ITS correction du devoir no

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ITS : correction du devoir no 3 I C'est du cours ! II 1. Attention à l'ordre des phrases ! Ce n'est pas le théo- rème des valeurs intermédiaires ! L'affirmation est fausse. Prenons la fonction définie par : f (x) = ? ? ? 2 3x si x ? [0 ; 3[ x ?3 si x ? [3 ; 5] . f n'est pas continue en 3 ; f (0) = 0, f (5) = 2. Pour tout réel k compris entre f (0) = 0 et f (5) = 2, l'équation f (x) = k admet au moins une solution dans [0 ; 5] et pourtant f n'est pas continue sur cet intervalle. O I J 2. C'est faux ; en effet, f ne peut prendre n'importe quelle valeur réelle k qu'entre f(0) et f(5). 3. C'est faux ! La continuité de f n'est pas une condition nécessaire (voir l'exemple du 1.). La phrase « Pour que l'équation f (x)= k , où k est un réel, admette au moins une solution appartenant à [0 ; 5], il suffit que f soit continue sur [0 ; 5] et que k soit compris entre f (0) et f (5).

  • droite ∆ d'équation

  • triangle rectangle

  • ?x ?4

  • co- efficient directeur

  • tableau de signe

  • angle ?b

  • frac- tion rationnelle


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I
oTS:correctiondudevoirn 3
p
I ? f(1)? 1?1 etg(1)?1 donc les deux courbes passent
toutesdeuxparlepointdecoordonnées(1; 1).
C’estducours!
0p u2 0? f ? u avecu(x)?x ?x?1; f ? p avec
2 uII
2x?10 0u (x)?2x?1d’où f (x)? p .1. Attentionà l’ordre des phrases! Ce n’est pas le théo- 22 x ?x?1
rème des valeurs intermédiaires! L’affirmation est 10Onendéduit: f (1)? .fausse.Prenonslafonctiondéfiniepar:8 2
2< x six2[0; 3[
f(x)? . f n’est pas continue en3 x 10 0: ? g (x)?? ?1donc g (1)? .x?3six2[3; 5]
2 2
3; f(0)?0, f(5)? 2. Pour tout réelk compris entre 0 0Onendéduitque f (1)?g (1).
f(0)? 0 et f(5)? 2, l’équation f(x)? k admet au
Les deux courbes passent par le même point de co-
moins une solution dans [0 ; 5] et pourtant f n’est
ordonnées (1; 1) et ont en ce même point même co-
pascontinuesurcetintervalle.
efficient directeur; les deux tangentes coïncident; les
deux courbes ont même tangente. (on dit que les deux
courbessonttangentesen1).
J
O I IV
2. C’est faux; en effet, f ne peut prendre n’importe 31. (a) Soit g(x)?x ?3x?8. g est dérivable;8x2R,quellevaleurréellek qu’entref(0)etf(5). ? ?
0 2 2g (x)?3x ?3?3 x ?1 ?0 doncg est crois-
3. C’estfaux!Lacontinuitédefn’estpasunecondition santesurR.
nécessaire (voir l’exemple du 1.). La phrase «Pour
g est continue surR (polynôme); lim g(x)?
x!?1quel’équation f(x)?k,oùk estunréel,admetteau
3lim x ? ?1 (polynôme) et de même,moinsunesolutionappartenantà[0; 5],ilsuffit que x!?1
3f soit continue sur [0 ; 5] et quek soit compris entre lim g(x)? lim x ??1.
x!?1 x!?1
f(0)et f(5).»auraitétévraie. D’aprèslethéorèmedesvaleursintermédiaires,
Il faut bien faire la distinction entre «il faut»et «il l’équation g(x)? 0 admet au moins une solu-
sufffit». tion; celle-ci est unique car g est strictement
croissante. Notons-laα4. vrai(théorèmedesvaleursintermédiaires).
Àlacalculatrice,ontrouve5. vrai (si f est dérivable, f est continue et l’on peut ap-
f(?1,6)??0,896?0et f(?1,5)?0,125?0.pliquerlethéorèmedesvaleursintermédiaires).
Onendéduit ?1,6?α??1,5 .
6. faux:mêmeraisonqu’au3.Lacontinuitédefestsuf-
fisantemaispasnécessaire. (b) On en déduit que g(x)?0 sur ]? ; α[,g(α)?0
Contre-exemplegraphique: etg(x)?0sur]α;?1[.
3x ?4
2. (a) f(x) ? ; f est dérivable sur R comme
2x ?12
quotientdefonctionsdérivables.
Ontrouve:? ? ? ?
2 2 31 3x x ?1 ?2x x ?4
0f (x)? ? ?22x ?1
0 4 2 4 4 23x ?3x ?2x ?8x x ?3x ?8x
0 1 2 3 4 ? ?? ? ? ?2 22 2x ?1 x ?1
xg(x)
Ilauraitfalluécrire«ilsuffitquefsoitcontinue...»et ? .? ?22x ?1non«ilfautquefsoitcontinue...»
Le dénominateur est positif (carré d’un réel)
0donc f (x)estdusignedexg(x).III
0f (x?0)pourx?0oux?α.p 1 122f(x)? x ?x?1etg(x)?? x ?x? Onrenseigneuntableaudesignes:
4 4
Page1/3V
3α(α?4) 3αx ?1 α 0 ?1 ?? .
?2(α?4) 2x ? ?0?
Commeα??1.5, f(α)??2.25 .g(x) ?0? ?
0f (x) ?0?0? 6. Courbe:
On a : lim f(x)??1 (limite du quotient des
x!?1
termesdeplushautdegré,car f(x)estunefrac-
2 Ctionrationnelle)et lim f(x)??1.
x!?1 Δ
1Onendéduitlesvariationsde f :
x ?1 α 0 ?1 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1 1 2 3 4 5 6
?1f(α) ?1
@
?2Kf(x) @
@R
?3?1 ?4
0BA2cx?d (ax?b)(x ?1)?cx?d ?4
3. (a) ax?b? ? ?
2 2x ?1 x ?1
?53 2ax ?bx ?(a?c)x?b?d
.
2 ?6x ?1
Par identification des coefficients, on trouve
?7a?1,b?0,c??a??1et
d??4?b??4,d’où
?x?4 Vf(x)?x? .
2x ?1 ? ? 1. (a) MCN est un triangle rectangle; d’après le?x?4 ?x?4
2f(x)?x ? et lim ? 0 (c’est théorème de Pythagore, l’on a : MN ?2 2x!?1x ?1 x ?1
2 2 2 2MC ? CN ? (1 ? x) ? (1 ? y) ? ? ?une fraction rationnelle, donc on calcule la li-
2 2mite du quotient des termes de plus haut de- x ?y ?2x?2y?2 .
gré).
(b) Comme M,T etN sont alignés dans cet ordre,
On en déduit que la droiteΔ d’équation y?x
ona:MN?MT?TN.
estasymptoteàC en?1eten?1.
Considérons les triangles ADM et AMT : ils
?x?4 x?4
ont le côté [AM] en commun; ils ont deux cô-f(x)?x? ? ? qui est du signe
2 2x ?1 x ?1
tés [AD] et [AT] de même longueur (rayons du
opposéàceluidex?4.
cercle); les deux triangles ont un angle droit
On en déduit queC est au-dessus de Δ pour
(entre les côtés de même longueur). Ce sont
x??4etendessouspourx??4.
des triangles isométriques. La troisième lon-
(b) IntersectiondeC etdeΔ: gueurestlamême:MT?MD?x.
Onrésout f(x)?x;
x?4
f(x)? x ,? , x??4 ;C et Δ ne se De même, les triangles ATNet ANB sont iso-2x ?1
métriques,doncTN?NB?y.rencontrent qu’en un point, d’abscisse -4 et
d’ordonnée-4.
Onendéduit: MN?MT?TN?x?y4. Δapourcoefficientdirecteur1.Onrésoutl’équation
0f (x)?1. 2 2(c) Onendéduitque:MN ?(x?y) etxg(x)0 4 2 2 2 2f (x)? 1, ? 1, xg(x)? x ?2x ?1,? ? MN ?x ?y ?2x?2y?2.22x ?1 Parconséquent:
4 2 4 2 2x ?3x ?8x?x ?2x ?1,x ?8x?1?0. 2 2 2 2p p x ?2xy?y ?x ?y ?2x?2y?2d’où
Ontrouvedeuxsolutions: ?4? 17 et ?4? 17 . 2xy?2y??2x?2,xy?y??x?1
LespointsB etB’en lesquels la tangenteàC est pa- 1?xp p ,y(x?1)?1?x,y? .rallèleàΔontpourabscisses?4? 17et?4? 17. x?1
3 3 (d) Onendéduit:5. g(α)?0,α ?3α?8?0,α ???(α?8).? ? ? ? 1?x x(x?1)?1?x3 3 3?α ?4 ? α ?4 ?α α ?4 MN?x?y?x? ?? ?f(α) ? ? ? ? x?1 x?12 2 2α ?1 α ?1 α α ?1
2 2x ?1 x ?1?α(?3α?8?4) ?α(?3α?12) 3α(α?4) ? ,donc: MN? .? ? ?
3 x?1 x?1α ?α ?3α?8?α ?2α?8
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bbbbVI
2x ?1 diamètreducercle.
2. Onpose f(x)? sur]0; 1[. 0x?1 Appelonsx lalongueur AB durectangle.
f estdérivablecommefonctionrationnelle.
D’aprèslethéorèmedePythagore,ona:
2 02 02 0 02 0 02 2 2 2x ?2x?10 AA ?AB ?B A d’oùB A ?8 ?x ?64?x .8x2]0; 1[, f (x)? .
2 0 0(x?1) CommeB A estunelongueur,doncpositive,ona:p
0 2 0 0 2f (x)?0,x ?2x?1?0.Laseuleracinedans]0; 1[ B A ? 64?x .
p p
2est 2?1 . L’airedurectanglevautalors: A (x)?x 64?x .
0 2f (x)estdusignedesonnumérateurx ?2x?1,donc
positifàl’extérieurdesesracinesetnégatifentreses Étudionscettefonction.Elleestdérivablesur]0; 8].p p0 2racines. ON en déduit que f (x)?0 sur ]0 ; 2?1[, A ?u v avecu(x)?x etv(x)?64?x .p p
0p ?p ? p vnulpourx? 2?1etpositifsur] 2?1; 1[. 00 0 0 0p f ? u vu v ? u v?u? avec u (x) ? 1 etp
f admetdoncunminimumpourx? 2?1. 2 v
0v (x)??2x.OnendéduitqueMN estminimumpour p pp . ?2x0 2 2x? 2?1. Onobtient:A (x)? 61?x ?x? p ? 64?x ?
22 64?x
2 2 2x 64?2x 2(32?x )
VI ? ? .p p p
2 2 264?x 64?x 64?x
p p p
0 2A (x)?0,x ?32,x2{?4 2; 4 2}.Seul4 2estdans
l’intervalle]0; 8[
0A (x) est du signe de son numérateur; celui-ci est positifA
entre les racines et négatif à l’extérieur; on en déduit quep p
x B A estcroissantesur]0; 4 2]etdécroissantesur[4 2; 8[.p
L’aire est maximale pour x ? 4 2. La largeur vaut alorsO r ? ?p 2 p
B 64? 4 2 ?4 2.
0 Lerectangleauneairemaximalelorsquec’estuncarré .A
0?Autre méthode : on noteα l’angle BAA ; les côtés du
rectanglevalentalors8cosαet8sinα.
L’airevautalors:A (α)?64cosαsinα?32sin(2α).
En étudiant les variations de la fonctionα7?!sin(2α), on
π
0 trouve que le l’aire est maximum pourα? ; le rectanglePuisque le triangle ABA est rectangle en B, l’hypoténuse 4
0 0[AA ] est un diamètre du cercle. De même, [BB ] est un estalorsuncarré,d’aire32.
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bbbbb