Topologie et Calcul Di érentiel

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• mémoire

Topologie et Calcul Di?érentiel CORRIGÉ DE L?EXAMEN DU 24 JANVIER 2005 1. Courbe dé?nie implicitement. a. Les fonctions f(x; y; z) = x2 y2 + z2 1 et g(x; y; z) = xy + yz + zx 3 sont de classe C1 sur R3. La di?érentielle Df(x; y; z) = 2(x;y; z) ne s?annule qu?à l?origine, qui n?appartient pas à S1. De même la di?érentielle Dg(x; y; z) = (y + z; z + x; x+ y) ne s?annule qu?à l?origine, qui n?appartient pas à S2. Par suite S1 et S2 admettent un plan tangent en chacun de leurs points. Le point A = (1; 1; 1) appartient bien à S1 et à S2, puisque f(A) = g(A) = 0 . Le plan tangent à S1 en ce point a pour équation f 0x(A)(x 1) + f 0y(A)(y 1) + f 0z(A)(z 1) = 0 , et de même pour S2, ce qui donne (x1)(y1)+(z1) = 0 et (x1)+(y1)+(y1) = 0 respectivement, c?est-à-dire x y + z = 1 pour S1 x+ y + z = 3 pour S2: b.

• voisinage ouvert


• solution constante de l?équation x0


• point x0 quelconque de rn


• classe c1


• di?érentielle df


• solution maximale


• solution constante


• théorème d?inversion globale

Sujets

• Mémoire

Informations

• Publié par: sucun
• Publié le: 01 janvier 2005
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

Topologie et Calcul Di¤érentiel

CORRIGÉ DE LEXAMEN DU 24 JANVIER 2005

1. Courbe dénie implicitement. 2 2 2 a.Les fonctionsf(x; y; z) =xy+z1etg(x; y; z) =xy+yz+zx3sont de 13 classeCsurR. La di¤érentielleDf(x; y; z) = 2(x;y; z)ne sannule quà lorigine, qui nappartient pas àS 1 . De même la di¤érentielleDg(x; y; z) = (y+z; z+x; x+y)ne sannule quà lorigine, qui nappartient pas àS 2 . Par suiteS 1 etS 2 admettent un plan tangent en chacun de leurs points. Le pointA= (1;1;1)appartient bien àS 1 et àS 2 , puisquef(A) =g(A) = 0. Le plan tangent àS 1 en ce point a pour équation

0 0 0 f(A)(x1) +f(A)(y1) +f(A)(z1) = 0, x y z

et de même pourS 2 , ce qui donne(x1)(y1)+(z1) = 0et(x1)+(y1)+(y1) = 0 respectivement, cest-à-dire

xy+z= 1pourS 1 x+y+z= 3pourS 2 :

b.La matrice jacobienne de(f; g)par rapport aux variables(x; y; z)est, au pointA,    2x2y2z11 1 = 2: y+z z+x x+y1 1 1   1 1 Le déterminant extrait des deux dernières colonnes estdet =2, non nul, 1 1 ce qui permet dappliquer le théorème des fonctions implicites au voisinage du point de départApour extraire les deux dernières variablesyetzcomme fonctions de la première x. Par suite il existeV, voisinage ouvert de1dansR,W, voisinage ouvert de(1;1)dans 21 R, et un couple de fonctions('; ), de classeCsurV, uniques, telles que     f(x; y; z) = 0y='(x) x2V;(y; z)2Wet()x2Vet: g(x; y; z) = 0z=(x)

Au voisinage deAla courbe dintersection deS 1 etS 2 peut donc être paramétrée parx. c.Daprès la formule de Taylor-Young à lordre deux les développements demandés seront

1 0 002 2 y='(x) = 1 +'(1)h+'(1)h+o(h) 2

avech=x1, et de même pourz=(x). Il su¢ t donc de calculer les dérivées premières 0 0 00 00 et secondes des fonctions implicites'et. Notons simplementzy ;y ;z ;ces dérivées. En dérivant par rapport àxles équationsf(x; y; z) = 0,g(x; y; z) = 0, vériées identiquement pourx2V, il vient  0 0 xyy+zz= 0 (*) 0 00 0 y+z+x(y+z) +zy+yz= 0

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