Table desmatières I Les indicateurs statistiques

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale
Statistiques Table desmatières I Les indicateurs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.3 Étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.4 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  • ·· ·

  • séries statistiques

  • np xp

  • moyenne au contrôle d'histoire-géographie

  • médiane

  • fk xk


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Statistiques
Tabledesmatières
I Lesindicateursstatistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.1 Effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.3 Étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.4 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.5 Moyenne(pondérée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.6 Médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.7 Quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Diagrammeenboîte(oudiagrammedeTukeyouboîteàmoustaches) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III Variance;Écarttype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.1 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III.2 Écarttype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Nuagedepoints,pointmoyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.1 Nuagedepoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.2 Ajustementaffinegraphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
IV.3 Ajustementaffineparlaméthodedesmoindrescarrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I Lesindicateursstatistiques
I.1 Effectif
Définition
L’effectifdelavaleurd’uncaractèreestlenombred’individusayantcettevaleurdecaractère.
I.2 Fréquence
Définition
Lafréquence f d’unevaleurd’uncaractèreestlaproportiond’individusayantcettevaleurdecaractère:
n
f ? ,oùnestl’effectifdelavaleurducaractèreetN l’effectiftotal.
N
I.3 Étendue
Définition
L’étendued’unesériestatistiqueestladifférenceentrelesvaleursextrêmesducaractère.
1I.4 Mode
Définition
Lemoded’unesériestatistiqueestlavaleurducaractèreayantl’effectifleplusgrand.
I.5 Moyenne(pondérée)
Définition
Soitunesériestatistiquedontlesvaleursducaractèresontx ,x ,???,x etn ,n ,???,c effectifsassociés.1 2 k 1 2 k
Lamoyennedelasériestatistique,notéex¯,apourvaleur:
n x ?n x ?????n x1 1 2 2 k k
x¯?
n ?n ?????n1 2 k
Conséquence:Lorsqu’onprésentelasériestatistiqueennedonnantquelalistedesvaleurs,alorslamoyenneest
x ?x ?????x1 2 k
k
Propriété
Sionappelle f lafréquencedelavaleurx ,alors:i i
x¯?f x ?f x ?...?f x .1 1 2 2 k k
Lalinéaritédelamoyenne:
Propriété
Soitk unnombreréel.Soitx ,x ,???,x lesvaleursducaractèred’unesériestatistiqueetx¯ leurmoyenne.Alors:1 2 n
?lamoyennedelasériekx ,kx ,???,kx estkx¯;1 2 n
¯?lamoyennedelasériex ?k,x ?k,???,x ?k,???,x ?k estx?k.1 2 i n
Exemples:
? Si la moyenne au contrôledebiologie dansuneclasse est de8 sur20 et que leprofesseur décide d’augmenter toutes
lesnotesde10%,alorslanouvellemoyenneestde8,8.
?Silamoyenneaucontrôled’histoire-géographieestde8,7sur20etqueleprofesseurdécided’ajouter1pointàtousles
élèves,alorslanouvellemoyenneestde9,7.
I.6 Médiane
Définition
Lamédianed’unesériestatistiqueestlenombretelque:
50 % au moins des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale à ce nombre et 50 % au moins des
individusontunevaleursupérieureouégaleàcenombre.
Médianed’uncaractèrequantitatifdiscret
Onconsidèreunesériestatistiquedontlesvaleursducaractèresontrangéesparordrecroissant,chacunedecesvaleurs
figurantunnombredefoiségalàsoneffectif.
?Silenombrededonnéesestimpair,doncdelaforme2n?1,lamédianeestletermedumilieu,c’est-à-direlerangde
termen?1.
?Silenombrededonnéesestpair,doncdelaforme2n,lamédianeestlademi-sommedestermesderangsn etn?1.
Page2/7I.7 Quartiles
Définition
Lepremierquartiled’unesériestatistique,notéQ estlapremièrevaleurdelasérie,rangéeparordrecroissant,tel1
que25%desvaleursdelasériesoientinférieuresouégalesàQ .1
Letroisièmequartiled’unesériestatistique,notéQ estlapremièrevaleurdelasérie,rangéeparordrecroissant,3
telque75%desvaleursdelasériesoientinférieuresouégalesàQ .3
n
Remarque:Q estlavaleurx delasériedontl’indicei estlepremierentiersupérieurouégalà (sinestl’effectif1 i
4
delasérie).
3n
Q est la valeur x de la série dont l’indice i est le premier entier supérieur ou égal à (si n est l’effectif de la3 i
4
série).
II Diagrammeenboîte(oudiagrammedeTukeyouboîteàmoustaches)
Les deux quartilesQ ,Q , la médiane M d’une série statistique, associés aux valeurs extrêmes (minimum et maxi-1 3
mum)permettentd’appréhendercertainescaractéristiquesdelarépartitiondesvaleurs.
Exemple:
Voicilasériedestempératures(endegréCelcius)relevéessousabriàdifférentsmomentsdelajournée.Ellessontclas-
séesparordrecroissant.
3;3,8;4,5;4,8;5;5,5;5,7;5,8;6,2;7;7,3;8,2;9;9,2;9,5;9,7
Lesvaleursextrêmessont3et9,7.
Lamédianevaut6(moyenneentre5,8et6,2).
LepremierquartileestQ ?4,8;letroisièmequartileestQ ?8,2.Lediagrammeenboîteestalors:1 3
Q Q1 3MMin Max
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lesdiagrammesenboîteserventàfairedescomparaisonsdedeuxsériesstatistiques.
Exemple:
LessériessuivantesdonnentlesprécipitationsmoyennesmensuellesenmillimètresàNiceetàParis:
J F M A M J J A S O N D
Nice 67 83 71 70 39 37 21 38 83 109 158 92
Paris 53 48 40 45 53 57 54 61 54 50 58 51
Poureffectuerlacomparaison,onvarangerchaquesérieparordrecroissant:
Nice:21;37;38;39;67;70;71;83;83;92;109;158
Paris40;45;48;50;51;53;53;54;54;57;58;61
PourNice,ona:Min=21;Max=158;Q ?38;M ?70,5etQ ?831 1 3
PourParis,ona:Min=40;Max=61;Q ?48;M ?53etQ ?541 1 3
Diagrammesenboîtes:
Page3/7Paris
Nice
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Lesprécipitationssontplusrégulièrestoutaulongdel’annéeàParis(sériemoinsdispersée).LAtotalitédesvaleursdela
sériedesprécipitationsàParisestcompriseentrelepremierquartileetlamédianedelasériedesprécipitationsàNice.
PourlavilledeNice,plusdelamoitiédesmoisontdesprécipitationssupérieuresaumaximumdeParis.
III Variance;Écarttype
III.1 Variance
Considérons deux groupes d’élèves, l’un dedix élèves et l’autre de huit élèves; leurs notes de mathématiquesà un
contrôlesont:
Premièresérie:
notex 1 2 3 17 20i
effectifn 3 1 1 1 4i
Deuxièmesérie:
notex 8 10 11 12i
effectifn 1 2 4 1i
n x ?????n x 1051 1 5 5
Lamoyennedelapremièresérieest: ? ?10,5.
n ?????n 101 5
84
Lamoyennedeladeuxièmesérieest: ?10,5.
8
Lesdeuxmoyennessontégales;pourtant,larépartitiondesnotesn’estpasdutoutlamême.
Ilfautdonctrouverunmoyendemesurerladispersiondesnombresautourdelamoyenne.
Unpremiermoyenestl’étendue,maiscen’estpastrèsfiable.
Nousallonsvoirundeuxièmemoyen,quiestl’écarttype.
Définition
Soitunesériestatistiquedonnéeparletableau:
Valeurducaractère x x ??? x Total1 2 p
Effectif n n ??? n N1 2 p
n x ?n x ?????n x1 1 2 2 P p
Lamoyennedecettesérieest:x? .
N
LavarianceestlenombreVdéfinipar:
2 2 2n (x ?x) ?n (x ?x) ?????n (x ?x)1 1 2 2 p p
V?
N
Vestdonclamoyennedescarrésdesécartsentrechaquevaleurx etlamoyenne.i
Autreformulationdelavariance:
2 2 2Pourchaqueindicei,ona:(x ?x) ?x ?2x x?x .i ii
Page4/72Enremplaçantdanslecalculdelavariancechaque(x ?x) parcequel’onvientdetrouver,onobtient:ih ³ ´i¡ ¢ ¡ ¢1 2 2 2 2 2 2V ? n x ?2x x?x ?n x ?2x x?x ?????n x ?2x x?x1 1 2 2 p pp1 2Nh i1 2 2 2 2 2 2? n x ?n x ?????n x ?2n x x?2n x x?????n x x?n x ?n x ?????n x1 2 p 1 1 2 2 p p 1 2 p1 2 pN h i¡ ¢1 2 2 2 2? n x ?n x ?????n x ?2x(n x ?n x ?????n x )?x n ?n ?????n1 2 p 1 1 2 2 p p 1 2 p1 2 pN h i1 2 2 2 2? n x ?n x ?????n x ?2x?Nx?x N1 2 p1 2 pN h i1 22 2 2? n x ?n x ?????n x ?Nx1 2 p1 2 pN
2 2 2n x ?n x ?????n x1 2 p p1 2 2? ?x .
N
donc:
2 2 2n x ?n x ?????n x1 2 p p1 2 2V? ?x
N
Exemple:pourladeuxièmesériedenotes:
notex 8 10 11 12i
2x 64 100 121 144i
effectifn 1 2 4 1i
(1?64)?(2?100)?(4?121)?(1?144) 8922 2V ? ?10,5 ? ?10,5 ?111,5?110,25?1,25.
8 8
III.2 Écarttype
Définition
Lavarianceesthomogèneauxcarrésdesvaleursdelasérie.Pouravoirunegrandeurhomogèneauxvaleursdelap
série,ondéfinitl’écarttypedelasériepar:σ? V.
L’écarttypeestlaracinecarréedelavariance.
Remarque:l’écart-typeetlavariancesecalculentàlacalculatrice
1905 2Exemple:pourlapremièresériedenotes,ona:V ? ?10,5 ?80,25.
10p p
L’écarttypedelapremièresérieestσ? V ? 80,25?8,96.p
Celuideladeuxièmesérieestσ? 1,25?1,118.
L’écart type de la première série est plus grand que celui de la deuxième série : les notes sont plus dispersées dans le
premiercasquedanslesecond.
IV Nuagedepoints,pointmoyen
Onconsidèreunesériestatistiqueàdeuxvariables(x ; y )tellequeσ 6?0etσ 6?0.(σ ?0correspondaucasoùi i x y x
touteslesvaleursx seraientégales).i
IV.1 Nuagedepoints
Définition
Dansunrepèreorthogonal,l’ensembledespointsA decoordonnées(x ; y ),1?i?nestappelénuagedepointsi I i
associéàcettesériestatistique.
Laformedunuagedepointspeutsemblerindiqueruneliaisonoucorrélationentrelesdeuxvariablesx ety.
Onpeutchercherunecorrélationlinéaire(lespointssontàpeuprèsalignés)ouunecorrélationavecunecourbeliéeà
Page5/7unefonctionconnue(fonctioninverse,logarithme,puissance...)
Exemplesdenuages:
Pasdetendancevisible Liaisonlinéaireenvisageable
Liaison,maispaslinéaire
Danslecasoùlespointssontsensiblementalignés,onchercheunedroited’équationy ?ax?b,quipasse«proche»des
pointsdunuage.
Onditqu’onaréaliséunajustementlinéaire.
IV.2 Ajustementaffinegraphique
1. Ajustementàvue:
Ontraceunedroitepassantapproximativementleplusprèspossibledetouslespoints.
C’estuneméthoderapide,maispeuprécise.
2. Ajustementàl’aidedupointmoyen.
On appelle point moyen du nuage le point G dont les coordonnées sont (x ; y), c’est-à-dire les moyennes des
abscissesetdesordonnées.
Onfaitalorspasserladroited’ajustementparlepointG etproche(lepluspossible)detouslespoints.
IV.3 Ajustementaffineparlaméthodedesmoindrescarrés
? ils’agitdetrouverladroited’ajustementD ,d’équation y?ax?b,tellequelasomme descarrésdesécartsentreles
0pointsdemêmeabscissesM (x ; y )dunuageetP (x ; y )deD soitminimale.i i i i i i
? CettedroitepasseparlepointmoyenG
? Lescoefficientsa etb sontobtenusàlacalculatrice.
Exemple:
LasociétéMERCUREvenddesmachinesagricoles.Suiteàunerestructurationen1998elleapurelancersaproduction
etsesbénéficesannuelsontévoluécommeindiquédansletableausuivant:
Page6/7
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbAnnée 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Rangdel’année:x 0 1 2 3 4 5i
Bénéficeenke:y 64 75 100 113 125 127i
¡ ¢
1. Construirelenuagedepointsassociéàlasériestatistique x ; y dansunrepèreorthogonal.i i
Les unités graphiques seront : 2 cm pour une unité sur l’axe des abscisses; 1 cm pour 10 unités sur l’axe des
ordonnées.
2. DonnerlescoordonnéesdupointmoyenGdunuage(arrondiraudixième).PlacerlepointGdanslerepère.
3. Onenvisagedereprésenterlebénéficey commeunefonctionaffinedurangx del’année.
4. Donner une équation de la droite d’ajustement (D) obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les
coefficientsaucentième).
5. Tracercettedroite(D)danslerepère.
6. Quelleprévisionferait-onpourlebénéficeen2005aveccetteapproximation?
Graphiquecomplet: LescoordonnéesdeG sont(2,5; 100,667).
La droite d’ajustement a pour équation y ? ax?b avec
a?13,657etb?66,523140
Pour2005,onpeutenvisagerunbénéficede147ke.
130
120
110
G100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
O0 1 2 3 4 5
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