Exercice p

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Exercice 5 p 302 : 1) ; 145 ; ; 113 Dans le repère orthonormé, · 1 4 15 18 Or, · cos, . Ainsi, cos, · 18!1_$ 4$ 5$ √1$ 1$ 3$ 18√462 c'est-à-dire : cos ( 18√462 2) OU 1ère méthode : · ) · ) , car · , 0 (la situation correspond donc à la deuxième figure). Donc, ) · 18√11 Dans le triangle ABH rectangle en H, on a, d'après le théorème de Pythagore : )$ $ )$ )$ 42 . 18√11/$ 42 32411 13811 , donc ) 213811 L'aire du triangle est donc : )2 √11 3 138112 12√138 u. a.

  • ssi z

  • kl m12012

  • ei ei

  • ssi

  • √22 √22

  • milieu de fg

  • eb kl

  • √32 √32


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Exercice 5 p 302 : 1)      1 1          ;  4  ;   ; 1     5 3 Dans le repère orthonormé,    ·  1  4  15  18    Or, ·      cos,. Ainsi,    · 18 18   cos,   $ $ $$ $ $   !"1# 4 5 √1 1 3 √462 c’est-à-dire : 18 ( cos √462 2)
OU
ère 1 méthode:      ·  ) ·   )  ,car  ·  0(la situation correspond donc à la deuxième figure). Donc,    · 18 )  √11 $ $ $ Dans le triangle ABH rectangle en H, on a, d’après le théorème de Pythagore :) ) $ 18 324138 138 $ ) 42  / 42  ,donc )  11 1111 √11 L’aire du triangle est donc : 138 √11    )1 11   u. a. √1382 22
ème 2 méthode:Notons"; ; #les coordonnées du point H.    On sait que) ·   0et que)etsont colinéaires.     )    3 ; )    4   ) ·   0      3  3  12  0      3  15  0   )etsont colinéaires ssi il existe un réel:tel que)  :. Or    1   )    1 ; )    1   1  :  < Ainsi,)etsont colinéaires ssi il existe un réel:tel que   1  :  1  3:   1 : < ssi il existe un réel:tel que   1  :  1  3: Par conséquent, H est le pied de la hauteur issue de A ssi   1 : <     3  15  0 et il existe un réel : tel que   1  :  1  3:   1 : < ssiil existe un réel : tel que   1  :et 1  :  1  :  3  9:  15  0  1  3:   1 : EF < ssiet :   1  :il existe un réel : tel queEE   1  3: $G HIJ ssi ;  ; EE EEEE $G EE $ $ $ $N $G$N EEJF   Ainsi,) et) R S RS R S EE EEEE EEEE E EE O ère On termine comme à la 1méthode pour le calcul de l’aire.
Exercice 7 p 302 : 1 4 T2etU23 0 1) a) Dans le repère orthonormé, T·U4400TetUsont donc bien orthogonaux. E $ $ $ b)VT1V4321, doncWolinéaire àTe ETest ct de norme 1. √EI E $ $$  0 20 c) "2#VUV  !4, doncW$Uest colinéaire àUet de norme 1. √$X   2  3  0  2  3  0 < < 2) a)Yest orthogonal àTetUssi0YT·YU·ssiZssiZ4  2  0  2 \   < ssi[J   2 Il y a donc une infinité de solutions. 3 Si l’on choisir, par exemple,  3, on obtient :6 Y etYest orthogonal àTetU. 5 b) En utilisant ce qui précède, il suffit de prendre un vecteur de norme 1, colinéaire àY. E ^E $ $$ VYV!36"5#7WYWY √ 0, doncJouJ. √HX √HX
Exercice 10 p 302 : Voir figure sur Geospace. Choisissons un repère orthonormé.    Le repère_; _, _, _)convient. Dans ce repère, les différents points ont pour coordonnées : "1; 0; 0#, "1; 1; 0#, "0; 1; 0#, _"0; 0; 0#, `"1; 0; 1#, à"1; 1; 1#, b"0; 1; 1#, )"0; 0; 1#1 11 1 1 C 1;; 1/ , D 0;; 1/ , É ; ;/2 22 2 2 carCest le milieu def`àg,Dla milieu def)bget O le milieuf)g. On obtient donc : 1 1 2 2      h h 1 1       É  het de même É  , soit É , h , É2 2      h h 1 1   O O 2 2 E E EE   Ainsi,  É · É I I II $ $ $$ $$ E E E√J EE E√J    OrR S RS R SÉ ,R SÉ R S RS et $ $ $$ $$ $$   ( É · É  É  É  cosÉ, donc 1   É · É1 4 ( ( cosÉ  et Ék 70,5° 3 É  É√3 √3 2 2 De la même façon, 1 2 1  1 É· Éb1 4  (( Éb ,cosÉb   etÉb k 109,5° 3 2 É Éb√3 √3 1 2 2 O 2 1 1 2 2  ÉC · ÉD0    ÉC 0 ,ÉD 0 ,cosCÉD  0 et CÉD  90°  ÉC  ÉD√2 √2 1 1 2 2 2O 2O 0 15   1 1C · D5 √5 4    C ô , D ô , cosCD  et CD k 41,8° 3 2 2C  D√5 33√5 1 1 2 2
Exercice 38 p 305 :"3; 0; 3# et "1; 1; 4#1) Le plan (P), médiateur defgest le plan perpendiculaire à"#, passant par le milieu defg. Le vecteurest donc un vecteur normal à (P).   2      1 ,  1 Cherchons une équation cartésienne de (P) sous la formep        0. On peut prendrep  2,  1et  1. (P) admet donc une équation du type :2        0. (P) passe par le milieu defg; notons ce point I. E EE EH "  # 2 ; "  #  "  #On a :  et . $ $$ $$ 1 7 C û "v#  2    0  4    0      02 2 (P) admet donc pour équation :2      0. 2)"Π#admet pour équation    2  3  0. 1 Le vecteur1est donc normal au plan"Π#. 2 # "Π#fg On cherche" ; ;tel quesoit le plan médiateur de.   Cela revient à chercher C tel queetsoient colinéaires et"Π#passe par le milieu defg.     3 1        , et1sont colinéaires ssi il existe un réel:tel que  :  3  2  3  : 3  :   < <  : : ssi il existe un réel:tel que ssi il existe un réel:tel que 3  2: 3  2:   NotonsDle milieu defg. E zE zE  " #  3 ;  " #   "  # 3  : Alors,y  y ety $ $$ $$ : : D û "Π#    2 3  0  3  /  2"3  :#  0  : 4y yy 2 2  1 < Ainsi, 4.  5 3){"; ; #est équidistant de A, B et C ssi{appartient au plan médiateur defget à celui defg. 2      0 < ssi"; ; #est solution deZ    2  3  0 ssi{ û "v# | "Π#. 2 1 Remarquons que les vecteurs 1et1ne sont pas colinéaires. Les plans"v#et"Π#ne sont pas 1 2 parallèles et"v# | "Π#est une droite.