Fonctions carré et inverse

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Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
Fonctions carré et inverse Table desmatières I Fonction carré : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.4 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • illustration graphique

  • ordre inverse des antécédents

  • x22 ?x21

  • appelée hyperbole

  • ordre inverse

  • courbe représentative

  • x2 é

  • x1? x2


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Fonctionscarréetinverse
Tabledesmatières
I Fonctioncarré: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.4 Courbereprésentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Fonctioninverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.2 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.4 Courbereprésentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I Fonctioncarré:
I.1 Définition
Définition
2Onappellefonctioncarrélafonctionx7!x
Propriété
2Lafonctioncarréx7!x estdéfiniesurR.
I.2 Parité
Définition
Unefonction f définiesurunensembleI estpairesi:
? I estsymétriqueparrapportàl’origineO durepère(donc,pourtoutx2I,?x2I).
? pourtoutx2I, f(?x)? f(x)
Conséquencegraphique:lacourbereprésentatived’unefonctionpaireestsymétriqueparrapportàl’axedes
ordonnées.
1Illustrationgraphique:
5
4
0 3M (?x ; f(?x)? f(x))
M(x ; f(x))
2
1
?x x
?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3 4 5
?1
Propriété
2Lafonctioncarré f :x7!x estpaire
Démonstration
? f estdéfiniesurRetRestsymétriqueparrapportàO.
2 2? Pourtoutx2R, f(?x)?(?x) ?x ?f(x)
I.3 Variations
Propriété
2f :x7!x estdécroissantesur]?1; 0]etcroissantesur[0;?1[.
Démonstration:
? Sur[0;?1[:soientdeuxréelsx etx quelconquesde[0;?1[avec0?x ?x .1 2 1 2
2 2Ils’agitdecomparerlesnombres f (x )?x et f (x )?x .1 21 2
2 2f (x )?f (x )?x ?x ?(x ?x )?(x ?x )?0.2 1 2 1 2 12 1 | {z } | {z }
?0 ?0
Eneffet,x ?x ?0commesommedenombrespositifsetx ?x ?0caronasupposéx ?x .2 1 2 1 1 2
Lesimagessontclasséesdanslemêmeordrequelesantécédents,donc f estcroissantesur[0;?1[.
? Sur]?1; 0]:soientdeuxréelsx etx quelconquesde]?1; 0]avecx ?x ?0.1 2 1 2
Onalemêmecalcul: f x ?f x ? x ?x ? x ?x ?0 x ?x ?0 carlesdeuxnombressontnégatifs.( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 2| {z } | {z }
?0 ?0
Lesimagescettefoissontclasséesdansl’ordreinversedesantécédents:lafonctionestdécroissante.
Remarque:sur]?1; 0],onauraitpuutiliserlaparitédelafonctionetlasymétriedelacourbeparrapport
l’axedesordonnées.
Tableaudevariation:
x ?1 0 ?1
0
@
f(x) @
R@
bccbI.4 Courbereprésentative
Lacourbereprésentativedelafonctioncarréestappeléeparabole.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
O?3 ?2 ?1 1 2
?1
I.5 Application
Exercice:comparerlescarrésdesnombressuivants:
2 2a) 0,2 et0,21
2 2b) ?2,4 et?2,41
2c) ?3,1 et4,2
Solution:
2a) 0,2et0,21sontpositifs;sur[0;?1[,lafonction f :x7!x estcroissante.
2 20,2?0,21donc f(0,2)? f(0,21)donc 0,2 ?0,21
b) -2,4et-2,41sontnégatifs;sur]?1; 0], f estdécroissante.
2 2?2,4??2,41;comme f estdécroissante, f renversel’ordre,donc (?2,4) ??2,41 .
2 2 2 2c) ?3,1 ?3,1 doncilsuffitdecomparer3,1 et4,2 .
2 2 2 23,1et4,2sontpositifset3,1?4,2;sur[0;?1[, f estcroissante,donc3,1 ?4,2 ,d’où ?3,1 ?4,2II Fonctioninverse
II.1 Définition
Définition
1
Onappellefonctioninverselafonctionx7!
x
Propriété
1 ?La fonction inverse x 7! est définie sur R ?R\
x
{0}?]?1; 0[[]0;?1[.
II.2 Parité
Définition
Unefonction f définiesurunensembleI estimpairesi:
? I estsymétriqueparrapportàl’origineO durepère(donc,pourtoutx2I,?x2I).
? pourtoutx2I, f(?x)??f(x)
Conséquencegraphique:lacourbereprésentatived’unefonctionimpaireestsymétriqueparrapportàl’ori-
gineO durepère.
Illustrationgraphique:
3
2
M(x ; f(x))
1
a
?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3
?1
0M (?x ; f(?x)??f(x))
?2
?3
?4
Propriété
1
Lafonctioninverse f :x7! estimpaire
x
Démonstration
? ?? f estdéfiniesurR etR estsymétriqueparrapportàO.
bb1 1?? Pourtoutx2R , f(?x)? ?? ??f(x)
?x x
II.3 Variations
Propriété
2f :x7!x estdécroissantesur]?1; 0]etdécroissantesur[0;?1[.
Démonstration:
? Sur[0;?1[:soientdeuxréelsx etx quelconquesde]0;?1[avec0?x ?x .1 2 1 2
2 2Ils’agitdecomparerlesnombres f (x )?x et f (x )?x .1 21 2
1 1 x ?x1 2
f (x )?f (x )? ? ? .2 1
x x x x2 1 1 2
x ?x ?0carx ?x ;x x ?0 commeproduitdenombrespositifs.Lesimagessontclasséesdansl’ordre1 2 1 2 1 2
inversedesantécédents,donc f estdécroissantesur]0;?1[.
? Sur]?1; 0[:soientdeuxréelsx etx quelconquesde]?1; 0[avec?x ?x ?0.1 2 1 2
1 1 x ?x1 2
Onalemêmecalcul: f (x )?f (x )? ? ? .2 1
x x x x2 1 1 2
x ?x ?0carx ?x ;x x ?0commeproduitdenombresnégatifs.Lesimagessontclasséesdansl’ordre1 2 1 2 1 2
inversedesantécédents,donc f estdécroissantesur]?1; 0[.
Remarque:sur]?1; 0],onauraitpuutiliserlasymétriedelacourbeparrapportàO.
Tableaudevariation:
x ?1 0 ?1
@ @
f(x) @ @
R@ R@
II.4 Courbereprésentative
Lacourbereprésentativedelafonctioninverseestappeléehyperbole.
4
3
2
1
O?3 ?2 ?1 1 2
?1
?2
?3
?4
?5II.5 Application
Exercice:comparerlescarrésdesnombressuivants:
1 1
a) et
0,2 0,3
1 1
b) ? et?
2,4 2,5
1 1
c) ? et
3,1 4,2
Solution:
1
a) 0,2et0,3sontpositifs;sur]0;?1[,lafonction f :x7! estdécroissante.
x
1 1
0,2?0,3donc f (0,2)? f(0,3)donc ?
0,2 0,3
b) -2,4et-2,5sontnégatifs;sur]?1; 0[, f estdécroissante.
1 1
?2,4??2,5;comme f estdécroissante, f renversel’ordre,donc (? )?? .
2,4 2,5
1 1 1 1
c) ?3,1?0et4,2?0donc? ?0et ?0donc ? ?
3,1 4,2 3,1 4,2