Chapitre Pourcentages et Évolution

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Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 1 Pourcentages et Évolution I Pourcentages et taux d'évolution 1) Définition du pourcentage Définition 1 : Si A est une partie d'un ensemble E, nA et nE sont les nombres respectifs d'éléments de A et de E, alors la proportion de A dans E est p=nAnE . Cette proportion est toujours comprise entre 0 et 1. Remarque : Cette proportion est aussi appelée taux de A dans E. Définition 2 : Un pourcentage est une proportion de dénominateur 100. Exemple : Si E contient 90 éléments et A en contient 28, alors la proportion de A dans E est p=2890≈0,3111 . Le pourcentage de A dans E est alors approximativement 31,11 100 =31,11% . Définition 3 : Prendre p % d'un nombre N revient à effectuer p100?N . Exemple : Prendre 10 % de 80 revient à effectuer 10100?80= 800 100=8 . 2) Proportions échelonnées Soit A un ensemble inclus dans un autre ensemble B, lui-même inclus dans un plus grand ensemble E. On peut représenter cette configuration ainsi : Soient nA , nB et nE , les nombres respectifs d'éléments de A, B et E. Soient pBA la proportion de A dans B et pEB la proportion de B dans E. Alors la proportion de A dans E est pEA= nAnE= nA nB? nB nE= pB A? pEB .

  • lien avec le taux d'évolution définition

  • série d'évolutions successives

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  • taux d'évolution

  • taux équivalent

  • période

  • moyenne géométrique des réels positifs


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Chapitre 1 Pourcentages et Évolution
I Pourcentages et taux d'évolution
1) Définitiondu pourcentage
n Définition 1 : Si A est une partie d'un ensemble E,nAetEsont les nombres respectifs d'éléments de n A A et de E, alors la proportion de A dans E estp=. Cette proportion est toujours comprise entre 0 et 1. nE
Remarque : Cette proportion est aussi appelée taux de A dans E.
Définition 2 : Un pourcentage est une proportion de dénominateur 100.
Exemple : Si E contient 90 éléments et A en contient 28, alors la proportion de A dans E est 28 31,11 = ≈= pLe pourcentage de A dans E est alors approximativement0,3111 .31,11% . 90 100
p Pr drep % d'unnombre N revient à×N. Définition 3 :en effectuer 100
10 800 = Exemple : Prendre 10 % de 80 revient à effectuer×80=8 . 100 100
2) Proportionséchelonnées
Soit A un ensemble inclus dans un autre ensemble B, lui-même inclus dans un plus grand ensemble E. On peut représenter cette configuration ainsi :
A n nn p SoientA,BetE, les nombres respectifs d'éléments de A, B et E. SoientBla proportion de A n n n BA BA A A B pp= =p×p dans B etEla proportion de B dans E. Alors la proportion de A dans E estE= ×B E. n n n E B E
A A B iété :p=p×p ProprE B E
Exemple : Dans une classe de 30 élèves, 50 % de ces élèves apprennent l'anglais en LV1 et 20 % d'entre eux apprennent l'allemand en LV2. La proportion dans la classe de Anglais LV1 / Allemand LV2 est donc de 20 501010 × = ==× = × =10 %0,2 0,5 0,1. Le nombre de ces élèves est donc de30 3. 100 100100100
3) Tauxd'évolution et taux réciproque
VV Rappel : Lorsqu'une valeur passe de la valeur de départDla valeur d'arrivée àA, son taux V –V A D d'évolution estt=. VD
p × Propriété 1 : Soit une valeur de départ N. Augmenter cette valeur de p % revient à ajouterNà la 100 p p  ×= ×  valeur de départ N. On effectue alorsNN N1 . 100 100 p  Diminuercette valeur de p % revient à retrancher×Nà la 100 p p × = ×−  valeur de départ N. On effectue alorsNN N1 . 100 100
Exemple : Dire qu'une valeur a été augmentée de 20 % revient à dire qu'elle a été multipliée par 20  = 1 1,2. 100
Soit une valeur N évoluant vers une valeur N' suivant un taux t. On a alorsN '=N×1t. Donc N '1 = N. Le coefficient multiplicateur appliqué à N' est donc1t '=. 1t1t
Propriété 2 : Si une valeur N évolue vers une valeur N' suivant un taux t. Alors le taux réciproque 1  = d'évolution de N' vers N est t' tel que1t '. 1t
20  = Exemple : Si une valeur N augmente de 20 % pour atteindre N', elle est multipliée par1 1,2. La 100 1 16,67 ≈ = valeur N' doit donc être multipliée par0,8333 1pour atteindre la valeur de départ N. Une 1,2 100 hausse de 20 % est donc compensée par une baisse de 16,67 %.
Exercice 1 : Si le salaire des hommes est 25 % plus élevé que celui des femmes, le salaire des femmes est-il 25 % moins élevé que celui des hommes ?
Exercice 2 : Dans une galerie de peinture, le propriétaire garde 40 % du prix de chaque tableau vendu. Un peintre voudrait, pour chaque tableau, toucher 240 euros. A quel prix doit être vendu ce tableau ?
4) Pourcentagessuccessifs d'évolution
Propriété 1 : Soit N une valeur qui augmente de p % puis de p' %, alors la valeur d'arrivée est p p' ×  N1×1 . 100 100 p p' N →×1 → N ' →×1 → N ' ' 100 100 Propriété 2 : Soit N une valeur qui augmente de p % puis diminue de p' %, alors la valeur d'arrivée est p p' N×1 ×1. 100 100 p p' N →×1 → N ' →×1− → N ' ' 100 100
Exemple : A augmente de 11 % puis baisse de 3 %. 11 3 ivée est×1,11×0,97=A×1,0767 A×11 La valeur d'arr×=A 100 100 hausse équivalente de 7,67 %.
, ce qui correspond à une
Remarque : Ce qui est valable pour deux variations successives l'est aussi pour plus.
t Propriété 3 : Pour deux évolutions successives suivant les taux1ett2, le taux équivalent T est tel que 1t×  1T=11t2.
Exemple : A subit une augmentation de 6 % puis une autre augmentation de 3 % donc 6 3 = 1T=1 1T=1,0918,  =1,06×1,03 1,0918. Donc, le taux équivalent est tel que1100 100 puisT=1,09181=0,0918=9,18 %. Ces deux hausses successives sont donc équivalentes à une hausse de 9,18 %.
Exercice 3 : Un prix subit une série d'évolutions successives chaque année comme suit : 2000 – 2001 : augmentation de 6 % 2001 – 2002 : diminution de 3 % 2002 – 2003 : augmentation 8 % 2003 – 2004 : diminution de 2 % 2004 – 2005 : augmentation 4 % Quel est le pourcentage d'évolution équivalent ?
Méthode : Si l'on connaît le coefficient multiplicateur CM, pour retrouver l'évolution correspondante, on regarde dans lequel de ces deux cas on se trouve : CMalors c'est une augmentation de1 ,a%a=CM –1×100. = une diminution deb%b1– CM×10 0CM10 ., alors c'est
Exercice 23 page 28
5) Tauxmoyen
1 Définition : La moyenne géométrique des réels positifs a et b est. La moyenne 2 a×b=a×b1 géométrique des réels positifs a, b et c est. On peut ainsi calculer la moyenne géométrique 3 a×b×cd'autant de réels positifs que l'on veut.
Exemple : La moyenne géométrique des nombres positifs 1,2 ; 0,8 ; 1,9 et 0,9 est 1 1 . 4 4 1,2×0,8×1,9×0,9 =1,64161,1319
1 Remarque : Sur la calculatrice,s'écrit a ^ (1/n). n a
1 Remarque 2 : Si a et b sont des nombres positifs et. n n a=b , alors a=b
Exercices 27 à 29, puis 32 à 34 page 28
Propriété : Si une valeur évolue selon un taux équivalent t sur n évolutions, le coefficient moyencmest 1 tmest le taux moyen. n c=1t=1tm m
Exemple : Si après 6 mois une valeur a augmenté de 35 %, elle a été multipliée par 1,35. Le coefficient moyen 1 6 est donc, ce qui équivaut à une augmentation mensuelle moyenne de 5,13 %. c=1,35 ≈1,0513 m
1 Remarque : Si le taux d'évolution annuel est t, le taux moyen mensuel T est tel que. 12 1T=1t
Exercices 35 à 41 pages 28 et 29
II Indice et lien avec le taux d'évolution
Définition : Les indices sont des nombres qui permettent de faire des comparaisons. Si la période 1 est la période de référence, l'indice est 100 à cette période là, les indices suivant suivent ce schéma :
Périodes Période1 Période2 y Valeursy1 2 Indices100 I I100100×y 2 = Ce tableau est un tableau de proportionnalité donc, soitI=. y yy 2 11 Remarque : Pour tout calcul d'indice, il faut absolument fixer l'année de référence à laquelle on attribue l'indice 100. Propriété : Si la valeur a subi une évolution de taux t entre la période 1 et la période 2, l'indice I est I I=1001tout =1 . 100
Remarque : Si le taux est positif (traduisant une augmentation), l'indice sera supérieur à 100. Si le taux est négatif (traduisant une diminution), l'indice sera inférieur à 100.
Exemple : Périodes Valeurs Indices
Période 1 550 100
Période 2 660 120
Période 3 495 90
100×660 On trouve l'indiceI2.de la pério si :I= de 2 ain2=120 550 120×495 100×495 I= = =90 On trouve l'indice3de la période 3 ainsi :I3. 660 550 On peut alors en déduire qu'entre la période 1 et la période 2, la valeur a augmenté de 20 % et qu'entre la période 1 et la période 3, la valeur a diminué de 10 %.
Remarque : Les variations s'interprètent entre la période de référence et la période considérée. Si un indice 120150 =− =− passe de 150 à 120, cela ne traduit pas une baisse de 30 % mais de0,2 20%. 150
Exercices 42 à 48 pages 29 et 30
Exercices 64 à 66 page 36