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COLLOQU IUM MATHEMAT ICUM VOL. LXV 1993 FASC. 2 PROPRIETES ARITHMETIQUES DE CERTAINS NOMBRES EULERIENS PAR JEAN-LOUIS N ICOLAS (LYON) 1. Introduction. Le nombre Eulerien A(n, k) depend de deux parame- tres entiers n ≥ 1 et k, 1 ≤ k ≤ n. On peut le definir a l'aide de la relation de recurrence triangulaire (1) A(n, k) = kA(n? 1, k) + (n? k + 1)A(n? 1, k ? 1) valable pour n ≥ 2, et des conditions initiales A(n, 1) = A(n, n) = 1, n ≥ 1 . Il est commode de poser, comme pour les coefficients du binome, pour n ≥ 1, A(n, k) = 0 pour k ? Z, k ≤ 0 ou k ≥ n + 1 et alors la relation (1) est valable pour tout k ? Z. Les nombres Euleriens verifient la relation de symetrie (2) A(n, k) = A(n, n? k + 1) et pour n fixe, la suite A(n, k) est croissante en k, pour k ≤ b(n + 1)/2c, puis decroissante en k, pour k ≥ b(n+1)/2c, ou bxc designe la partie entiere de x.

j?l mod

?j ≥

≤j≤n

proprietes arithmetiques des sommes

demonstration du theoreme

mod p?

congruence pour le coefficient du binome

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C O L L O Q U I U M M A T H E M A T I C U M VOL. LXV 1993 FASC. 2

´ ´ ´ PROPRIETES ARITHMETIQUES ´ DE CERTAINS NOMBRES EULERIENS PAR JEAN-LOUIS N I C O L A S (LYON) 1. Introduction. LenombreEul´erien A ( n, k )d´ependdedeuxparam`e-tres entiers n ≥ 1 et k , 1 ≤ k ≤ n .Onpeutlede´ﬁnir`al’aidedelarelation der´ecurrencetriangulaire (1) A ( n, k ) = kA ( n − 1 , k ) + ( n − k + 1) A ( n − 1 , k − 1) valable pour n ≥ 2, et des conditions initiales A ( n, 1) = A ( n, n ) = 1 , n ≥ 1 . Ilestcommodedeposer,commepourlescoeﬃcientsdubinoˆme,pour n ≥ 1, A ( n, k ) = 0 pour k ∈ Z , k ≤ 0 ou k ≥ n + 1 et alors la relation (1) est valable pour tout k ∈ Z .LesnombresEule´riensve´riﬁentlarelationde syme´trie (2) A ( n, k ) = A ( n, n − k + 1) et pour n ﬁxe´,lasuite A ( n, k ) est croissante en k , pour k ≤ b ( n + 1) / 2 c , puisd´ecroissanteen k , pour k ≥ b ( n + 1) / 2 c ,ou` b x c d´esignelapartieentie`re de x . Nous poserons M n = max k A ( n, k ) . Lorsque n = 2 m , ce maximum est atteint deux fois : M 2 m = A (2 m, m ) = A (2 m, m + 1) . Lorsque n est impair, il n’est atteint qu’une seule fois : M 2 m +1 = A (2 m + 1 , m + 1) , et la relation (1) donne (3) M 2 m +1 = (2 m + 2) M 2 m , m ≥ 1 . Onpourratrouverlesde´ﬁnitionsetproprie´t´esci-dessusdanslesœuvres d’Euler ([Eul], p. 373) ou dans [Com] ou [Knu]. Dans les articles [Nic] et [L-N2],d´sentationsint´egralesde A ( n, k )permettentd’e´tendrela es repre de´ﬁnitionde A ( n, k ) lorsque n et k sontr´eels.

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