Rappels sur les nombres

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Niveau: Secondaire, Lycée, Seconde
Rappels sur les nombres Table desmatières I Ensembles de nombres 1 I.1 Les entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.3 Les décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.4 Les rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.5 Les nombres réels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • latin abscis

  • système d'inéquations du pre

  • entiers relatifs

  • inéquation

  • écrit en notation décimale

  • ligne coupée


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Langue Français
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Rappelssurlesnombres
Tabledesmatières
I Ensemblesdenombres 1
I.1 Lesentiersnaturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Entiersrelatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.3 Lesdécimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.4 Lesrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.5 Lesnombresréels: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Intervalles 2
I Ensemblesdenombres
I.1 Lesentiersnaturels
Les nombres 0,1,2,...sont les entiers naturels. Ce sont les premiers nombres à avoir été utilisés (sauf 0,
apparutardivement).Ilsserventàcompterlesobjets(premiersnombres«inventés»,saufle0,plustardif).
L’ensembledesentiersnaturelsestnotéN.
I.2 Entiersrelatifs
L’ensembledesentiersrelatifsestl’ensemble...,?3,?2,?1,0,1,2,3;....IlestnotéZ.
I.3 Lesdécimaux
Définition
On appelle nombre décimal tout nombre pouvant s’écrire comme le quotient d’un nombre entier par
unepuissancede10.
a
x estdécimals’ilexistea etn entiersrelatifstelsquex? .n10
Remarque: unnombre décimalécrit en notationdécimale a une écriturene comportantqu’un nombre
finidechiffresaprèslavirgule.
Exemples:
L’ensembledesnombresdécimauxestnotéD.
1
Lenombre n’estpasunnombredécimaldoncl’ensembledesdécimauxnecontientpastouslesnombres.
3
1I.4 Lesrationnels
Définition
Unnombrerationnel(oufraction)estunnombreréelquipeuts’écrirecommequotientdedeuxentiers
relatifs.
1
Remarque:toutdécimalestrationnel,maislaréciproqueestfausse.(exemple: estrationnel,maispas
3
décimal.)
Propriété
Tout nombre rationnel se caractérise par une écriture décimale comportant un groupement décimal
périodique.L’ensembledesrationnelsestnotéQ.
p
Exercice:montrerquelenombre 2n’estpasrationnel.
L’ensembledesrationnelsnecontientpastouslesnombresconnus.Ilfautunensembleplusgrand.
I.5 Lesnombresréels:
Touslesnombresquenousconnaissonssonsdesnombresréels.
Chaque nombre réel est associé à un point unique d’une droite graduée et réciproquement : c’est l’abscisse
decepoint.L’abscissedupointM senotex oux .M
I M
xO M
Remarqueétymologique:
Abscisse:Cemotestempruntéaulatinmoderneabscissa(linea)quisignifie"lignecoupée" dulatinabscis-
sus,participepassédeabscidere(i.e."couper"),deab(à)etdecaedere(ciseau).
Il semblerait que ce soit Leibniz qui, le premier, en 1692, introduisit ce mot (ainsi que les 2 autres mais sur
cepoint,lesavisdivergentpuisquecertainsdictionnairesétymologiquesattribuentlapremièreutilisationde
"ordonnée"àB.Pascal.).Newtonutiliseabscisseen1686.
Notation:L’ensembledesnombresréelssenoteR.
Onalesinclusionssuivantes: N?Z?D?Q?R
Parexemple:p p
2?Qmais 22R
π2Rmaisπ?Q
1 1
2Qmais 2D
3 3
II Intervalles
Définition:
Soienta etb deuxréels.
L’ensembledesréelsx telsquea?x?b estnoté[a ; b].
Onlereprésentesurladroiteréelledelafaçonsuivante:
ba b
Cet ensemble est un intervalle deR. a et b sont ses bornes. Cet intervalle contient ses bornes. On dit qu’il
estborné.
Ilexistetouteunecollectiond’intervalles.
Feuilledistribuéeauxélèves :
Intervalle Ensembledesréelsx telsque... Représentationgraphique
[a ; b]fermé a?x?b a b
[a ; b[ferméàgauche,ouvertàdroite
a?x?b
[a ;?1[ a
x?a
x?b
x?b
Le symbole1 , qui se lit «infini»a été inventé par le mathématicien John Wallis (1616-1703). Ce n’est pas
unnombreréel.
Définition
SoientIetJ deuxintervalles.
1. L’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J est appelé l’intersection de I et J. Cet
ensembleestnotéI\J.
2. L’ensembledesréelsquiappartiennentàI ouà J estappelélaréuniondeI etJ.Cetensembleest
notéI[J.
Exemples:
[4; 5]\[2; 3]?;
[2; 5]\[2; 3]?[2; 3]
[4; 7]\ [6; 8]?[6; 7]
[4; 7][ [6; 8]?[4; 8]
DesexercicessontdisponiblessurlesiteEulerdel’académiedeVersailles:voirci-dessous:
1. Indiquersilaréuniondedeuxintervallesestunintervalleounonetle préciserlecas échéant:cliquer
ici
2. Caractériserunintervallepardesinégalités:cliquerici
3. Écrire l’intervalleensembledes solutionsd’uneinéquationoud’un systèmed’inéquationsdu premier
degréàuneinconnue:cliquerici
4. Déterminationdelaréunionetdel’intersectiondedeuxintervalles:cliquerici
5. Caractérisationd’unintervallepardesinégalités:cliquerici6. Écrituredel’intervalleensembledessolutionsd’uneinéquationoud’unsystèmed’inéquationsdupre-
mierdegréàuneinconnue:cliquerici
7. Représentationgraphiquedelaréunionetdel’intersectiondedeuxintervalles:cliquerici
8. Caractériserdesinégalitésparunintervalleouuneréuniond’intervalles:cliquerici
9. Rechercherlesintervallesdontl’intersectionestunintervallenonvide:cliquerici
10. Rechercherlesintervallesdontlaréunionestunintervalle:cliquerici
11. Indiquersiunintervalleestinclusounondansunautre:cliquerici