Mise en équation de problèmes en classe de quatrième

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Classe de 4ème, Secondaire - Collège, 4ème
  • cours - matière potentielle : la résolution
  • mémoire
  • exposé
I.U.F.M. de l'Académie de Montpellier Site de Nîmes Mémoire professionnel Mise en équation de problèmes en classe de quatrième Mathématiques POIRIER Isabelle Professeur Stagiaire en Mathématiques Année 1999/2000 Classe de 4ème G Collège les Oliviers à Nîmes Sous la direction de Madame MARSAL Danielle Assesseur : Madame VALERO Marie-José
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I.U.F.M. de l'Académie de Montpellier
Site de Nîmes




Mémoire professionnel





Mise en équation de problèmes
en classe de quatrième



Mathématiques







POIRIER Isabelle
Professeur Stagiaire en Mathématiques
Année 1999/2000
ème
Classe de 4 G
Collège les Oliviers à Nîmes

Sous la direction de Madame MARSAL Danielle
Assesseur : Madame VALERO Marie-José



Résumé





Lors de sa scolarité au collège, l'élève est invité à résoudre toutes
sortes de problèmes. Pour cela, il sera amené à les mettre en équation.
Véritable traduction de l'énoncé en langage algébrique, la mise en
équation est une étape délicate de la résolution d'un problème, surtout
dans la mesure où l'élève ne connaît que depuis peu ce langage
algébrique, et le maîtrise mal. Ce texte met en avant ces difficultés et
s'interroge sur les activités à proposer aux élèves pour les aider dans
leur tâche.



When at secondary school, pupils will have to solve all sorts of
problems. To this purpose, they will have to put them into equation.
This translation of the terms of the problem into algebraic language is
a delicate issue, especially because they still don't master this new
language. This text underlines these difficulties and wonders about
means of introducing this technique to pupils.

2 1 - Introduction


Au programme de mathématiques de la classe de quatrième figure, dans la partie B. Travaux
numériques, la résolution de problèmes conduisant à des équations du premier degré à une
inconnue. A ce propos, les commentaires précisent : "On dégagera chaque fois sur des problèmes
particuliers les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l'équation et
interprétation du résultat."

Or, à la lecture de différents manuels scolaires de la classe de quatrième, je me suis rendue
compte de la pauvreté des activités proposées aux élèves. Dans la plupart des cas, le manuel se
contente, sur un exemple donné, de souligner les différentes étapes de la résolution : choix de
l'inconnue, mise en équation, résolution de l'équation et retour au problème pour l'interprétation du
résultat, sans proposer d'activité propre à chacune de ses étapes.

Cela signifie-t-il que les élèves, lors de la résolution d'un problème, ne rencontrent guère de
difficultés à partir du moment où ils ont compris cette syntaxe ? Au contraire, il me semble que
derrière cette méthode, qu'on leur présente un peu comme une recette miracle, se cachent beaucoup
de problèmes auxquels pourraient se heurter les élèves.


Déjà, si l'élève ne maîtrise pas la technique de résolution de l'équation, il aura bien évidemment
des difficultés pour résoudre le problème. Mais ce qui m'intéresse plus particulièrement ici, c'est la
première étape du travail, celle qui consiste en la mise en équation du problème. Elle ne me semble
pas tout à fait évidente pour un élève de quatrième, vu qu'en quelque sorte cette mise en équation
n'est pas une technique universelle (comme le serait la résolution de l'équation), mais dépend de
chaque énoncé.

Par ailleurs, le sujet de la mise en équation me semble intéressant à plus d'un titre.

D'abord, et c'est précisé une fois de plus dans les commentaires accompagnant le programme,
cette notion, par le biais des énoncés des problèmes, peut toucher à beaucoup de domaines
différents, que ce soit d'autres parties du programme de mathématiques, en géométrie par exemple,
ou encore d'autres disciplines. Pour travailler à la mise en équation, nous disposons donc d'un vaste
éventail de problèmes, et leurs origines diverses permettent d'éveiller facilement la curiosité et la
motivation, donc l'intérêt des élèves.

3 La mise en équation fait partie d'un processus qui consiste en la résolution d'un problème.
Même si je ne m'intéresserai pas ici à la partie concernant la résolution de l'équation, puis celle du
problème, il ne me semble pas raisonnable de s'arrêter à la mise en équation du problème, ce qui
ferait perdre sans aucun doute l'intérêt suscité chez les élèves, sans poursuivre par la résolution du
problème. Or, autour de la mise en équation, gravite l'équation elle-même et résoudre un problème
la mettant en cause est une bonne façon, je pense, de l'intégrer au sein des connaissances de l'élève
; en effet, celle-ci va enfin "servir" à quelque chose puisqu'elle représente un moyen d'accéder à la
solution.

A mon avis, certaines difficultés rencontrées par les élèves en mathématiques sont dues à une
incompréhension, ou tout du moins à une difficulté de s'approprier le langage mathématique.
Justement, la mise en équation ressemble à une traduction de la langue naturelle en langage
mathématique (plus précisément algébrique), et par ce processus, le professeur va pouvoir être à
même d'observer le fonctionnement de l'élève et son rapport à ce nouveau langage.


Enfin, une autre raison justifie le choix de ce thème, qui rejoint la précédente : la mise en
équation représente en quelque sorte le pas entre le monde réel, empirique (énoncé du problème), et
le monde mathématique (équation), et peut ainsi, par la suite, inviter progressivement l'élève à
considérer les mathématiques de façon plus autonome.


2 - Eclairage historique
d'après Jean-Paul Guichard, IREM de Poitiers


2-1. L'algèbre, le domaine des équations

èmeAl Khwarizmi, mathématicien à Bagdad au 9 siècle, publie un ouvrage sur les équations du
premier et second degré, avec des applications à des problèmes de géométrie et d'héritages, intitulé
Court traité sur le calcul d'al-jabr et al-muqabala. Le terme al-jabr, qui désigne une transformation
de base des équations, va donner le mot algèbre.
L'algèbre va dès lors désigner le domaine des équations. Mais il faut remarquer qu'à cette
époque le traitement des équations se fait sans aucun symbole, tout s'exprime dans le langage
ordinaire, l'inconnue s'appelle la chose et son carré le bien.

Le traité d'Al Khwarizmi marque la naissance d'une nouvelle discipline, mais la notion
d'équation n'était pas inconnue des mathématiciens : en fait, la recherche d'un nombre ou d'une
4 quantité inconnus se rencontre dès les débuts des mathématiques, chez les Babyloniens par
èmeexemple, ou chez Diophante d'Alexandrie dans ses Arithmétiques, au 3 siècle. Cependant, le fait
d'avoir inversé l'ordre ancien problème-équation, en faisant des équations le point de départ et
l'objet d'une étude mathématique, va produire une véritable rupture et fonder un nouveau domaine
des mathématiques.

Les générations suivantes ont enrichi l'algèbre avec les puissances supérieures de l'inconnue et
ème
la considération des équations du 3 degré. Le Moyen Age européen a hérité de l'algèbre arabe.
ème
Ce développement a conduit, au début du 16 siècle, à la résolution algébrique des équations de
degré 3 et 4. L'inconnue s'appelle encore la chose, son carré, le cens, son cube, le cube, mais
chaque auteur choisissait un système d'abréviations pour ces termes et pour les opérations
auxquelles ils sont soumis. On voit néanmoins apparaître des lettres pour désigner les inconnues
comme chez l'allemand Stifel ou le français Peletier.

2-2. L'algèbre, un langage universel

Un pas nouveau sur la voie du symbolisme algébrique est franchi par François Viète. Il s'agit de
la création d'un calcul portant uniquement sur les lettres, exposé dans un court traité, In artem
analyticem Isagoge (1591).
"La forme sous laquelle on doit aborder la recherche de l'équation exige les
ressources d'un art spécial, qui exerce sa logique non sur les nombres, suivant
l'erreur des analystes anciens, mais au moyen d'une Logistique nouvelle,
beaucoup plus heureuse que la Logistique numérale.(…) Logistique numérale
est celle qui est exposée par les nombres. Logistique spécieuse est celle qui est
exposée par des signes ou des figures, par exemple, par des lettres de
l'alphabet."
Avant lui, certains algébristes utilisaient déjà des caractères pour désigner l'inconnue et ses
puissances, et parfois même des lettres. La grande idée de Viète est d'avoir généralisé l'utilisation
de lettres aussi bien pour désigner les quantités inconnues que les quantités connues.
Viète se trouve donc ainsi en possession du calcul littéral, sa logistique spécieuse. Dans quel
but? La dernière phrase de son traité nous donne la réponse : "Nullum non problema solvere ",
résoudre tout problème.
Son algèbre littérale lui permet :
- d'acquérir une puissance de calcul encore inégalée : des substitutions et des développements
étaient impensables avant. Cette utilisation de l'algèbre littérale pour transformer et résoudre des
équations va lui permettre de faire avancer leur théorie ;
- de traduire sous forme d'équations et de formules des problèmes généraux de géométrie et
d'arithmétique.
5 L'algèbre est pour Viète un outil au service d'une méthode de résolution de problèmes :
l'analyse. Cette utilisation de la méthode analytique et de l'algèbre littérale pour modéliser des
situations, Descartes va la reprendre et la développer avec l'algébrisation de la géométrie.

Le domaine des équations s'élargit et s'enrichit de nouvelles questions et de nouvelles méthodes
: étude des équations à deux variables, nombre et signe des racines d'une équation, …Mais surtout
l'algébrisation des problèmes va donner une importance croissante au calcul littéral, et faire de cette
méthode l'essence de l'algèbre, comme en témoigne l'article Algèbre de l'Encyclopédie Méthodique
de Diderot et d'Alembert :
"Science du calcul des grandeurs considérées généralement (…) L'Algèbre a
proprement deux parties :
1) la méthode de calculer les grandeurs, en les représentant par les lettres de
l'alphabet ;
2) la manière de se servir de ce calcul pour la solution des problèmes."

L'algèbre devient un langage avec ses règles, langage qui permet de résoudre les problèmes par
le calcul.

2-3. L'algèbre, le domaine des structures

Les nombreux résultats obtenus par la manipulation de plus en plus formelle du calcul littéral, et
par la substitution de toutes sortes de nombres dans les expressions symboliques obtenues, amènent
èmeles algébristes anglais du 19 siècle à envisager une algèbre symbolique, où les lettres peuvent
représenter des objets quelconques, et sur lesquelles on peut faire toutes les opérations possibles a
priori. Les mathématiciens vont alors porter leur attention non plus sur les objets, mais sur les
opérations.
C'est cette étude d'ensembles abstraits munis d'une ou plusieurs opérations qui va désormais
porter le nom d'algèbre, dont les objets vont s'appeler groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels…
Nous assistons à la deuxième métamorphose de l'algèbre et à la naissance de l'algèbre moderne : un
domaine où l'on étudie des structures.

6 3 - Problématique

3-1. L'algèbre comme succession de l'arithmétique

Comme nous avons pu le voir, le calcul littéral a été introduit par François Viète, dans le but de
résoudre des problèmes restés jusqu'alors sans réponse.

Une stratégie classique d'introduction de l'algèbre est de l'opposer à l'arithmétique. D'après Yves
Chevallard, "cette opposition, qui reprend dans le registre didactique la succession historique de
deux champs de savoir constitués à des périodes différentes, réalise concrètement ce qu'on a appelé
la dialectique de l'ancien et du nouveau."

a) Dialectique Arithmétique/Algèbre

Ces deux champs des mathématiques s'appuient sur un corpus de problèmes pour la résolution
desquels algèbre et arithmétique proposent des moyens d'attaque différents :
- raisonnement arithmétique : on part du connu pour aller vers l'inconnu
-ent algébrique : en désignant le nombre inconnu par une lettre, on le manipule
comme s'il était connu.

"Les calculs se font, ou par le moyen des nombres, comme dans l'Arithmétique
vulgaire, ou avec des lettres comme dans l'Analyse. Ces deux procédés sont
fondés sur les mêmes principes, et conduisent au même résultat ; l'Arithmétique,
d'une manière définie et particulière ; l'Algèbre, d'une manière indéfinie et
universelle. (…)
L'Arithmétique ne marche jamais que du connu vers l'inconnu ; l'Algèbre, au
contraire, marche souvent de l'inconnu au connu, de sorte que, de quelque
manière qu'elle arrive à une conclusion ou une équation, elle peut toujours
parvenir à la connaissance de la quantité inconnue. C'est par ce moyen qu'on
résout des problèmes très difficiles, dont on eût vainement cherché la solution
par l'Arithmétique seule.
Cependant, l'Arithmétique est tellement indispensable dans toutes les
opérations de l'Algèbre, que leur réunion seule forme la science complète du
calcul. C'est pour cette raison que je traiterai de toutes les deux en même
temps." Newton, Arithmétique universelle
7 Considérons un exemple :
Problème : "Un père a 38 ans, son fils 6 ans ; dans combien de temps l'âge du père sera-t-il le
triple de l'âge du fils ?"
- résolution arithmétique :
Chaque année, le triple de l'âge du fils s'accroît de 3, l'âge du père augmente de 1, la différence
diminue de 2. Cette différence qui est d'aujourd'hui 38 – 3 × 6 = 20 sera donc nulle en 20 : 2 = 10
ans.
- résolution algébrique :
Soit x le nombre d'années cherché. Le problème se traduit par l'équation 3(6 + x) = 38 + x, dont
la solution est 10.

Cet exemple met bien en évidence les différences des deux raisonnements.
L'arithmétique a une ancienne affinité avec les problèmes concrets, et sa méthode de résolution
garde ce côté "concret". Cela lui donne un aspect vivant, mais on comprend vite que selon le
problème, la solution pourra être très laborieusement mise en forme et il sera difficile de suivre le
raisonnement. Par contre, la solution algébrique peut paraître mécanique, froide et abstraite, voire
ésotérique, mais elle donne à coup sûr la solution, tout en gardant la trace évidente de la démarche.

Ce processus d'abstraction qu'est la méthode algébrique par rapport à la méthode arithmétique
est le prix à payer pour cette mécanisation de la résolution. Pour éviter que les élèves soient rebutés
par cet aspect abstrait de la solution, il faudra donc bien leur faire sentir l'intérêt de cette méthode
de résolution.

b) Les difficultés liées au calcul littéral

Concernant l'emploi des lettres dans les calculs, les programmes organisent une progressivité
des apprentissages. Ainsi, en classes de sixième et cinquième, les élèves ont été initiés à l'utilisation
d'écritures littérales dans le but de réaliser des calculs numériques. Ils ont également été amenés à
exprimer une quantité "en fonction" d'une autre. La classe de quatrième correspond ensuite à une
étape importante qui voit l'introduction du calcul littéral.
Les difficultés sont liées à plusieurs facteurs :
♦ le rôle du signe =
Jusqu'en cinquième, le signe = est connu des élèves à travers deux fonctions principales :
- pour indiquer un résultat d'opération ( 7 × 3 = 21)
- pour indiquer une méthode de calcul ( aire = longueur × largeur ).
L'introduction des identités k(a + b) = ka + kb, k(a – b) = ka – kb va rendre indispensable
l'évolution de ces conceptions. On lui trouve un nouveau sens : les expressions de part et d'autre du
signe d'égalité jouent le même rôle. Cette évolution reste un point délicat ; les difficultés des élèves
8 de quatrième face à l'écriture des équations, dans lesquelles l'égalité devient conditionnelle, en
témoignent.
♦ les différents statuts de la lettre
Au collège, les lettres sont utilisées avec des statuts différents.
- la lettre désigne un point, une droite, une expression algébrique …
-ne une grandeur dans une formule
- la lettre désigne un élément générique d'un ensemble pour permettre de donner une
démonstration générale
- la lettre désigne un nombre inconnu.
La lettre a donc les statuts d'indéterminée, de variable, de paramètre, d'inconnue.
Au sein même d'un problème, la même lettre peut changer de statut au cours de la résolution. Il
faut donc tenir compte des difficultés que cela peut créer chez les élèves.

3-2. Les problèmes liés à la mise en équation d'un problème

a) Mise en équation : traduction entre deux registres

La mise en équation d'un problème est effectivement une véritable traduction entre deux
registres sémiotiques :
- le registre sémiotique du langage naturel , dans lequel est exprimé l'énoncé du problème, et/ou
le registre sémiotique des figures, si l'énoncé est donné sous forme d'une figure ;
- le registre sémiotique des expressions algébriques.
Cette conversion entre deux registres sémiotiques présente un coût cognitif qu'il convient de ne
pas négliger.

b) Tâche cognitive de la mise en équation

Dans les problèmes de mise en équation, l'élève doit être capable d'extraire dans le texte proposé
les éléments nécessaires au traitement mathématique (c'est-à-dire la résolution de l'équation). Il lui
faut donc faire une lecture spécifique de l'énoncé.
Comme je le remarquai dans l'introduction, la stratégie classique d'introduction par les manuels
scolaires de la mise en équation est de mettre en évidence sur un exemple le plan censé aider les
élèves :
1) choix de l'inconnue
2) mise en équation des données du problème
3) résolution de l'équation
4) conclusion.
9 Or, nous pouvons nous demander si le choix de l'inconnue est vraiment le premier travail à
fournir lors de la résolution d'un problème. Qu'en est-il justement du repérage par l'élève des
expressions linguistiques qu'il va devoir faire avant la mise en équation proprement dite ?
Le Groupe Math-Français de l'IREM de Strasbourg s'est intéressé à la tâche cognitive que
constitue la traduction de l'énoncé en langage algébrique.
"a. D'une façon générale, la compréhension d'un énoncé de problème consiste
dans l'identification des objets que l'énoncé décrit et dans l'identification des
relations qu'il établit entre ces objets…./…
b. Dans les problèmes de mise en équation, les objets à identifier sont des
quantités inconnues, et les relations entre ces objets sont les relations qui
permettent d'articuler les quantités inconnues identifiées en une équation.
Les quantités inconnues ne sont pas ce que l'on appelle généralement les
"inconnues", mais s'expriment en fonction de dénomination de base x…./…"

On peut donc recenser deux difficultés principales à la mise en équation :
- identifier les quantités inconnues
- identifier les relations entre ces quantités inconnues.

Dans chaque énoncé, ces deux étapes sont plus ou moins évidentes, et demanderont
peut-être une réécriture du texte.

L'identification des relations qui conduisent à l'écriture des équations sera d'autant
plus simple que l'organisation syntaxique de la phrase de l'énoncé pourra être mise en
correspondance terme à terme avec l'organisation de l'équation. On dira dans ce cas,
comme Raymond Duval, que les deux représentations, en langage naturel et en
langage algébrique, sont congruentes.
Congruence sémantique :
Le passage d'une représentation à une autre se fait spontanément lorsqu'elles sont
congruentes, c'est-à-dire lorsque les deux conditions suivantes sont remplies :
- correspondance sémantique entre les unités signifiantes qui les constituent
- même ordre possible d'appréhension de ces unités dans les deux représentations.

3-3. Problématique

Toutes ces constatations m'ont donc amenée à me poser plusieurs questions :
- Comment montrer l'intérêt, voire la nécessité, de passer à de nouvelles procédures lors de la
résolution de problèmes, alors que cette introduction d'expressions algébriques s'accompagne pour
les élèves du collège de nombreuses difficultés ?
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