cours fonctions doc

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
2-cours-fonctions-2.doc FONCTIONS 2 I) EXTREMA D'UNE FONCTION 1) Définition COURBE OBSERVATION DE LA COURBE TRADUCTION MATHEMATIQUE PROPRIETE DE LA FONCTION -1 x 2 f (x) 1 -2 Pour x ? [?2 ; 1], la plus grande valeur que prend f (x) est … Cette valeur est obtenue pour x = … Pour tout x tel que : ?2 x 1 On a : f (x) ..... f (?1) On dit que la fonction f admet un maximum de 2 en x = ?1 sur [?2 ; 1] 2 1 x f (x) Pour x ? [?1 ; 3], la plus petite valeur que prend f (x) est … Cette valeur est obtenue pour x = … Pour tout x tel que : On dit que la fonction f admet 2) Dans les exercices Soit f la fonction définie sur par x x2 ? 4 x + 2. [D'après Cf, il semblerait que f admette un minimum en x = 2.] Démonstration : Pour tout réel x phrase d'hypothèse Déterminons le signe de f (x) ? f (2) : f (x) ? f (2) = x2 ? 4 x + 2 ? (22 ? 4?2 + 2) = x 2 ? 4 x + 2 ? (?2) = x 2

• origine du repère


• phrase de conclusion


• repère quelconque


• moitié de df


• exercices du 3 p124


• x2 déterminons


• dite impaire


• courbe cf

Sujets

• Seconde
• Mathématiques
• Fonction

Informations

• Publié par: cours_de_mathematiques
• Nombre de lectures: 65
• Langue: Français

Extrait

2-cours-fonctions-2.doc FONCTIONS 2 I) EXTREMA DUNE FONCTION 1) Dfinition OBSERVATION DE LATRADUCTION PROPRIETEDE LA COURBE COURBE MATHEMATIQUEFONCTION 2 Pourx∈[−2 ; 1], Pour toutxOn dit que la fonctiontel que :fadmet la plus grande valeur que prend−2x maximum1 unde2enx= −1 x f(x) est … On a : sur[−2 ; 1] -2 -1 1 Cette valeur est obtenuef(x) .....f(−1) f(x) pourx= … f(x) Pourx∈ Pour tout [−1 ; 3], xOn dit que la fonctiontel que :fadmet la plus petite valeur que prend f(x) est … 2 Cette valeur est obtenue pourx= … x 1 2) Dans les exercices Cf 2 Soitfla fonction dfinie surparxx− 4x+ 2. [DaprsCf, ilsembleraitquefadmette un minimum enx= 2.] j Dmonstration : O i Pour tout relxdhypothse phrase Dterminons le signe def(x) −f(2) : 2 2 f(x) −f(2) =x− 4x+ 2 − (2− 42 + 2) 2  =x− 4x+ 2 − (−2) 2  =x− 4x+ 4mettre (x− 2) en facteur 2  =(x− 2) or un carr est toujours positif ou nul doncf(x) −f(2)0 doncf(x)f(2) (avecf(2) = −2) doncfadmet un minimumde−2en2sur  phrasede conclusion p95 : 1(bcdfg) nd extrema de fonctions du 2degr 2 fdfinie surparxx− 5x+ 1 gdfinie surparx(x+ 2) (1 −x) 2 hdfinie sur [−1 ; 2] parxx− 2x+ 3 p101 : 46, 49

2-cours-fonctions-2.doc

II) VARIATIONS DUNE FONCTION 1) Dfinition OBSERVATION DE LATRADUCTION PROPRIETEDE LA COURBE COURBE MATHEMATIQUEFONCTION 2 Pourx∈[0 ; 3], on remarque Pour tousx 1 etx 2 On dit que la fonctiontels que :fest f(x) que la courbe monte : 0x 1 <x 2  3 strictementcroissante sur[0 ; 3] f(x 1 ) 2 nombres et leurs images sont On a : toujours dans le mme ordre f(x 1 ) .....f(x 2 ) x 1 x 2 Pourx∈[0 ; 3], on remarque Pour tousx 1 etx 2 On dit que la fonctiontels que :fest f(x 1 ) que la courbe descend : 2 nombres et leurs images sont f(x 2 ) toujours dans l’ordre …….. x 1 x 2 2) Dans les exercices 2 Soitfla fonction dfinie surparxx− 4x+ 2. [DaprsCf, ilsembleraitquefsoit strictement dcroissante sur ]−; 2], puis quelle soit strictement croissante sur [2 ; +[ ] Dmonstration : a) Variations sur]−; 2] Pour tousx 1 ,x 2 tels quex 1 <x 2  2 phrasedhypothse Dterminons le signe def(x 1 ) −f(x 2 ) : 2 2 f(x 1 ) −f(x 2 ) =x 1 − 4x 1 + 2 − (x 2 − 4x 2 + 2) 2 2  =(x 1 −x 2 ) − 4 (x 1 −x 2 ) +2 − 2  =(x 1 −x 2 )(x 1 +x 2 ) − 4 (x 1 −x 2 () mettrex 1 −x 2 ) en facteur  =(x 1 −x 2 )(x 1 +x 2 − 4) orx 1 <x 2  doncx 1 −x 2 < 0 x 1 < 2 etx 2 2 doncx 1 +x 2 donc< 4x 1 +x 2 dterminer le signe de chacun des facteurs − 4 < 0 doncf(x 1 ) −f(x 2 ) > 0 doncf(x 1 ) >f(x 2 ) doncfest strictement dcroissantesur]-; 2] phrase de conclusion b) Variations sur[2 ; +[ Pour tousx 1 ,x 2 tels que 2x 1 <x 2  tudescompltes de fonctions + Dterminons le signe def(x 1 ) −f(x 2 ) : 2-cmp-variations.html + f(x 1 ) −f(x 2 ) = (x 1 −x 2 )(x 1 +x 2 p95 : 4, 5, 6, 8 − 4) orx 1 <x 2  doncx 1 −x 2 < 0 p98 : 16, 22, 23 p99 : 25, 27, 28, 29 x 1 2 etx 2 > 2doncx 1 +x 2 donc> 4x 1 +x 2 − 4 > 0 doncf(x 1 ) −f(x 2 ) < 0 p124 : 46 doncf(x 1 ) <f(x 2 ) doncfest strictement croissantesur[2 ; +[ c) Tableau de variations On a lhabitude detoujoursconclure ltude des variations dune fonction par un tableau de variations : x  − 2+ f − 2

2-cours-fonctions-2.doc III) PARITE DUNE FONCTION 1) Fonction paire a) Exemple 4 2 Soitf la fonction dfinie sur[– 3 ; 3]parxx+ 2 –x 4 2 Pour toutxon remarque que[– 3 ; 3] def(–x) = (–x) +2 – (–x) =.............................. =f(x) Une telle fonction est ditepaire. En dduireSANS CALCULATRICEla moiti x0 0,5 1 1,5 232 –1,5 –1 –0,5 –3 – gauche du tableau de valeur ci-contre : f(x0,25 0,11,2 0,7 0,4) 1,4 En dduireSANS CALCULATRICEla moiti gauche deCf :

j

Cf

O i La reprsentation graphique dune fonction paire est symtrique par rapport  .............................................. Remarque :Sif navait t dfinie que sur [−1 ; 3], elle naurait pas t paire. Pourquoi ? En effet, montrer quef est paire, cest montrer que pour toutxdeDf, on a :f(−x) =f(x). Or siDf; 3], on remarque que 2 appartient = [−1Dfmais pas −2 : On ne peut donc ni calculerf(− 2) ni criref(− 2) =f(2) ! On voit donc que pour pouvoir calculer aussi bienf(−x) quef(x), il faut que pour toutxde lensemble de dfinition, (−x) appartienne aussi  cet ensemble . Un tel ensemble est dit centr en 0. b) Dfinition Lorsque pour toutxdeDf, −xappartient aussi Dfet :f(−x) =f(x), ondit quefest paire. Remarques : •Il suffit alors dtudier les variations defsur une moiti deDfpour pouvoir les dduire surDftout entier •Dans un repre orthogonal, la courbeCfest alors symtrique par rapport  laxe des ordonnes

2) Fonction impaire a) Exemple 1 Soitf la fonction dfinie sur* parxx– x 1 Pour toutx de* onremarque quef(–x) = –x–.............................. =– =f(x) –x Une telle fonction est diteimpaire. En dduireSANS CALCULATRICEla moiti x –2 –4 ––0,3 0,31 –0,50,5 1 gauche du tableau de valeur ci-contre : f(x3 –1,50) – En dduireSANS CALCULATRICEla moiti gauche deCf :

j O i

Cf

2-cours-fonctions-2.doc

2 4 1,5 3,75

La reprsentation graphique dune fonction impaire est symtrique par rapport  .......................................... b) Dfinition Lorsque pour toutxdeDf, −xappartient aussi Dfet :f(−x) = −f(xdit que), onfest impaire. Remarques : •Il suffit alors dtudier les variations defsur une moiti deDfpour pouvoir les dduire surDftout entier •Dans un repre quelconque, la courbeCfest alors symtrique par rapport  lorigine du repre  p123: 36, 37, 39 faire  la maison les exercices du §3 p124 : 44

2-cours-fonctions-2.doc 3) Dans les exercices 1 Ex1 :Soitf la fonction dfinie sur− {−1 ; 1} parx 2 x− 1 1 1 Pour toutxde− {−1 ; 1}, −xappartient aussi − {−1 ; 1} etf(−x) = 2 = 2 =f(x) (−x) −1x− 1 doncfest paire. 3 Ex2 :Soitf la fonction dfinie surparxx−x 3 3 Pour toutxde, −xappartient aussi etf(−x) = (−x(−) −x) = − (x−x) = −f(x) doncfest impaire. x+ 5 Ex3 :Soitf la fonction dfinie sur− {−2} parx x+ 2 − {−2} nest pas centr en 0 doncfnest ni paire, ni impaire. 2 Ex4 :Soitf la fonction dfinie sur [−3 ; 3] parxx+x   f(−1)f(1) etf nest pas paire  On remarque quefet(−1) = 0f(1) = 2donc   f(−1)−f(1) etf nest pas impaire Attention : •Ce ne sont pasf(x) ouCf qui sont paires ou impaires mais la fonctionf •Ce ne sont pasfouf(x) qui prsentent une symtrie mais la courbeCf •Ce ne sont pasfouCfqui sont centres en 0 mais l’ensembleDf!! tude complte de : 4 2 x− 2x