
.
confu
Orientation
utilisé
l'esp
a
e
quelconque,
se
Il
ici
représen
le
es
as
de
ts
sc
diéren
en
base
app
et
jets
son
base
colonne
on
ob
l'orien
mais
de
De
base
v
deux
c
emen
v
à
représen
base
de
q
selon
e)
aut
le
c
du
À
t
À
t
(orthonormée),
On
dimensions,
2
dimensions,
op
a
de
l
tation
v
la
a
S'il
norme
p
du
on
que
t
de
l
gênan
base
un
orien
il
p
hangemen
si
(en
emen
c
s'il
base
négatif,
par
di
s
qu'elle
est
orien
a
négativ
arian
t.
tation
À
formé
dimension,
d'une
l'on
in
b
t
e
v
v
dép
de
jets
ce
ils
façon
base
former
t
trièdre
les
(d'angle
base,
orthonormale,
d
la
t
la
éciquemen
est
c
tée
les
ositiv
ts
hoisie.
t
les
v
ecteurs
osan
t
t
la
scalaires
de
jets
d
V
Soit
canonique
le
elle
matrice
t
mathématiques
ob
et
Ces
emen
complexes).
sinon.
les
Pr
priori
duit
a
Soit
exclut
v
n
dans
(o
matriciellemen
réels
et,
des
encore
t
alors
son
on
jets
t
ob
p
Ces
être
:
tié
unes
un
mm
érateur,
co
écriv
propriétés
9
t
m
0B B
0 0jei Bi
0 0V =jdet (e e )j1B nB