Comportement asymptotique des fonctions

Comportement asymptotique des fonctions

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Comportement asymptotique des fonctions Exemple introductif Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x)= 1 x . • Quels sont les nombres x tels que f (x)Ê 10 ? • Quels sont les nombres x tels que f (x)Ê 109 ? • Soit M > 0. Quels sont les nombres x tels que f (x)Ê M ? Réponses : • f (x)Ê 10? 1x Ê 10? ? ? ? x > 0 x É 110 f (x)Ê 10 pour x ? ] 0 ; 110 ] . • De même : f (x)Ê 109 pour x ? ] 0 1109 ] • Plus généralement : f (x)Ê M pour x ? [ 0 ; 1 M ] On constate que f (x) peut prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut ; pour n'importe quelle valeur de M aussi grande que l'on veut, il existe un intervalle ]0 ; ?[ dans lequel f (x)Ê M . On dit que f (x) tend vers +∞, pour x suffisamment proche de 0 (x > 0). O ??i ??j C f M 1 M I Limite infinie en un réel a Définition : On dit que x tend vers +∞ si, pour tout nombre M > 0, x prend des valeurs supérieures à M .

  • voisinage

  • à?∞ au voisinage de?∞

  • asymptote oblique

  • intervalle ouvert

  • lorsque lim

  • asymptote


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Comportementasymptotiquedesfonctions
Exempleintroductif
1
Soit f lafonctiondéfiniesur]0;+∞[par f(x)= .
x
• Quelssontlesnombresx telsque f(x)?10?
9• Quelssontlesnombresx telsque f(x)?10 ?
• SoitM>0.Quelssontlesnombresx telsque f(x)?M ?
Réponses:

? ? x>01 1
• f(x)?10⇔ ?10⇔ 1 f(x)?10pourx∈ 0; .
x x? 10
10
? ?
19• Demême: f(x)?10 pourx∈ 0
910
? ?
1
• Plusgénéralement: f(x)?M pourx∈ 0;
M
Onconstateque f(x)peutprendredes valeursaussigrandesquel’onveut;pourn’importequellevaleurde
M aussigrandequel’onveut,ilexisteunintervalle]0; α[danslequel f(x)?M.
Onditque f(x)tendvers+∞,pourx suffisammentprochede0(x>0).
M
Cf
→−
j
→−O 1 i
M
I Limiteinfinieenunréela
Définition:
Onditquex tendvers+∞si,pourtoutnombreM>0,x prenddesvaleurssupérieuresàM.
a estunnombreréel,borned’unintervalleouvertcontenudansl’ensemblededéfinitionD d’unefonctionf
et f n’estpasdéfinieena.
11 Définition
f(x)tendvers+∞lorsquex tendversunréela signifieque f(x)peutprendredesvaleursaussigrandes
quel’onveut,dèsquex estsuffisammentprochedea.
Onécrit: lim f(x)=+∞ .
x→a
Ondéfinitdemême« f(x)tendvers−∞lorsquex tendversa»enappliquantladéfinitionprécédenteà−f(x):
f (x)tendvers−∞si−f(x)tendvers+∞.
Écriture:onécrit: lim f(x)=−∞.
x→a
Exemples:
1 1
1. f(x)= auvoisinagede0: lim =+∞.
2 2x→0x x
1 12Eneffet:soitM>0;pourx6?0, >M⇔x < (carcesontdeuxnombrespositifs).
2x M? ? ? ?
1 1
onendéduit:x∈ −p ; 0 ∪ 0; p .
M M
7
6
y=M
5
4
3
2
11 y=
2x
f
1 1−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
p p
M M
? ? ? ?
1 1 1
2. f(x)= auvoisinagede0: lim =−∞et lim =+∞.
x→0 x→0x x x
x<0 x>0
Legraphiqueestl’hyperbolehabituelle,étudiéeenseconde.
Ainsipeut-onêtreamenéàdistinguerlimiteàgaucheetlimiteàdroite.
2 Limitesusuelles
Propriété:
1 1 1
(a) Lesfonctionsx7! ,x7! ,x7! (nentierpositif)ontpourlimite+∞en0.p 2nx x x
1 1 1
(b) Les fonctionsx7! , x7! , x7! (nentierpositif)ontpourlimite−∞àgaucheen0 et+∞à
3 2n+1x x x
droiteen0.
Page2/??3 Asymptoteverticale
Définition:
Lorsque lim f(x)=−∞ ou lim f(x)=−∞ ou lim f(x)=+∞ ou lim f (x)=+∞, on dit que la droite
x→a x→a x→a x→a
x<a x>a x<a x>a
d’équationx=a estasymptoteàlacourbeC .f
Exemple:
1
Soit f lafonctiondéfiniesurR\{2}par: f(x)= .2(x−2)
lim f(x)=+∞doncladroited’équationx=2estasymptoteàlacourbeC .f
x→2
7
6
5
4
3
2
1
−2 −1 1 2 3 4 5 6
2x −1
Remarque: il ne suffit pas que f ne soit pas définie en a : par exemple, la fonction f définie par f(x)=
x−1
2x −1 (x+1)(x−1)
n’est pas définie en 1, mais limf (x)= 2 (car, pour x6? 1, = = x+1 donc la courbeC pasf
x→1 x−1 x−1
d’asymptoteverticaleen1.
En fait, quand on trace la courbe, on ne voit pas qu’elle n’est pas définie en 1 (il ne manque qu’un point à la
courbe!)
4
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Page3/??II Limitefinieàl’infini
1 Définition
f(x) tend versℓ lorsque x tend vers+∞ signifie que f (x) peut prendre des valeurs aussi proches deℓ
quel’onveut,d?èsquex estsuffisammentgrand.
Onécrit: lim f(x)=ℓ.
x→+∞
Ondéfinitdemême« f(x)tendversℓlorsquex tendvers−∞» enappliquantladéfinitionprécédenteà−f (x).
Écriture:onécrit: lim f(x)=ℓ.
x→+∞
Graphiquement, cela signifiequeC est entièrementdans la bande centrée surℓ et de largeur 2α(α>0quel-f
conque),pourx suffisammentgrand.(voirexempleci-dessous)
Illustrationgraphique:
sin(4x)
Soit f lafonctiondfiniepar: f(x)=3+3 .Ona: lim f(x)=3.
x→+∞x
8
6
4
2
→−
j
→−O−2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28i
Remarque : plus on choisitα petit, plus x doit ê?tre grand (ou petit) pour que f(x) soit dans la bande centrée
autourdeℓdelargeur2α.
2 Limitesusuelles
1 1 1
lim p =0; lim =0et lim =0(n entiernaturelpositif).
nx→+∞ x→+∞ x→+∞x xx
3 Asymptotehorizontale
Lorsque lim f(x)=ℓ ou lim f(x)=ℓ, on dit quela droited’équation y=ℓ est asymptoteà la courbeCf
x→+∞ x→−∞
auvoisinagede+∞ouauvoisinagede−∞.
III Limiteinfinieàl’infini
1 Définition
Onditque f (x)tendvers+∞lorsque f(x)tendvers+∞si f(x)peutprendredesvaleursaussigrandes
quel’onveutpourx suffisammentgrand.
2Exemple: f(x)=x dontlacourbeestlaparabole(étudiéeenseconde).
Page4/??Mf
→−
j
→−O
i
Remarque : on peut tendre facilement cette définition à une limite égale à−∞ au voisinage de+∞ ou une
limiteégaleà−∞auvoisinagede−∞oude+∞(enappliquantladéfinitionprécédenteà−f(x)et/ouavec−x).
2 Asymptoteoblique
Ilyaplusieursfaçonspourunefonctiondetendrevers+∞àl’infini.Nousallonsétudierlecasoùlacourbe
C serapprochedeplusenplusd’unedroiteobliqueauvoisinagede−∞oude+∞.f
Définition:
La droite d’équationD d’équation y=ax+b est asymptote à la courbeC au voisinage de−∞ et/ouf
de+∞ si la limite en−∞ ou en+∞ de [f (x)−(ax+b) existe et si lim [f(x)−(ax+b)]= 0 et /ou
x→−∞
lim [f(x)−(ax+b)]=0.
x→+∞
1
Exemple: f(x)=2x+3+ .
x
1 1
Pourtoutx,ona: f(x)−(2x+3)= et lim =0.
x→±∞x x
Parconséquent: lim [f (x)−(2x+3)]=0.
x→±∞
Ladroited’équation y=2x+3estasymptote alacourbeC en−∞eten+∞.f
Graphiquement,onobtient:
9
8
7
6
5
4
3
2
10
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
Page5/??
bIV Limitesetopérationsalgébriques
Théorè?meadmis:
Lorsqu’elleexiste,lalimited’unesomme,d’unproduitoud’unquotientdedeuxfonctionsestlasomme,
leproduitoulequotientdeslimites.
Lesrèglesdecalculssurleslimitessontrésuméesdanslestroistableauxci-dessous:
a désigneunnombreréel,ou−∞ou+∞.
ℓetℓ’désignentdesnombresréels.
Additionousoustraction
Si lim f(x)= ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞
x→a
′Si lim g(x)= ℓ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
x→g(x)
′alors, lim(f +g)(x)= ℓ+ℓ +∞ −∞ +∞ −∞ Formeindéterminée
x→a
Produit
Si lim f(x)= ℓ ℓ>0 ℓ<0 ℓ>0 ℓ<0 +∞ −∞ +∞ 0
x→a
′Si limg(x)= ℓ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞
x→a
′alors, lim(f ×g)(x)= ℓℓ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ Formeindéterminée
x→a
Quotient
Si lim f(x)= ℓ ℓ ℓ +∞ 0 ±∞ 0 ±∞
x→a
′ ′Si limg(x)= ℓ ±∞ 0 ℓ ±∞ 0 0 ±∞
x→a ? ?
f ℓ
alors, lim (x)= 0 ±∞ ±∞ 0 ±∞ Formeindéterminée Formeindéterminée
′x→a g ℓ
Remarque:
Onparledeformeindéterminéelorsquel’onnepeutpasrépondredirectement,àpartirduformulaire.
Le«jeu»consistealors?àregarderdeplusprè?slesfonctionspour«lever»l’indéterminationettrouvertoutde
mêmelalimitecherchée.
Lestechniquespourleverlesindéterminationsserontvuesdansleparagraphesuivant.
Lesquatreformesindéterminéessont:
• «∞−∞»
• «0×∞»
0
• « »
0

• « »

V Commentleveruneindétermination?
Quandonchercheunelimiteetquel’onarriveàuneformeindétermine,onchercheà« levercetteindéter-
mination.».
Plusieurstechniquessontàconnaître:
Page6/??1 Utilisationdelaformeconjuguée
Exemple:
1
Soit f lafonctiondéfiniesur[0;+∞[par: f (x)=p .p
x+2− x pp
Oncherchelalimiteauvoisinagede+∞. lim x=+∞et lim x+2=+∞donconauneformeindétermi-
x→+∞ x→+∞
néeaudénominateurdutype«∞−∞».
On transforme alors l’expression de f(x), en multipliant numérateur et dénominateur par la forme conjuguée
dudénominateur: p p pp p p
1 x+ x+2 x+ x+2 x+ x+2
f (x)= = = = .p ?p ??p ?p p p p p2 2 2x+2− x x+2− x x+2+ x x+2 − xh ip p
Alors: lim x+2+ x =+∞d’où: lim f (x)=+∞ .
x→+∞ x→+∞
2 Limited’unpolynômeàl’infini
Définition:
n n−1Onappellefonctionpolynômededegrén unefonctiondutype: f (x)=a x +a x +???+a x+a (sommen n−1 1 0
depuissancesdex affectéesdecoefficientsréels).
4 3 2Exemple: f(x)=2x −3x +5x −7x+8estunefonctionpolynômededegré4.
Danslecasoùlecalculdelalimiteàl’infinid’unpolynômedonneuneformeindéterminée,onfactorise
celui-ciparsontermedeplushautdegré.
Exemple:
3 2Soit f(x)=4x −x +5x−8.Lesrèglesdecalculdirectdelalimiteen+∞donnentuneformeindéterminée.
Pourx>0(possible,puisquel’onregardecequisepassepourx suffisammentgrand),ona:? ?
1 5 83f (x)=x 4− + − .2 3x x x ? ?
1 5 8 1 5 8
lim =0; lim =0; lim =0donc lim 4− + − =4.
2 3 2 3x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞x x x x x x
3Comme lim x =+∞,onobtient: lim f(x)=+∞ .
x→+∞ x→+∞
3 Limited’unefractionrationnelleàl’infini
Définition:
Onappellefractionrationnellelequotientdedeuxpolynômes.
On adapte la méthode précédente, puisque dans une fraction rationnelle, le numérateur et le dénominateur
sonttousdeuxdespolynômes.
Aunumérateur,onfactorisepaslapuissancelaplusgrandeetdemêmeaudénominateur,puis,onsimplifieles
deuxpuissancesfactorisées.
Exemple
23x +5x−1
Trouverlalimiteen+∞de f(x)= .3x +2x
Au numérateur,on factoriseparletermedeplushautdegréet demêmepourledénominateuret l’onsimplifie
lequotientdespuissancesdex quel’onafactorisées.? ?
5 1 5 12x 3+ − 3+ −2 2x x x x? ? ? ?Ontrouve,pourx>0: f (x)= = .
2 2
3x 1+ x 1+
2 2x x? ? ? ?
5 1 2
lim 3+ − =3; lim 1+ =1et lim x=+∞d’où,parquotient: lim f(x)=0 .2 2x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞x x x
Page7/??Exemple
3x +5x−1
Soit f(x)= .
32x +x+1? ?
5 1 5 13x 1+ − 1+ −2 3 2 3x x x xPourx6?0, f(x)= ? ?= .
1 11 13 2+ +x 2+ +2 3 2 3x xx x
? ? ? ?
5 11 1 1
lim 1+ − =1et lim 2+ + =2,d’o?ù: lim f(x)= .2 3 2 3x→±∞ x→±∞ x→±∞x x x x 2
4 Exercice
22x +7x+7
Soit f lafonctiondfiniepar: f(x)=
x+2
1. Donnerl’ensemblededéfinitionD de f.
c
2. Trouvertroisnombresa,b etc telsque,pourtoutx∈D, f (x)=ax+b+ .
x+2
3. Étudierleslimitesde f en−∞,−∞eten-2.
4. MontrerquelacourbeC admetuneasymptoteverticaledontondonneral’équation.f
5. MontrerquelacourbeC admetuneasymptoteobliquedontondonneral’équation.f
6. Étudierlesvariationsde f surD etdonnersontableaudevariations.
7. TracerCf
Solutions:
1. D=R\{−2}
22x +7x+7 c
2. Pourtoutx∈D,ondoitavoir f(x)= =ax+b+ .
x+2 x+2
Onmetaumêmedénominateur:
2 2c (ax+b)(x+2)+x ax +2ax+bx+2b+c ax +(2a+b)x+2b+c
ax+b+ = = = .
x+2 x+2 x+2 x+2
Pour que les deux expressions soient égales, il faut que les coefficients des polynômes du numérateur
soientlesmêmes.
Onobtientunsystème: 
a=2 a=2 
2a+b=7 ⇔ b=7−2a=3 .
 
2b+c=7 c=7−2b=1
1
Parconséquent: f(x)=2x+3+
x+2
3. Pour calculer les limites en−∞ ou en+∞, on peut utiliser les techniques vues pour une fraction ration-
nelleoupartirdelaformeci-dessus.
1
f(x)=2x+3+ .
x+2
lim (2x+3)=−∞;
x→−∞ ? ?
1
lim (x+2)=−∞donc lim =0.
x→−∞ x→−∞ x+2
Parsomme: lim f(x)=−∞.
x→−∞
? ?
1
lim (2x+3)=+∞; lim (x+2)=+∞donc lim =0.
x→+∞ x→+∞ x→+∞ x+2
Parsomme: lim f(x)=+∞.
x→+∞
lim (2x+3)=2×(−2)+3=−4+3=−1.
x→−2
1
Pourlalimiteen-2de ,ilfautdistinguerdeuxcas,selonlapositiondex parrapportà-2.
x+2
Page8/??? ?
1
lim (x+2)=0(avecx+2<0)donc lim =−∞
x→−2 x→−2 x+2
x<−2 x<−2? ?
1
lim (x+2)=0(avecx+2>0)donc lim =+∞
x→−2 x→−2 x+2
x>−2 x>−2
Onendéduit: lim f(x)=−∞et lim f(x)=+∞.
x→−2 x→−2
x<−2 x>−2
1
4. Pourtoutx∈D, f(x)=2x+3+ (fonctionaffine,plusuntermecomplémentaire).
x+2? ?
? ?1 1
Ona: f (x)−(2x+3)= et lim =0donc lim f(x)−(2x+3) =0.
x→±∞ x→±∞x+2 x+2
Ladroited’équation y=2x+3estdoncasymptoteàC en−∞eten=∞.f
5. f estdérivablesurD commesommeetquotientdefonctionsdérivables.
1 1
f(x)=2x+3+ ; f =u+ avecu(x)=2x+3etv(x)=x+2.
x+2 v? ?′ ′ 21 v 1 2(x+2) −1′ ′ ′ ′ ′ ′f =u + =u − avec u (x)= 2 et v (x)= 1. Par conséquent : f (x)= 2− = =2 2 2v v (x+2) (x+2)
2 22(x +4x+4)−1 2x +8x+7
= .
2 2(x+2) (x+2)
′ 2f (x)=0⇔2x +8x+7=0.
2Δ=8 −4×2×7=64−56=8>0.
Ilyadeuxracines:p p p p p
−8− 8 −8−2 2 2(−4− 2) −4− 2 −4+ 2
x = = = = etx = .1 2
4 4 2×2 2 2
′ 2 2f (x)estdusignedunumérateur;2x +8x+7estdelaformeax +bx+c,doncpositif(dusigneducoef-
2ficientdex ,2)àl’extérieurdel’intervalleforméparlesracinesetnégatifentrelesracines.
x ≈−2,7etx ≈−1,31 2
Onendéduitletableaudevariations:
x −∞ x −2 x +∞1 2
′f (x) + 0 − − 0 +
f(x ) +∞ +∞1
@ @
f(x) @ @
R@ R@
−∞ −∞ f (x )2
6. Courbe:
6
5
4
3
2
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
Page9/??