TS2 correction du devoir no I Antilles Guyane septembre

Description

TS2 : correction du devoir no 6 I Antilles-Guyane septembre 2009 Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l'inter- valle ]0 ; 1] par : f (x)= 1+ x lnx. 1. (a) D'après les formules de croissances comparées, lim x?0 x lnx = 0 donc lim x?0 f (x)= 1 . (b) Pour tout x ?]0 ; 1], lnx É 0 donc x lnx É 0 et f (x)= 1+ x lnx É 1 . 2. (a) f est dérivable comme somme et produit de fonc- tions dérivables sur ]0 ; 1]. Pour tout x ?]0 ; 1], f ?(x)= 0+1?lnx+x? 1 x = 1+lnx ; f ?(x)= 1+ lnx . (b) L'équation réduite de la tangente à C en 1 est : y = f ?(1)(x ?1)+ f (1) ; f ?(1)= 1 et f (1)= 1. Cette équation est donc : y = (x ?1)+1 soit : y = x. Cette tangente est donc T . 3. On note g la fonction définie pour tout nombre réel x ? ]0 ; 1] par g (x)= 1+ x lnx ? x.

• théorème de conver- gence monotone


• conséquent lim


• ln? ?


• tions dérivables

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Publié le: 01 septembre 2009
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

oTS2:correctiondudevoirn 6
? ? ??2 2? 1 ?I Antilles-Guyaneseptembre2009
Finalement : I(?) ? ? ? ln?? ? ?
2 4 4
Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l’inter-
2 2? 1 ?
valle]0 ;1]par: ln?? ? .
2 4 4
f(x)?1?xlnx. (b) D’après les formules des croissances comparées,
2 2? ? 11. (a) D’après les formules de croissances comparées, lim ln??0; lim ?0donc limI(?)? .
?!0 ?!0 ?!02 4 4limxlnx?0donc
x!0
(c) Onendéduitquel’airedelapartieduplancompriselim f(x)?1 .
x!0 entre la courbe C, l’axe des ordonnées et la droite
1
(b) Pour tout x 2]0 ; 1], lnx ? 0 donc xlnx ? 0 et d’équation y?1 est égale à unité d’aire(hachurée
4f(x)?1?xlnx?1 .
surledessinci-dessous).
2. (a) f est dérivable comme somme et produit de fonc- (d) Pour calculer l’aire demandée, il faut calculer l’aire
tionsdérivablessur]0; 1]. dutriangleforméparladroiteT,l’axedesordonnées10 1Pourtoutx2]0; 1], f (x)?0?1?lnx?x? ?1?lnx;
etladroited’équation y?1;ellevaut .x
20f (x)?1?lnx . Onluisoustraitl’airecalculéeprécédemment :
1 1 1
(b) L’équation réduite de la tangente àC en 1 est : y ? ? ? .
2 4 40 0f (1)(x?1)?f (1); f (1)?1et f(1)?1. L’aire du domaine (en gris sur le dessin ci-dessous)
Cetteéquationestdonc:y?(x?1)?1soit: y?x. comprisentrelacourbeC,ladroiteT etl’axedesor-
CettetangenteestdoncT. 1
donnéesvaut unitéd’aire.
43. On note g la fonction définie pour tout nombre réel x 2
]0; 1]par
g(x)?1?xlnx?x.
1(a) g estdérivablesur]0; 1]commesommedefonctions
Cdérivables.
Pour tout x 2]0 ; 1], g(x) ? f(x) ? x donc
0 0 Tg (x)? f (x)?1?lnx .
0(b) Pourtoutx2]0; 1],lnx?0doncg (x)?0.Onendé-
1duitqueg estdécroissantesur]0; 1].Org(1)?0.
Parconséquent, g(x)?0sur]0; 1].
OnendéduitqueC estau-dessusdeT sur]0; 1].
4. Soit?unnombreréeltelque0???1. II Amériquedusud,novembre2009Z1? ?
OnposeI(?)? 1?f (x) dx.
1. a. Sur l’intervalle [0 ; 1], 2?x6?0, donc f quotient de fonc-?
Z Z tionsdérivablesestdérivableet:1 1
?x ?x ?x ?x0 ?e (2?x)?e e (1?2?x) e (x?1)(a) On a donc I(?)? ?xlnx dx ?? u (x)v(x)dx 0
f (x) ? ? ? .? ?? 2 2 2(2?x) (2?x) (2?x)0u (x)?x Tous les termes sont positifs sur [0 ; 1] sauf x?1, doncenposant .
v(x)?lnx 0f (x) ? 0 : la fonction f est décroissante sur [0 ; 1] de
0 0v est dérivable sur [? ; 1] et u et v sont continues 1 ?1
f(0)? à f(1)?e ?0,368.surl’intervalle [?; 1]. 2
On peut donc utiliser la formule d’intégration par 1 1
b. Onavuquesur[0; 1], ? f(x)? .parties. e 2Z Z1 1 ? ?0 0 0u (x)v(x)dx ? [u(x)v(x)]? u(x)v (x)dx avec u(x) ? 2?x u (x) ? 1
2. a. Posons )? ? 0 ?x ?x8 v (x) ? e v(x) ? ?e2x>< u(x)? Toutes les fonctions étant continues, on peut intégrer par
2 .1 parties:> 0: v (x)? Z1? ? ? ?x 1 1?x ?x ?x ?xJ ? ?(x?2)e ? e dx ? ?(x?2)e ?e ?Parconséquent : 0 0? ?Z 1 Z 01 2 21x x 1 ? ? 40 1?x ?1u (x)v(x)dx? lnx ? ? dx ?(x?3)e ??4e ?3?3? .
02 2 x? ? e?
Z ? ?12 1 2 2? x ? x b. Enpartantdel’encadrementtrouvéau1.b.:
? ? ln? ? dx ? ? ln? ? ?
22 2 2 4 1 1 x 1? ? 2 2? ?2 ? f(x)? () ? x f(x)? x d’où en intégrant2? 1 ? e 2 e 2? ln?? ? . sur[0;1],2 4 4
Page1/3? ? ? ?Z Z2 3 31 1 sin(1)?xn?1x 1 x x2 (b) Onay ? ,or lim x ? lim x ?0,dx?K? x dx () ?K? () n n?1 n
n!?1 n!?1n?1e 2 3e 1 6 10 0 0 0 donc lim y ?0.n1 1 n!?1?K? .
3e 6 4. Pourtoutentiernnonnul,onax ??(n?1)y ?sin(1)?n?1 n
Z Z1 1 2 ?xx e ?ny ?y ?sin(1).n n?xc. J?K? (2?x)e dx? dx
lim x ? 0 et lim y ? 0 donc lim ?y ?sin(1)?n?1 n n2?x0 0 n!?1 n!?1 n!?1Z ? ?1 2 ?xx e sin(1),?x? (2?x)e ? dx
2?x parconséquent lim ny ?sin(1).0 nZ Z n!?1?x 2 ?x ?x1 1(2?x)(2?x)e ?x e e Demême,onay ?(n?1)x ?cos(1)?nx ?x ?cos(1).n?1 n n n? dx? 4 dx?4I.
2?x 2?x0 0 lim y ? 0 et lim x ? 0 donc lim x ?cos(1) ?n?1 n n
n!?1 n!?1 n!?1? ?
4 1 4 1 4 1 1 4 ?cos(1),
d. J?3? ) ?3? ?J?K? ?3? ) ?3? ?
e 3e e 6 e 4 3e e parconséquent lim nx ?cos(1).n? ? n!?11 1 4 3 11 19 1
I? ?3? () ? ?I? ? .
4 6 e 4 12e 24 e
3 11 19 1
Comme ? ? 0,412 et ? ?0,424, on en déduit IV Métropole,juin2005
4 12e 24 e N
que
?20,412?I?0,424, ilenrésultequeI?0,42à10 près.
P
III AmériqueduNord,mai2008
n1. (a) Pour t 2 [0;1], on a t ? 0, 0? cost ? 1 car [0;1]?h i? n0; etdonct cost?0.
2
?Onendéduitquex ?0pourn2N .n
? ΩK(b) Pourn2N ,ona:Z Z1 1
Mn?1 nx ? x ? t cost dt ? t cost dt ?n?1 n
0 0Z1
n?1 nt cost?t cost dt
0Z1 L
n O A? t (t?1)cost dt.
Z0
nPour t 2 [0;1], on a t cost ? 0, t?1 ? 0 et donc
nt (t?1)cost?0,
parconséquentx ?x ?0cequidémontrequelan?1 n
suite(x )estdécroissante.n
(c) La suite (x )est décroissante et minorée par 0, doncn
elleconvergevers`,avec`?0(théorèmedeconver-
gencemonotone).
n2. (a) Pour t 2 [0;1], on a t ? 0, 0 ? cost ? 1 et donc
n n 10?t cost?t .
1. SoitZ lecentreducercleC.L’affixedeZ est etlerayon
D’après le théorème de comparaison des intégrales, 2
onendéduit: ? ?Z Z Z 1 1n?11 1 1 tn n n ducercleest .t cost dt ? t dt, or t dt ? ? 2n?10 0 0 0 ? ?1 ? ?1 1 1? ?.
M2C ,ZM? , ?m? ?? .n?1 ? ?2 2 21
Parconséquent, 0?x ? .n
n?1
?
1 2. L estl’imagedeM parlarotationdecentreO etd’angle ,
(b) lim ?0,donc,d’aprèslethéorèmedes«gen- 2
n!?1n?1 0dont l’écriturecomplexe estz ?iz;en prenantz?m,ondarmes»,onendéduitque lim x ?0.n
n!?1 obtient l?im .
3. (a) Onréaliseuneintégrationparparties: De même, P est l’image de M par la rotation de centreZ Z1 1? ?1n?1 n?1 ?x ? t cost dt ? t sint ? (n ? 0n?1 0 A et d”angle ? , dont l’écriture complexe est z ?1 ?
0 0 2n 01)t sint dt ?i(z?1),z ??iz?z?1; en prenant z?m, on trouve :Z1
n?1 n p??im?1?i .?1 sin(1)?(n?1) t sint dt
0 Ontrouveraitdemêmen?(1?i)m?ietk?(1?i)m.donc, pour tout entier n non nul, on a x ??(n?n?1
1)y ?sin(1). 3. (a) Ω le milieu du segment [PL]. Notons ! son affixe;n
Page2/3
bbx
1 1 1 On en déduit que, pour x?0 : ?ln(1?x)? x.
1?xalors!? (l?p)? (im?(?im?1?i)? (1?i) qui
12 2 2
Soitk?1.Onposex? .x?0.
nedépendpasdelapositiondeM surlecercleC. k? ? ? ? ? ? D’aprèslesinégalitésci-dessus,ona:? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ?1
(b) ZΩ??!? ??? (1?i)? ??? i?? quiestlerayon x 1 1k? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 ? ? ? ln(1?x) ? ln 1? ?
11?x k?1 k1? k? ?ducercle,donc ΩappartientaucercleC .Ωestl’in- k?1 1
ln ?ln(k?1)?ln(k)?x? d’oùtersectionducercleC etdelaméditricede(OA) k k
4. (a) KN ?jn?kj?j(1?i)??i?(1?i)mj?j?2im?ij?? ? ? 1 1? ? ? ?1 1 1? ? ? ? ?ln(k?1)?ln(k)? . (1)
??2i(m? ??2?m? ??2? ?1car,pourtoutM de k?1 k? ? ? ?2 2 2
? ?
n n? ? X X11 1? ? (c) On en déduit : ? [ln(k?1)?ln(k)] ?C d’affixem,?m? ?? . Par conséquent : KN?1 k?1? ?2 2 k?1 k?1
nX 1(distanceconstante) ? ! ? ! ,u ?1?ln(n?1)?ln(1)?u d’oùn?1 n
k1 1 k?11 1 m? ?i ?m?(1?i)m?i? ? in?! 2 22 2 u ?1?ln(n?1)?u (2).n?1 n? ! ? !(b) ? ? ?
k?! 1 1 1 1
(1?i)m? ? i m? ?i m? Soitn?1.Ona:
2 2 2 2
? ! ? ln(n?1)?u .n
1
m? (1?i) ? u ?1? ln(n?1) d’où u ? ln(n?1)?1 avecn?1 n?122 1?i (1?i)
n?1?2,doncpourn?2,u ?1?ln(n).n? ! ? ? ??i.
1?i 21 Or, cette inégalité est encore vraie pour n? 1 car
m? (1?i)
u ?1etln(1)?0,donc,pourtoutn?1:2 1
? ?
? ?n?! ΩN? ? u ?1?ln(n).nOn en déduit : ? ? ? ? j? ij ? 1 donc
? ?k?! ΩK
Onendéduit,quepourtoutn?1:ΩN?ΩK doncletriangleΩNK estisocèleenΩ.? !
? ?n?! ??! ?!
ln(n?1)?u ?1?ln(n) (2)arg ? ΩK ,ΩN ? arg(?i)?? donc le tri- n
k?! 1
angleΩNK estrectangleenΩ. (d) lim ln(n?1)??1 donc, d’après le théorème des
n!?1
Finalement, letriangleΩNK estisocèlerectangleenΩ . gendarmes, lim u ??1.n
n!?1
? (e) Pour avoir u ? 100, il suffit d’avoir ln(n?1)? 100,n
5. ΩNK est isocèle rectangle, donc ΩN ? KNcos ? 100 100 43c’est-à-diren?1?e doncn?e ?1?2,69?104
KN 1 1 (c’estdoncunesuitequicroîtlentement!)
p ? p . La distanceΩN est constante, vaut p donc
n?1X 12 2 2
2. Pourtoutn?2,onposec ?u ?ln(n)? ?ln(n)?n n?1
k1 k?1
N appartientaucercledecentreΩetderayonp . 1 1 1
2 1? ? ????? ?ln(n).
2 3 n?1
(a) Pourtoutn :" # " #
V n n?1X X1 1
c ?c ? ?ln(n?1) ? ?ln(n)n n?1 nX 1 k kk?1 k?1Soitu ? .n 1ii?1 ? ?ln(n)?ln(n?1)?0d’aprèslarelation(1).
3 11 n
1. (a) On obtient u ? 1, u ? ? 1,5,u ? ? 1,83, Donc,pourtoutn2N,c ?c ?0.1 2 3 n?1 n2 6
Onendéduitquelasuite c estcroissante.25 ( )n
u ? ?2,084
12 (b) Pour tout n ? 2, n?1 ? 1 et c ? u ?ln(n) ?n n?1
(b) Pourx?0,onpose f(x)?ln(1?x)?x. f estdérivable 1?ln(n?1)?ln(n)(d’après(2)).
? ?commesommeetcomposéedefonctionsdérivables. n?1
1 x (c) on en déduit quer c ?1?ln .n?1?n donc0 nf (x)? ?1?? ? 0 car x? 0 et 1?x? 0. n? ?1?x 1?x n?1 n?1On en déduit que la fonction f est décroissante sur ?1d’oùln ?0.Onendéduitc ?1.n
n n[0;?1[.Or f(0)?0donc f(x)?0pourx?0.
Lasuite(c )estdoncmajoréepar1.n
x (c ) est croissante majorée, donc convergente versn
Pour x?0, on pose g(x)? ?ln(1?x). g est dé-
unelimitequ’unnote?(constanted’Euler).1?x
rivablecommesommeetcomposéedefonctionsdé-
(d) Avecuntableur,ontrouve??0,577
rivables.
x0 Pour ceux qui veulent en savoir un peu plus sur cette
g (x)?? ? 0 car x? 0. On en déduit que la