l'optimisation de forme

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Niveau: Secondaire, Lycée
Qu'est-ce que l'optimisation de forme ? par Antoine Henrot & Jan Sokolowski 1. Introduction La legende raconte qu'en 814 avant Jesus-Christ, la reine Didon fuyant les Assyriens accosta sur les rives de l'actuelle Tunisie. Souhaitant s'y installer et fonder une ville (la future Carthage), Didon demanda au chef de la tribu qui occupait les lieux l'autorisation de disposer d'un territoire. Celui-ci lui tendit alors une peau de bœuf en lui disant d'un air goguenard : ?? Le territoire que vous arriverez a couvrir avec cette peau est a vous ! ??. Didon decoupa la peau en une tres fine laniere et se trouva alors confrontee au probleme suivant : disposant d'une laniere de longueur donnee, comment enclore un territoire de surface maximale ? L'optimisation de forme etait nee ! L'optimisation de forme a pour objet la recherche de la meilleure forme possible pour un certain probleme. Comme nous allons le voir dans ce petit texte, les problemes d'optimisation de forme sont souvent d'origine industrielle : il pourra s'agir de chercher la meilleure aile d'avion, le meilleur mur anti-bruit, le meilleur pare-brise... Pour en revenir au probleme de la reine Didon, si on souhaite construire un territoire disposant d'une ouverture sur la mer (dont on peut supposer le rivage rectiligne) la solution de ce probleme est un demi-disque.

  • industriel

  • part entiere

  • propriete etait

  • defauts

  • energie ?? du systeme

  • materiaux reside dans la possibilite de detecter d'eventuels defauts


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Qu’est-ce que l’optimisation de forme ?
par Antoine Henrot & Jan Sokolowski
1. Introduction Lale´genderacontequen814avantJ´esus-Christ,lareineDidonfuyantles Assyriens accosta sur les rives de l’actuelle Tunisie. Souhaitant s’y installer et fonder une ville (la future Carthage), Didon demanda au chef de la tribu qui occupait les lieux l’autorisation de disposer d’un territoire. Celui-ci lui tendit alors une peau de bœuf en lui disant d’un air goguenard :Le territoire que vous  arrivereza`couvriraveccettepeauesta`vous!aupelapaouecd´ondiD.enenu  tre`snelani`ereetsetrouvaalorsconfront´eeauproble`mesuivant:disposant dunelanie`redelongueurdonn´ee,commentencloreunterritoiredesurface maximale?L’optimisation de formeaemrofednoitteia´misaoptie!Ltn´e pourobjetlarecherchedelameilleureformepossiblepouruncertainproble`me. Commenousallonslevoirdanscepetittexte,lesproble`mesdoptimisation de forme sont souvent d’origine industrielle : il pourra s’agir de chercher la meilleure aile d’avion, le meilleur mur anti-bruit, le meilleur pare-brise... Pour enrevenirauproble`medelareineDidon,sionsouhaiteconstruireunterritoire disposant d’une ouverture sur la mer (dont on peut supposer le rivage rectiligne) lasolutiondeceprobl`emeestundemi-disque.Ceseraitundisquedanslecas ou`onnemettraitaucunecontrainte.Cettepropri´ete´´etaitd´ej`aconnuedesgrecs etportelenomdine´galite´isope´rime´trique.Onpeuttraduirecetteproprie´te´ entermesmath´ematiquesdelafac¸onsuivante.SiΩestundomaineduplan, notonsAl’aire de Ω etPue,qeqllueolatomsrertneuqrpnueerO.`mtee´irsonp soitlaformedudomaineΩ,onatoujoursline´galite´suivanteentrelaireetle pe´rim`etre:
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Deplus,leseuldomaineplanpourlequelonale´galite´dans(1)estledisque. Enparticulier,lin´egalit´e(1)montrebienquesilep´erime`treestxe´,ledomaine Ω aura une aire maximale s’il est un disque. Lade´monstrationde(1)estloindˆetrefacile.Ellena´et´etrouve´equau e`me XIXsi`ecle!Etencore,ilyeutquelquespe´ripe´tiesquimontrentbien
19032003Unsie`clede
´ math´ematiquesa`Nancy,Institut Elie Cartan, Nancy, 2003.