TS3 Révisions du thème intégrales Année

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale

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TS3 Révisions du 20/05 (thème : intégrales) Année 2010/2011 EXERCICE 1 1. f = u v , avec u(x) = ex et v(x) = 1+x. u est dérivable sur I = [0 ; 1] ; v l'est également, et elle ne s'annule pas sur I . Pour tout réel x de [0 ; 1] : f ?(x) = e x [(?1+x)??1] (1+x)2 = xex (1+x)2 . Comme x Ê 0 et que pour tout réel x, ex est > 0, on a f ?(x) Ê 0. Donc f est croissante sur [0 ; 1]. 2. (a) On partage l'intervalle [0 ; 1] en cinq intervalles de même longueur 1 5 . Si bien que : [0 ; 1] = ? 0ÉkÉ4 [ k 5 ; k +1 5 ] . Soit k un entier compris entre 0 et 4. La fonction f étant croissante sur l'intervalle [0 ; 1], elle l'est en particulier sur l'intervalle Ik = [ k 5 ; k +1 5 ] . Donc pour tout x de Ik : f ( k 5 ) É f (x) É f ( k +1 5 ) .

  • ?? ln

  • e?1 ≈

  • encadrement

  • dx ê

  • restitution organisée de connaissances

  • ?xn é


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Révisions du 20/05 (thème : intégrales)
Année 2010/2011
EX E R C I C E1 u x 1.f=, avecu(x)=eetv(x)=1+x. v uest dérivable surI=[0 ; 1] ;vl’est également, et elle ne s’annule pas surI. Pour tout réelxde [0 ; 1] : x x e [(1+x)1]xe ✁ ✁ f(x)= =. 2 2 (1+x) (1+x) xCommexÊ0 et que pour tout réelxest, e>a0, onf(x)Ê0. Doncfest croissante sur [0 ; 1]. 1 2. (a)On partage l’intervalle [0 ; 1] en cinq intervalles de même longueur. 5 Si bien que : · ¸ [ k k+1 [0 ; 1]=; . 5 5 0ÉkÉ4 Soitkun entier compris entre 0 et 4. La fonctionf; 1], elle l’est enétant croissante sur l’intervalle [0 · ¸ k k+1 particulier sur l’intervalleIk=; . 5 5 Donc pour toutxdeIk: µ ¶µ ¶ k k+1 fÉf(x)Éf. 5 5 Il découle alors de l’inégalité de la moyenne que : µ ¶Z µk+1 1k1k+1 5 fÉf(x) dxÉf k 5 55 5 5 i.e. : µ ¶Z µk+1 x 1ke 1k+1 5 fÉdxÉf k 5 51+x5 5 5 et ceci, quel que soit l’entierkcompris entre 0 et 4. Interprétation graphique : la fonctionfétant continue et positive sur l’intervalleIk, l’intégralecidessus représente l’aire sous la courbe de la fonctionf, expriméeen unité d’aire. On en déduit que cette aire est comprise entre l’aire du rectanglerK, situéaudessous de la courbe, et 1 celle du rectangleRK, situéaudessus de la courbe, ces rectangles ayant pour baseet pour hauteurs 5 µ ¶µ ¶ k k+1 respectivesfetf. 5 5 (b) Ensommant les inégalités précédentes pourkcompris entre 0 et 4, on obtient : µ ¶Zk+1µ ¶ 4 4x4 X X5X 1ke 1k+1 fÉdxÉf. 5 51+x5 5 k k=0k=05k=0 Or : µ ¶µ ¶ 4 4 X X 1k1k1 f=f=S4. 5 55 55 k=0k=0 Z Z k+1 4x1x X5 e e dx=dx(Relation de Chasles). k 1+x01+x k=05 µ ¶µ ¶µ ¶ 4 45 X XX 1k+1 1k+1 1k1 f=f=f=(S51). 5 55 55 55 k=0k=0k=1 Il en résulte : Z 1x 1 e1 S4ÉdxÉ(S51) . 501+x5
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Année 2010/2011
4 (c) Ontrouve, à 10près :S5,458 7etS6,817 8. 4 5 1 D’où :(S4)qu’on1,091 7minorepar 1,091 5 1 et (S51)qu’on1,163 6majorepar 1,164. 5 Z 1x e Ce qui nous donne l’encadrement : 1,091ÉdxÉ1, 164. 01+x 3. (a)Pour tout réelxde [0 ; 1], on a : 2 22 2 x(1x)(1+x)+x(1x)+x1 1x+ == =. 1+x1+x1+x1+x 2 1x Donc, pour tout réelxde [0 ; 1], on a :=1x+. 1+x1+x x (b) Enmultipliant par edans l’égalité précédente, on obtient, pour tout réelxde [0 ; 1] : x2x exe x =(1x)e+. 1+x1+x D’où, en intégrant de 0 à 1 : Z Z 1x1 e x dx=(1x)e dx+I. 01+x0 Z 1 x (c) Pourcalculer l’intégrale(1x)e dxfonctions sous le signe somme étant continues, ainsi que leurs, les 0 dérivées, on peut effectuer une intégration par parties. ½ ½ x x u(x)=eu(x)=e Posonsv(x)=1x v(x)= −1 Toutes les fonctions cidessus étant continues sur [0 ; 1], on obtient : Z Z 1 1 £ ¤£ ¤£ ¤£ ¤£ ¤ 1 11 11 x xx xx xx x (1x)e dx=(1x)e+e dx=(1x)e+e=(1x)e+e=(2x)e=e2. 0 00 00 0 0 Ainsi : Z 1 x (1x)e dx=e2. 0 Z ZZ 1x1 1x e e x (d) PuisqueI=dx(1x)e dx=dx(e2), 01+x0 01+x On déduit de l’encadrement obtenu au2.cque :
1, 091(e2)ÉIÉ1, 164(e2). 1 D’où l’encadrement d’amplitude strictement inférieure à 10suivant :
0, 37ÉIÉ0, 45.
EX E R C I C E2 1. a.Sur l’intervalle [0 ; 1], 2x6=0, doncf, quotient de fonctions dérivables, est dérivable et : xxxx e (2x)+(1e e2+x() ex1) f(x)= ==. 2 22 (2x) (2x) (2x) Tous les termes sont positifs sur [0 ; 1] saufx1, doncf(x)É0 : 1 1 la fonctionfest décroissante sur [0 ; 1] def(0)=àf(1)=e0, 368. 2 1 1 b.On a vu que sur [0 ; 1],Éf(x)É. e 2 ½ ½ u(x)=2+x u(x)=1 2. a.Posons′ −xx v(x)=ev(x)= −e Toutes les fonctions étant continues, on peut intégrer par parties : Z 1 £ ¤£ ¤£ ¤4 1 11 xxxxx1 J= −(x+2)e+e dx= −(x+2)ee= −(x+3)e= −4e+3=3. 0 00 0e
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Année 2010/2011
b.En partant de l’encadrement trouvé au 1. b. : 2 1 1x1 2 2 Éf(x)ÉÉ ⇐⇒x f(x)Éxd’où en intégrant sur [0 ; 1], e 2e 2 Z Z· ¸1· ¸1 1 21 33 x1x x1 1 2 dxÉKÉxdx⇐⇒ ÉKÉ ⇐⇒ÉKÉ. 0e02 3e6 3e6 0 0 Z ZZ µ¶ ZZ 1 12x1 2x1x2x1x xexe (2x)(2+x)e+xe e xx c.J+K=(2+x)e dx+dx=(2+x)e+dx=dx=4 dx 0 02x02x02x02x J+K=4I. µ ¶µ ¶ 4 14 14 11 41 14 311 191 d.J=3+− ⇒3− ÉJ+KÉ +3− ⇒+3− ÉIÉ +3− É− ⇐⇒IÉ −. e 3ee 6e 43e e4 6e 412e 24e 3 1119 1 Comme− >0, 412et− <0, 424,on en déduit que 4 12e24 e 2 0, 412<I<0, 424,il en résulte queIà 10près.0, 42
EX E R C I C E3 Partie A : Restitution organisée de connaissances fetgsont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] doncgfest continue sur [a;b]. Z b Pour toutxde [a;b],f(x)Ég(x) doncg(x)f(x)Ê[0 doncg(x)f(x)] dxÊ0 a Z ZZ ZZ Z b bb bb b [g(x)f(x)] dx=g(x) dxf(x) dxet [g(x)f(x)] dxÊ0 doncg(x) dxf(x) dxÊ0, a aa aa a Z Z b b soitg(x) dxÊf(x) dx. a a Partie B
1. (a)Pour toutxde [0 ;+∞[,f1(x)=ln(1+x). SoitX=1+x, limX= +∞; x→+∞ f1(x)=lnXor lim lnX= +∞donc limf1(x)= +∞. X→+∞x→+∞ (b)f1est la composée de deux fonctions : x71+xcontinue et dérivable sur [0 ;+∞[, à valeurs dans [1 ;+∞[ et x7lnx, continue et dérivable sur [1 ;+∞[, doncf1est continue et dérivable sur [0 ;+∞[. 1 ′ ′ f(x)=donc pour toutxde [0 ;+∞[,f(x)>0 doncf1est strictement croissante sur [0 ;+∞[. 1 1 x+1 u(x)=1u(x)=x+1 (c) Soit: 1 v(x)=ln(1+x)v(x)= x+1 ′ ′ uetvsont continues et dérivables sur [0 ;+∞[, de même queuetvdonc Z 1 1I1=[u(x)v(x)]u(x)v(x) dx 0 0 Z Z 1 1 x+1 1 1 )] I1=[(x+1) ln(x+1)]dx=[(x+1) ln(x+101 dx=2 ln 201 0 0x+10 I1=2 ln 21. f1(0)=0 etf1est strictement croissante sur [0 ;+∞[ doncf1est positive sur [0 ; 1]. f1est continue sur [0 ; 1] doncI1esest l’aire (en unité d’aires) du domaine limité par l’axe des abscisses, l droites d’équationx=0,x=1 et la courbe représentative def1. 2. (a)Pour tout entier naturel non nuln,fnest la composée de deux fonctions continues sur [0 ;+∞[ : n x71+xetx7lnxdoncfnest continue sur [0 ;+∞[. n n Pour toutxde [0 ; 1], 0ÉxÉ1 donc 1É1+xÉ2. ¡ ¢ n La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ;+∞[ donc ln1Éln 1+xÉln 2. La fonctionfnest continue sur [0 ; 1] et pour toutxde [0 ; 1], 0Éfn(x)Éln 2. Z 1 Donc pour tout entier naturel non nuln, 0ÉInÉln 2 dx, soit 0ÉInÉln 2. 0
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Année 2010/2011
n n+1n n+1n (b) Pourtoutxde [0 ; 1], 0ÉxÉ1 donc par produit parxÊ0, 0ÉxÉxpuis 1É1+xÉ1+x. ¡ ¢¡ ¢ n+1n La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ;+∞[ donc ln 1Éln 1+xÉln 1+x, soit 0Éfn+1Éfn. Les fonctionsfn+1etfnsont continues sur [0 ; 1] et pour toutxde [0 ; 1], 0Éfn+1Éfndonc 0ÉIn+1ÉIn. La suite (In) est décroissante et minorée par 0. (c) Lasuite (Inif ou nul.) décroissante et minorée par 0 est donc convergente vers un nombre posit 3. (a)gest la différence de deux fonctions continues dérivables sur [0 ;+∞[ :x7xetx7f1(x) doncgest 1x continue et dérivable sur [0 ;+∞[ etg(x)= −1=. x+1x+1 ′ ′ Pour toutx>0,g(x)<0 etg(0)=0 doncgest strictement décroissante sur [0 ;+∞[. (b)gest strictement décroissante sur [0 ;+∞[ etg(0)=0 doncgest strictement négative sur [0 ;+∞[. ¡ ¢ n n Sixest un réel positif alors pour tout entier naturelnnon nul,xest un réel positif doncg xÉ0 donc ¡ ¢¡ ¢ n nn n pour tout entier naturelnnon nul, et pour toutxréel positif, on a : ln1+xxÉ0 soit ln1+xÉx. ¡ ¢ n nn (c) Lesfonctionsfnetx7xsont continues sur [0 ;+∞[ et pour toutxde [0 ;+∞[ on a : 0Éln 1+xÉx; Z ·¸ 1 1 1 1 n n+1 donc 0ÉIÉxdx, soit 0ÉIÉx, ou encore 0ÉIÉ. n nn 0n+10n+1 1 Comme lim=0 d’après le théorème des gendarmes appliqué aux suites,limIn=0. n→+∞n→+∞ n+1
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