FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2007-2008 1ère session 2ème semestre Licence Sciences Economiques – 1ère année Matière : Mathématiques appliquées – Éléments de correction Durée : 2H Exercice I (3 points, 15 min) Soit f W Œ0; 2? ! R la fonction dénie par f .x/ D ex=2. 1) Pour tout x 2 Œ0; 2?, on a 0 6 x 6 2 ” 0 6 x 2 6 1 ” 1 6 x 2 6 0 ” 1 e D e1 6 ex=2 6 e0 D 1 2) La moyenne de f sur l'intervalle Œ0; 2? est moyenne Œ0;2? .f / D 1 2 0 Z 2 0 ex=2 dx D 1 2 h 2ex=2 i2 0 D 1 e1 D 1 1=e 3) On vérie numériquement que 1 1=e 2 Œ1=e; 1?. Il est en eet « logique » que la moyenne d'une fonction soit comprise entre les mêmes bornes que cette fonction. Plus rigoureusement, cela provient de la formule de la moyenne qui permet d'armer qu'il existe un c 2 Œ0; 2? tel que moyenne Œ0;2? .

• moyenne œ0


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• calcul dek par changement

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Extrait

re 1 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 2007-2008

re Licence Sciences Economiques – 1anne

Matire : Mathmatiques appliques – Èlments de correctionDure : 2H

me 2 semestre

Exercice I(3 points, 15 min) x=2 SoitfWŒ0; 2!Rla fonction dÉnie parf .x/De . 1)Pour toutx2Œ0; 2, on a x x1 1x=2 0 06x62”06 61” 1660” De6e6eD1 2 2e 2)La moyenne defsur l’intervalleŒ0; 2est Z 2 h i 2 1 1 x=2x=21 moyenne.f /De dxD 2eD1eD11=e 20 2 0 0 Œ0;2 3)On vÉrie numÉriquement que11=e2Œ1=e; 1. Il est en eet « logique » que la moyenne d’une fonction soit comprise entre les mmes bornes que cette fonction. Plus rigoureusement, cela provient de la formule de la moyenne qui permet d’armer qu’il existe unc2Œ0; 2tel que moyenne.f /Df .c/ Œ0;2

avec, bien sÛr,f .c/2Œ1=e; 1.

Exercice II(4 points, 25 min) Calcul deI: Z ZZ =3 =3=3 0 h i =3 sinx.cosx/ IDtanxdxDdxDdxD lnjcos.x/j Dln2 0 0 0 cosx 0 cosx 403 Calcul deJpar intÉgration par parties : on remarque que lnxD4lnx, puis on poseuD4xet 40 vDlnx; d’oÙuDxetvD1=x. Z ZZ Z e e h i e e e 1 3 43 44 43 JDxlnxdxD4xlnxdxDxlnxxdxDexdx 1 x 1 11 1   h 4 i 4 4 e xe1 1C3e 4 4 De De D 4 44 4 1 p 2 Calcul deKpar changement de variable : on posetDx1, d’oÙxDtC1et dxD2tdt; lorsque xvarie de2À5,tvarie de1À2. Z Z Z   2 5 22 2 3 x uC101 u 2 KD pdxD2udtDuC1dtD CuD 2u 33 2 2 x1 1 1 1