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EX E R C I C E1 u x 1.f=, avecu(x)=eetv(x)=1+x. v uest dérivable surI=[0 ; 1] ;vl’est également, et elle ne s’annule pas surI. Pour tout réelxde [0 ; 1] : x x e [(1+x)−1]xe ′✁ ✁ f(x)= =. 2 2 (1+x) (1+x) x′ CommexÊ0 et que pour tout réelxest, e>a0, onf(x)Ê0. Doncfest croissante sur [0 ; 1]. 1 2. (a)On partage l’intervalle [0 ; 1] en cinq intervalles de même longueur. 5 Si bien que : · ¸ [ k k+1 [0 ; 1]=; . 5 5 0ÉkÉ4 Soitkun entier compris entre 0 et 4. La fonctionf; 1], elle l’est enétant croissante sur l’intervalle [0 · ¸ k k+1 particulier sur l’intervalleIk=; . 5 5 Donc pour toutxdeIk: µ ¶µ ¶ k k+1 fÉf(x)Éf. 5 5 Il découle alors de l’inégalité de la moyenne que : µ ¶Z µ¶ k+1 1k1k+1 5 fÉf(x) dxÉf k 5 55 5 5 i.e. : µ ¶Z µ¶ k+1 x 1ke 1k+1 5 fÉdxÉf k 5 51+x5 5 5 et ceci, quel que soit l’entierkcompris entre 0 et 4. Interprétation graphique : la fonctionfétant continue et positive sur l’intervalleIk, l’intégralecidessus représente l’aire sous la courbe de la fonctionf, expriméeen unité d’aire. On en déduit que cette aire est comprise entre l’aire du rectanglerK, situéaudessous de la courbe, et 1 celle du rectangleRK, situéaudessus de la courbe, ces rectangles ayant pour baseet pour hauteurs 5 µ ¶µ ¶ k k+1 respectivesfetf. 5 5 (b) Ensommant les inégalités précédentes pourkcompris entre 0 et 4, on obtient : µ ¶Zk+1µ ¶ 4 4x4 X X5X 1ke 1k+1 fÉdxÉf. 5 51+x5 5 k k=0k=05k=0 Or : µ ¶µ ¶ 4 4 X X 1k1k1 •f=f=S4. 5 55 55 k=0k=0 Z Z k+1 4x1x X5 e e •dx=dx(Relation de Chasles). k 1+x01+x k=05 µ ¶µ ¶µ ¶ 4 45 X XX 1k+1 1k+1 1k1 •f=f=f=(S5−1). 5 55 55 55 k=0k=0k=1 Il en résulte : Z 1x 1 e1 S4ÉdxÉ(S5−1) . 501+x5
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−4 (c) Ontrouve, à 10près :S≈5,458 7etS≈6,817 8. 4 5 1 D’où :(S4)≈qu’on1,091 7minorepar 1,091 5 1 et (S5−1)≈qu’on1,163 6majorepar 1,164. 5 Z 1x e Ce qui nous donne l’encadrement : 1,091ÉdxÉ1, 164. 01+x 3. (a)Pour tout réelxde [0 ; 1], on a : 2 22 2 x(1−x)(1+x)+x(1−x)+x1 1−x+ == =. 1+x1+x1+x1+x 2 1x Donc, pour tout réelxde [0 ; 1], on a :=1−x+. 1+x1+x x (b) Enmultipliant par edans l’égalité précédente, on obtient, pour tout réelxde [0 ; 1] : x2x exe x =(1−x)e+. 1+x1+x D’où, en intégrant de 0 à 1 : Z Z 1x1 e x dx=(1−x)e dx+I. 01+x0 Z 1 x (c) Pourcalculer l’intégrale(1−x)e dxfonctions sous le signe somme étant continues, ainsi que leurs, les 0 dérivées, on peut effectuer une intégration par parties. ½ ½ ′x x u(x)=eu(x)=e Posons⇒ ′ v(x)=1−x v(x)= −1 Toutes les fonctions cidessus étant continues sur [0 ; 1], on obtient : Z Z 1 1 £ ¤£ ¤£ ¤£ ¤£ ¤ 1 11 11 x xx xx xx x (1−x)e dx=(1−x)e+e dx=(1−x)e+e=(1−x)e+e=(2−x)e=e−2. 0 00 00 0 0 Ainsi : Z 1 x (1−x)e dx=e−2. 0 Z ZZ 1x1 1x e e x (d) PuisqueI=dx−(1−x)e dx=dx−(e−2), 01+x0 01+x On déduit de l’encadrement obtenu au2.cque :
1, 091−(e−2)ÉIÉ1, 164−(e−2). −1 D’où l’encadrement d’amplitude strictement inférieure à 10suivant :
0, 37ÉIÉ0, 45.
EX E R C I C E2 1. a.Sur l’intervalle [0 ; 1], 2−x6=0, doncf, quotient de fonctions dérivables, est dérivable et : −x−x−x−x −e (2−x)+(1e e−2+x() ex−1) ′ f(x)= ==. 2 22 (2−x) (2−x) (2−x) ′ Tous les termes sont positifs sur [0 ; 1] saufx−1, doncf(x)É0 : 1 −1 la fonctionfest décroissante sur [0 ; 1] def(0)=àf(1)=e≈0, 368. 2 1 1 b.On a vu que sur [0 ; 1],Éf(x)É. e 2 ½ ½ ′ u(x)=2+x u(x)=1 2. a.Posons′ −x⇒−x v(x)=ev(x)= −e Toutes les fonctions étant continues, on peut intégrer par parties : Z 1 £ ¤£ ¤£ ¤4 1 11 −x−x−x−x−x−1 J= −(x+2)e+e dx= −(x+2)e−e= −(x+3)e= −4e+3=3−. 0 00 0e
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b.En partant de l’encadrement trouvé au 1. b. : 2 1 1x1 2 2 Éf(x)ÉÉ ⇐⇒x f(x)Éxd’où en intégrant sur [0 ; 1], e 2e 2 Z Z· ¸1· ¸1 1 21 33 x1x x1 1 2 dxÉKÉxdx⇐⇒ ÉKÉ ⇐⇒ÉKÉ. 0e02 3e6 3e6 0 0 Z ZZ µ¶ ZZ 1 12−x1 2−x1−x2−x1−x xexe (2−x)(2+x)e+xe e −x−x c.J+K=(2+x)e dx+dx=(2+x)e+dx=dx=4 dx 0 02−x02−x02−x02−x J+K=4I. µ ¶µ ¶ 4 14 14 11 41 14 311 191 d.J=3+− ⇒3− ÉJ+KÉ +3− ⇒+3− ÉIÉ +3− É− ⇐⇒IÉ −. e 3ee 6e 43e e4 6e 412e 24e 3 1119 1 Comme− >0, 412et− <0, 424,on en déduit que 4 12e24 e −2 0, 412<I<0, 424,il en résulte queI≈à 10près.0, 42
EX E R C I C E3 Partie A : Restitution organisée de connaissances fetgsont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] doncg−fest continue sur [a;b]. Z b Pour toutxde [a;b],f(x)Ég(x) doncg(x)−f(x)Ê[0 doncg(x)−f(x)] dxÊ0 a Z ZZ ZZ Z b bb bb b [g(x)−f(x)] dx=g(x) dx−f(x) dxet [g(x)−f(x)] dxÊ0 doncg(x) dx−f(x) dxÊ0, a aa aa a Z Z b b soitg(x) dxÊf(x) dx. a a Partie B
1. (a)Pour toutxde [0 ;+∞[,f1(x)=ln(1+x). SoitX=1+x, limX= +∞; x→+∞ f1(x)=lnXor lim lnX= +∞donc limf1(x)= +∞. X→+∞x→+∞ (b)f1est la composée de deux fonctions : x7−→1+xcontinue et dérivable sur [0 ;+∞[, à valeurs dans [1 ;+∞[ et x7−→lnx, continue et dérivable sur [1 ;+∞[, doncf1est continue et dérivable sur [0 ;+∞[. 1 ′ ′ f(x)=donc pour toutxde [0 ;+∞[,f(x)>0 doncf1est strictement croissante sur [0 ;+∞[. 1 1 x+1 ′ u(x)=1u(x)=x+1 (c) Soit: 1 ′ v(x)=ln(1+x)v(x)= x+1 ′ ′ uetvsont continues et dérivables sur [0 ;+∞[, de même queuetvdonc Z 1 1′ I1=[u(x)v(x)]−u(x)v(x) dx 0 0 Z Z 1 1 x+1 1 1 )] I1=[(x+1) ln(x+1)]−dx=[(x+1) ln(x+10−1 dx=2 ln 2−0−1 0 0x+10 I1=2 ln 2−1. f1(0)=0 etf1est strictement croissante sur [0 ;+∞[ doncf1est positive sur [0 ; 1]. f1est continue sur [0 ; 1] doncI1esest l’aire (en unité d’aires) du domaine limité par l’axe des abscisses, l droites d’équationx=0,x=1 et la courbe représentative def1. 2. (a)Pour tout entier naturel non nuln,fnest la composée de deux fonctions continues sur [0 ;+∞[ : n x7−→1+xetx→7−lnxdoncfnest continue sur [0 ;+∞[. n n Pour toutxde [0 ; 1], 0ÉxÉ1 donc 1É1+xÉ2. ¡ ¢ n La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ;+∞[ donc ln1Éln 1+xÉln 2. La fonctionfnest continue sur [0 ; 1] et pour toutxde [0 ; 1], 0Éfn(x)Éln 2. Z 1 Donc pour tout entier naturel non nuln, 0ÉInÉln 2 dx, soit 0ÉInÉln 2. 0
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n n+1n n+1n (b) Pourtoutxde [0 ; 1], 0ÉxÉ1 donc par produit parxÊ0, 0ÉxÉxpuis 1É1+xÉ1+x. ¡ ¢¡ ¢ n+1n La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ;+∞[ donc ln 1Éln 1+xÉln 1+x, soit 0Éfn+1Éfn. Les fonctionsfn+1etfnsont continues sur [0 ; 1] et pour toutxde [0 ; 1], 0Éfn+1Éfndonc 0ÉIn+1ÉIn. La suite (In) est décroissante et minorée par 0. (c) Lasuite (Inif ou nul.) décroissante et minorée par 0 est donc convergente vers un nombre posit 3. (a)gest la différence de deux fonctions continues dérivables sur [0 ;+∞[ :x−→7xetx7−→f1(x) doncgest 1−x ′ continue et dérivable sur [0 ;+∞[ etg(x)= −1=. x+1x+1 ′ ′ Pour toutx>0,g(x)<0 etg(0)=0 doncgest strictement décroissante sur [0 ;+∞[. (b)gest strictement décroissante sur [0 ;+∞[ etg(0)=0 doncgest strictement négative sur [0 ;+∞[. ¡ ¢ n n Sixest un réel positif alors pour tout entier naturelnnon nul,xest un réel positif doncg xÉ0 donc ¡ ¢¡ ¢ n nn n pour tout entier naturelnnon nul, et pour toutxréel positif, on a : ln1+x−xÉ0 soit ln1+xÉx. ¡ ¢ n nn (c) Lesfonctionsfnetx7→−xsont continues sur [0 ;+∞[ et pour toutxde [0 ;+∞[ on a : 0Éln 1+xÉx; Z ·¸ 1 1 1 1 n n+1 donc 0ÉIÉxdx, soit 0ÉIÉx, ou encore 0ÉIÉ. n nn 0n+10n+1 1 Comme lim=0 d’après le théorème des gendarmes appliqué aux suites,limIn=0. n→+∞n→+∞ n+1
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