Systèmes intégrables semi classiques: du local au global

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• mémoire

Systèmes intégrables semi-classiques: du local au global Vu˜ Ngo. c San 20 novembre 2003 Résumé Ce mémoire a pour but de présenter un panorama des recherches que j'ai effec- tuées depuis la soutenance de ma thèse en 1998. J'en ai également profité pour réordonner mes résultats et émailler le texte de réflexions parfois nouvelles afin de tenter de combiner l'introduction au sujet avec la synthèse de mes recherches. Il sera question de systèmes hamiltoniens complètement intégrables, de leur étude locale, de leurs singularités, de leurs aspects globaux et de certains liens qu'il en- tretiennent avec les variétés toriques, tout ceci du point de vue de la mécanique classique ainsi que de celui de leur quantification semi-classique. Introduction Le pendule de Huygens — Les origines de la géométrie et donc de la mécanique (en particulier céleste) se confondent avec celles des mathéma- tiques elles-mêmes. Néanmoins on attribue généralement l'étude du pre- mier système dynamique au mathématicien hollandais Christiaan Huy- gens. Sous le règne de Louis XIV, Huygens obtient la charge importante de diriger l'Académie Royale des Sciences. C'est ainsi qu'il propose au roi son célèbre traité sur le mouvement du pendule pesant et son application à la construction d'horloges à balancier [38]. Huygens est fier que ses pendules, les plus exactes jamais construites alors, équipent les appartements du roi, servent les bateaux pour leurs mesures de longitudes (1), et procèdent d'une analyse mathématique subtile.

• précurseur de l'analyse locale des systèmes dynamiques


• invariants sym- plectiques semi-globaux


• locales c1 des singularités des systèmes intégrables


• tore


• théorème des variables action-angle


• foyer-foyer

Sujets

• Mémoire
• Académie des sciences (France)

Informations

• Publié par: sucun
• Publié le: 01 novembre 2003
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

Systèmesintégrablessemi-classiques:
dulocalauglobal
Vu˜ NgocSan.
20novembre2003
Résumé
Ce mémoire a pour but de présenter un panorama des recherches que j’ai effec-
tuées depuis la soutenance de ma thèse en 1998. J’en ai également profité pour
réordonner mes résultats et émailler le texte de réflexions parfois nouvelles afin
de tenter de combiner l’introduction au sujet avecla synthèse de mes recherches.
Ilseraquestiondesystèmeshamiltonienscomplètementintégrables,deleurétude
locale, deleurs singularités, de leurs aspects globaux et de certains liens qu’il en-
tretiennent avec les variétés toriques, tout ceci du point de vue de la mécanique
classiqueainsiquedeceluideleurquantificationsemi-classique.
Introduction
Le pendule de Huygens — Les origines de la géométrie et donc de la
mécanique (en particulier céleste)se confondentavec celles des mathéma-
tiques elles-mêmes. Néanmoins on attribue généralement l’étude du pre-
mier système dynamique au mathématicien hollandais Christiaan Huy-
gens.SouslerègnedeLouisXIV,Huygensobtientlachargeimportantede
dirigerl’AcadémieRoyaledesSciences.C’estainsiqu’ilproposeauroison
célèbre traité sur le mouvement du pendule pesant et son application à la
constructiond’horlogesàbalancier[38].Huygensestfierquesespendules,
lesplus exactesjamais construitesalors,équipentlesappartementsduroi,
(1)serventlesbateauxpourleursmesuresdelongitudes ,etprocèdentd’une
analysemathématiquesubtile.C’estunexempleàméditerd’unesymbiose
(1).avec un succès limité, il est vrai. En contrepartie, la précision des pendules a permis
dedécouvrirquelechampgravitationnelterrestren’estpasconstantàlasurfaceduglobe!
1entre ce qu’on appellerait aujourd’hui les mathématiques pures et appli-
quées:
Dans cette science [la géométrie] que j’ai toujours beaucoup admirée
etaimée,jemesuisproposé surtout,touteslesfoisquejem’yadonnai,
la considération de problèmes dont la solution serait utile soit pour la
commodité de la vie soit pour la connaissance de la nature. Mais c’est
lorsque je tombais sur des sujets où l’utilité était unie à une difficulté
de les tirer au clair qui exigeait des raisonnements subtils que j’avais
l’impression dem’y appliquer leplusavantageusement. [op.cit.]
FIG. 1–Christiaan Huygenset son livre surles horloges àbalancier
Le pendule de Huygens le plus simple, appelé aussi “pendule sphéri-
que”, pourra servir d’exemple pour la majorité des mathématiques que je
présenterai ici. C’est le premier exemple de ce qu’on appelle aujourd’hui
unsystèmecomplètement intégrable,etc’estunexemplenontrivial.Huygens
savait que pour un pendule simple seules les petites oscillations possèdent
une fréquence constante, ce qui en fait en quelque sorte le précurseur de
l’analyse locale des systèmes dynamiques. L’analyse globale de ce système
est bien plus tardive, puisque c’est en 1980 que Cushman et Duistermaat
exhibent le pendule sphérique comme premier exemple dont la monodro-
mieestnontriviale[25].Unedizained’annéesplustard,cettemonodromie
est comprise en terme de la singularité dite foyer-foyer que possède ce sys-
tème lorsque le pendule esten positiond’équilibre instable, à son altitude
maximale [49, 94, 96]. La géométrie de cette singularité est exploitée dans
ma thèse [78] pour décrire son influence sur les systèmes semi-classiques:
2lessystèmesdécritsparla mécanique quantiqueetdontla limite classique
possède de telles singularités. Cette description met en œuvre des inva-
riantsspectrauxquiserévèlentaprèscoupgénéraliserdesinvariants sym-
plectiquessemi-globauxdecesfibrationslagrangiennessingulières[86].À
leurtour,cesinvariantsserévèlentutilespourdéterminerlapersistancede
toresinvariants(KAM)encasdeperturbationdusystème...[27]Enfindans
l’étude du pendule sphérique se pose également la question globale du
recollement des informations (géométrique, spectrales) recueillies en dif-
férents points singuliers. Il reste néanmoins que le pendule est bel et bien
un modèle de simplicité dans la mesure où il ne présente pas de singula-
ritédetypehyperbolique,quifontlarichessed’autresexemplesnonmoins
célèbrescommelestoupies(Lagrange,Kovalevskaya).
J.Lagrange S.Kovalevskaya
Avant d’entrer dans le vif du sujet, je me propose de situer dans leur
cadrehistoriquelesnotionsquivontnousintéresseretquiconcernentl’étude
des systèmes complètement intégrables en mécanique classique et quan-
tique.
Mécaniqueclassique
En mécanique classique, un système hamiltonien complètement inté-
grable est un système possédant un ensemble complet d’intégrales pre-
mièreseninvolution.Autrementdit,onsedonneunevariétésymplectique
M de dimension 2n et n fonctions lisses f ,...,f dont les différentielles1 n
sont presque partout indépendantes et vérifiant f ,f 0 pour tous i eti j
j. Le crochet utilisé est le crochet de Poisson induit par la structure sym-
plectique.Laplupartdutemps,onnes’intéresserapasparticulièrementau
3
=
f
gHamiltonien H quidéfinitlesystème.L’hypothèseminimale estqu’ilcom-
mute avec les f . Certains auteurs demandent parfois qu’il soit une fonc-i
tion des f – ce qui est toujours le cas près d’un point régulier. D’autresi
supposentmêmeque H estl’unedesfonctions f ,parexemple f .i 1
Denotrepointdevue,l’objetessentielestdoncl’applicationmomentF :
nf ,...,f : M R .1 n
ToresdeLiouville?— Lepremierrésultatfondamentaldans l’étudedes
systèmescomplètementintégrablesestqu’auvoisinage d’unecomposante
connexe régulière d’une fibre de F, F est une fibration symplectiquement
linéarisable. Si la fibre est compacte, le modèle linéaire est le voisinage de
nlesectionnullede T T munidelafibrationentoreshorizontaux.
Cela implique en particulier que les trajectoires de n’importe quel Ha-
miltoniendusystèmesontdesdroitess’enroulantsuruntorehorizontalet
parcouruesàvitesseconstante(mais dépendantdutoreconsidéré).
Ces tores lagrangiens sur lesquels s’effectue la dynamique sont nom-
més tores de Liouville, alors que le théorème en question ou théorème des
variablesaction-angleestattribuéàLiouvilleetArnold.Commenousallons
levoir,cettenomenclaturenereflètepasexactementl’historiquedusujet.
Liouville a certainement œuvré pour le développe-
ment des systèmes complètement intégrables. Par l’in-
troduction dans les années 1850 de la 1-forme différen-
tielleα p dq dite avec justesse “1-forme de Liou-? i ii
ville”ilestleprécurseurdelavisionmodernedelamé-
canique enterme de géométriesymplectique.Sa contri-
bution principale dans ce domaine est d’avoir montré
comment intégrer localement un “système complète-
J.Liouville ment intégrable” au moyen d’une primitive locale deα
restreinteauxsous-variétésinvariantes[45].
Pourautant,l’appellation“toredeLiouville”meparaîtdouteuse.Àma
connaissance, rien dans les publications de Liouville ne permet d’affirmer
qu’il savait qu’en général le mouvement avait lieu sur un tore (même s’il
estprobablequ’ils’ensoitrenducomptesuruncertainnombred’exemples
où les tores lagrangiens sont donnés par des équations polynomiales ex-
plicites). Au contraire, les articles [45, 46, 44] ne font état que d’études à
caractèrepurementlocal.
La première étude sérieuse de la dynamique des systèmes intégrables
1surtoutelafibrelagrangienneF c estdueilmesembleàMineur[53,54],
qui dans des articles des années 1935–1937 récemment redécouverts (voir
[78, 98]) énonce et prouve pour la première fois le théorème des variables
action-angle. Davantage de détails sur la preuve de Mineur se trouvent
dansl’article [84].
Ce théorème a ensuite été redécouvert par Arnold en plusieurs étapes
4

=
)
=
!
)
(
((en 1963 [2] il montre que les fibres sont des tores sur lesquelles la dyna-
mique est quasi-périodique; dans [1] il complète l’énoncé en incluant la
descriptionduvoisinagedutore,maisrajoutepourcelaunehypothèsesu-
perflue).
Plusrécemment,denombreusespersonnesontfournidiversespreuves
complètes,dontcelle ducélèbrearticle deDuistermaat[25].
Duistermaatconstruitdanscetarticlelesobstructionsàglobaliserlethéo-
rème de Liouville-Arnold-Mineur, lorsque l’ouvert des valeurs régulières
de Fn’estpastopologiquementtrivial.Ilobtientdeuxinvariants:lamono-
dromieet laclasse deChern.Lapremière estl’obstructionàce quele fibré
entoredonn