Logique et Langage des ensembles
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Logique et Langage des ensembles

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Description

maîtrise, Supérieur, Maîtrise (bac+4)
  • cours - matière potentielle : université en ligne é
  • cours - matière potentielle : introduction rapide
  • redaction - matière potentielle : —
1Logique et Langage des ensembles Les notions abordées dans ce module sont des notions de base qui inter- viennent dans tous les domaines des mathématiques. Souvent considérées comme acquises par les étudiants après un cours d'introduction rapide, elles sont sus- ceptibles de causer des difficultés dans tout le travail ultérieur, en cas de maîtrise insuffisante. C'est pourquoi ce module est très détaillé sur les questions qui posent problème aux étudiants. Il est conseillé de travailler de façon approfondie ce mo- dule au début de l'année, puis de revenir ensuite revoir les points qui sont source de difficulté.
  • quante questions
  • notation des logiciens
  • négation —
  • test d'auto-évaluation avec qua
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  • langage
  • langages

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Langue Français

Exrait

1
Logique
et
Langage des ensembles
Les notions abordées dans ce module sont des notions de base qui inter-
viennent dans tous les domaines des mathématiques. Souvent considérées comme
acquises par les étudiants après un cours d’introduction rapide, elles sont sus
ceptibles de causer des difficultés dans tout le travail ultérieur, en cas de maîtrise
insuffisante. C’est pourquoi ce module est très détaillé sur les questions qui posent
problème aux étudiants. Il est conseillé de travailler de façon approfondie ce mo
dule au début de l’année, puis de revenir ensuite revoir les points qui sont source
de difficulté.
Université en ligne É. COUSQUER et C. SACRÉ, USTL2
Contenu du module "Logique et théorie des ensembles"
1. Connecteurs — Négation — Conjonction — Disjonction — Lois de Morgan
— Distributivité
Cours et cinq exercices interactifs avec correction.
2. Langage des ensembles — Notion d’ensemble — Inclusion et égalité —
Ensembles particuliers — Réunion d’ensembles — Intersection d’ensemble
— Propriétés de distributivité — Complémentaire d’un ensemble — Autres
opérations — Correspondance Ensembles/Propriétés
Cours et trente neuf exercices interactifs.
3. Quantificateurs — Quantificateur universel — Quantificateur existentiel —
Règles d’usage — Négation des quantificateurs
Cours, quatorze exercices interactifs, un test d’auto évaluation avec qua
rante questions
4. Implication — Sens de l’implication — Condition nécessaire, suffisante —
Contraposée — Réciproque — Négation de l’implication — Équivalence
logique
Cours, trois exercices interactifs, deux tests d’auto évaluation avec cin
quante questions
5. Applications — Définition — Images — Composition — Propriétés
Cours, quarante exercices interactifs, deux tests d’auto évaluation avec quatre
vingt questions
6. Relations — Définition — Relation d’équivalence — Relation d’ordre —
Application croissante entre ensembles ordonnés
Cours et vingt six exercices interactifs.
7. Démonstrations — Implication — Conjonction — Disjonction — Négation
— Démonstration par l’absurde — Quantificateurs et démonstration
Cours et dix sept exercices interactifs.
8. Rédaction — Directives générales — Connecteurs logiques — Quantifica
teurs — Remarques finales
Cours et neuf exercices interactifs.
9. Cardinal d’un ensemble — Les ensembles infinis — Cardinal d’un en
semble — Le dénombrable — Le continu : les réels — Le continu : les
nombres complexes — Les cardinaux infinis
Cours
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Connecteurs logiques
En mathématiques, on se situe dans le cadre d’une logique à deux valeurs.
Une proposition mathématique "P " est soit vraie soit fausse. Si elle est vraie,
nous lui attribuons la valeur 1, (ou V) ; si elle est fausse, nous lui attribuons la
valeur logique 0, (ou F).
2On peut trouver des propositions toujours vraies, par exemple "x ≥ 0" pourx
réel, ou "0 = 0" qu’on appelle des tautologies, des propositions toujours fausses,
par exemple "0 = 1" et des propositions tantôt vraies, tantôt fausses, par exemple
2"x = 1" qui est vraie pour "x = 1" ou "x =−1", et fausse sinon.
But de ce chapitre On examine comment, à partir de propositions données en
former de nouvelles, à l’aide de connecteurs logiques :
— la négation — le "non"
— la conjonction — le "et"
— et la disjonction logique — le "ou".
Négation
Notation de la négation d’une proposition On note "nonP " le contraire de la
proposition "P ", c’est à dire la proposition qui est vraie quand "P " est fausse et
qui est fausse quand "P " est vraie. Par exemple si "P " est la proposition "x = 0",
"nonP " est la proposition "x = 0".
Remarque Une notation des logiciens pour "nonP " est la notation "¬P ". On
se contentera de la avec le mot non, car nous ne développons pas un cours
de logique.
p nonp
Table de vérité de la négation 1 0
0 1
Négation de la négation Une propriété immédiate est que "non (nonP)" est
équivalente à "P ", (cela se voit aussi sur la table de vérité.)
(non (nonP))⇐⇒P
Sens du symbole "équivaut" Le sens du symbole⇐⇒ qui se lit équivaut, et
qui signifie ici que les deux propositions ont toujours la même valeur sera revu
par la suite.
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Conjonction
Notation de la conjonction de deux propositions Lorsque l’on a deux propo
sitions "P ", "Q", on peut former une nouvelle proposition appelée la conjonction
de ces deux propositions, que l’on notera "P etQ". La proposition "P etQ" vraie
signifie que les deux propositions sont vraies en même temps. Par exemple pour
2 2deux nombresx ety réels, la proposition "x +y = 0" équivaut à "x = 0 ety =
0". Il est clair que :
(P etQ)⇐⇒ (Q etP)
Remarque Une notation des logiciens pour "P etQ" est "P∧Q", que nous
n’emploierons pas dans ce cours.
Commutativité Il est clair que (P etQ)⇐⇒ (Q etP)
p q p etq
1 1 1
Table de vérité de la conjonction 1 0 0
0 1 0
0 0 0
Disjonction
Lorsque l’on a deux propositions "P ", "Q", on peut former une proposition
que l’on appelle la disjonction de ces deux propositions, et que l’on note "P ouQ".
La proposition "P ouQ" est vraie si l’une au moins des deux propositions "P " ou
"Q" est vraie.
Attention Ce point diffère du langage courant. En mathématiques, le ou est non
exclusif, c’est à dire qu’il comprend la possibilité que les deux propositions soient
vraies. Ainsi la proposition "xy = 0" équivaut à la proposition "x = 0 ouy = 0",
elle est vraie quand l’un des deux nombres est nul, elle est aussi vraie quand les
deux sont nuls.
Remarque Une notation des logiciens pour "P ouQ" est "P∨Q", que nous
n’emploierons pas dans ce cours.
Commutativité Il est clair que (P ouQ)⇐⇒ (Q ouP)
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p q p ouq
1 1 1
Table de vérité de la disjonction 1 0 1
0 1 1
0 0 0
Lois de Morgan
Elles indiquent comment prendre la négation d’une disjonction, ou la négation
d’une conjonction.
Négation de la disjonction D’après l’inventaire des trois cas possibles pour la
proposition "P ouQ", la proposition "non (P ouQ)" signifie que l’on a "P " faux
et "Q" faux, c’est à dire que l’on a la proposition "(nonP) et (nonQ)" :
non (P ouQ)⇐⇒ ((nonP) et (nonQ))
Négation de la conjonction De même la proposition "non (P etQ)" signifie
que l’on est dans l’un des trois cas : "P " faux et "Q" vrai, "P " faux et "Q" faux,
"P " vrai et "Q" faux, c’est à dire que l’une au moins des propriétés "P ", "Q" est
fausse, et que l’on a la proposition "(nonP) ou (nonQ)" :
non (P etQ)⇐⇒ ((nonP) ou (nonQ))
Lois de distributivité
On va démontrer deux lois de distributivité par les tables de vérité.
La conjonction est distributive par rapport à la disjonction
(P et (Q ouR))⇐⇒ ((P etQ) ou (P etR))
p q r q our p etq p etr (p etq) ou (p etr) p et (q our)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
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La disjonction est distributive par rapport à la conjonction
(P ou (Q etR))⇐⇒ ((P ouQ)et (P ouR))
p q r q etr p ouq p our (p ouq) et (p our) p ou (q etr)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Travail à faire sur ordinateur
Les cinq exercices interactifs du chapitre "Connecteurs logiques"
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Notion d’ensemble
Depuis le début du vingtième siècle, tous les objets mathématiques sont dé
crits en utilisant le langage des ensembles. Ensembles de nombres, ensembles de
points, ensembles de fonctions, etc.
On ne définit pas la notion d’ensemble. Sinon, si l’on dit qu’un ensemble est
une collection, il faudrait définir ce qu’est une collection, etc. Nous allons simple
ment préciser les notations et les règles pour utiliser ce langage de façon sûre.
Exemples Vous même avez commencé à utiliser ce langage.
N ensemble des entiers naturels,{0, 1, 2, 3,...}
Z des entiers relatifs,{0, 1,−1, 2,−2,...}
D ensemble des décimaux, c’est à dire des nombres qui peuvent s’écrire sous la
nforme , n et p entiers relatifs. Les décimaux comportent les entiers etp10
les nombres qui peuvent s’écrire sous une forme décimale avec un nombre
fini de chiffres non nuls après la virgule. On prendra garde que les nombres
décimaux ont deux écritures décimales illimitées : l’une avec des zéros in
définiment à partir d’un certain rang, l’autre avec des 9 indéfiniment à partir
d’un certain rang. Par exemple :
14, 452 = 14, 452000... = 14, 451999...
Q ensemble des rationnels, c’est à dire des nombres qui peuvent s’écrire comme
le quotient de deux entiers n et m, (m = 0). On admet qu’à tout nombre
rationnel on associe un développement décimal périodique, unique si le
nombre n’est pas un décimal.
R les nombres réels. Ils n’ont jusqu’à présent pas été définis. Cette année on don
nera très précisément les propriétés des nombres réels utilisables dans les
démonstrations. À tout nombre réel on associe un développement décimal
illimité, unique si le nombre n’est pas un décimal.
C les nombres complexes qui peuvent s’écrire sous la formea +ib, aveca etb
réels.
En géométrie, vous avez aussi utilisé ce langage en parlant de la droite comme un
ensemble de points, etc.
Notion d’appartenance
x∈E : x est élément de l’ensembleE
x∈E : x appartient àE
x6∈E : est la négation dex∈E
x6∈E : x n’est pas élément de l’ensembleE
x6∈E : x n’appartient pas àE
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Ensemble vide On considère en mathématiques, qu’il y a un unique ensemble,
appelé ensemble vide, qui ne contient aucun élément, et qui est noté∅. Si on
considère un élémentx quelconque, on a forcémentx6∈∅.
Ensembles infinis Les ensembles ont été inventés pour manipuler des ensembles
infinis. Lorsque, à la fin du dix neuvième siècle, les mathématiciens ont com
mencé à manipuler des ensembles, ils se sont aperçus que la notion d’" ensemble
de tous les ensembles" conduisait à des contradictions. Afin de limiter les en
sembles utilisés, ils se sont fixé la règle suivante de formation des ensembles.
Règle de formation Si on se donne un ensemble E et une propriété "P ", on
peut former un nouvel ensemble F constitué des éléments de E qui vérifient la
propriété "P ". Cela s’écrit :
F ={x∈E|P(x)}
Écriture d’un ensemble
Pour écrire un ensemble, on a deux possibilités :
Écriture en extension On énumère ses éléments. On dit qu’on définit l’en
semble en extension. Cette définition n’est pas toujours utilisable : comment écrire
ainsi des ensembles tels que l’ensemble des points d’un segment par exemple ?
Exemples :
E ={0, 1, 5, 10}
Z ={0, 1,−1, 2,−2,...}
Écriture en compréhension On se donne une propriété qui caractérise ses élé
ments. On dit qu’on définit l’ensemble en compréhension. C’est l’écriture des
ensembles la plus utilisée. Exemples :
[a,b] ={x∈R|a≤x≤b}
2N ={p|p " entier pair"}
pQ ={ |p∈Z etq∈Z etq = 0}
q
2C ={a +ib|a∈R etb∈R}, avec (i =−1)
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Remarque importante Il y a deux parties dans l’écriture d’un ensemble, sépa
rées par une barre verticale.
E ={x∈U|P(x)}
La premièrex∈U indique où sont pris les éléments de l’ensemble, la deuxième
P (x) indique une propriété caractéristique des éléments de l’ensemble E. Les
signes logiques ne peuvent donc intervenir éventuellement qu’au niveau de l’écri
ture de la propriété "P " et en aucun cas dans la première partie de l’écriture.
Inclusion et égalité d’ensembles
On dit qu’un ensembleF est inclus dans un ensembleE, si tout élément deF
appartient àE.
F⊂E F est inclus dans l’ensembleE
F⊂E F est contenu dansE
F⊂E F est un sous ensemble de l’ensembleE
F⊂E F est une partie de l’ensembleE
F6⊂E est la négation deF⊂E
F6⊂E F n’est pas inclus dans l’ensembleE
F6⊂E signifie "il existe au moins un élément deF n’appartenant pas àE"
L’inclusion est une inclusion large D’après la définition précédente, tout en
sembleE est inclus dans lui même.
E⊂E
Inclusion stricte Lorsque le sous ensembleF est strictement inclus dans l’en
semble E, on dit que F est un propre deE. On doit alors le
préciser par la conjonction des deux propriétés :
F⊂E etF =E
Ensemble vide et inclusion L’ensemble vide est contenu dans tout ensemble
E.
∅⊂E
Un ensemble E non vide a donc toujours au moins deux sous ensembles, l’en
semble vide et lui même. Par contre, l’ensemble∅ a un seul sous ensemble, lui
même.
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Exemples d’inclusion d’ensembles
N⊂Z, Z⊂D, D⊂Q, Q⊂R, R⊂C
Soit l’ensembleE ={a,b,c}. Ses sous ensembles sont les ensembles :
∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
Transitivité de l’inclusion A, B, C étant trois ensembles, si le premier en
sembleA est contenu dans le secondB, si le deuxième ensembleB est contenu
dans le troisièmeC, alors le premier ensembleA est contenu dans le troisièmeC ;
on dit que l’inclusion est transitive ; cette propriété s’énonce :
Si (A⊂B et B⊂C), alorsA⊂C
et s’écrit en langage formalisé où⇒ se lit " implique" et sera revu dans la suite :
(A⊂B et B⊂C)⇒A⊂C
Justification Soit x un élément de A, d’après l’hypothèse A ⊂ B, on peut
affirmer que x est élément de B. D’après l’hypothèseB⊂ C, on peut affirmer
quex est élément deC. On a donc montré que tout élément deA est élément de
C et donc queA est inclus dansC.
Abus d’écriture On peut écrire une série d’inclusions qui met en évidence la
transitivité de l’inclusion :
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R⊂C
Égalité d’ensembles
Deux ensembles sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments. Cela se
traduit par deux inclusions simultanées.
E =F⇐⇒ (F⊂E et E⊂F)
Comment démontrer
Une inclusion Pour démontrer qu’un ensembleF est inclus dans un ensemble
E, on prend un élément x quelconque de F , on utilise les hypothèses qui défi
nissent l’ensembleF , et on démontre quex vérifie les propriétés qui définissent
l’ensembleE. La démonstration prend donc la structure suivante :
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