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Universite Claude Bernard Lyon

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Universite Claude Bernard Lyon 1 M1R – Geometrie : Courbes et surfaces Corrige de l'examen du 7 janvier 2011 Les documents sont autorises mais les calculettes sont interdites (car inu- tiles). Les deux problemes sont independants. Il sera tenu compte de la qualite de la redaction pour l'attribution d'une note. Le QCM. – On repond par vrai ou faux, sans justifier. 1.– Il existe une parametrisation reguliere f du plan pour laquelle les cœf- ficients de la premiere forme fondamentale verifient E = G = 0 et F ? 1. Rep.– Faux, si f est reguliere alors EG? F 2 > 0. 2.– Si D est une droite contenue dans une surface alors tous les points de D sont a courbure de Gauss nulle. Rep.– Faux, si f(u, t) = ?(t)+u?(t) est une surface reglee alorsK(t, u) = ? det2(??, ?, ??) (EG? F 2)2 . 3.– L'helicoıde est une surface minimale (i.e. a courbure moyenne nulle). Rep.– Vrai, decouverte par Meunier, cf. CM-S4. 4.– Soit ? : I ?? S une courbe parametree par la longueur d'arc et tracee sur une surface S.

  • courbe

  • formules de frenet

  • ligne de courbure

  • parametrisation de la sphere

  • dependant du choix de la normale unitaire

  • generatrices des surfaces reglees


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Universit´eClaudeBernardLyon1 M1RG´eom´etrie:Courbesetsurfaces Corrig´edelexamendu7janvier2011
Lesdocumentssontautorise´smaislescalculettessontinterdites tiles).Lesdeuxprobl`emessontinde´pendants.Ilseratenucomptede delare´dactionpourlattributiondunenote.
Le QCM. –
Onre´pondparvraioufaux,sansjustier.
(car inu-laqualite´
1.–oitasirtiluge´rnunteisex´eamareplI`erefdu plan pour laquelle les cœf-cientsdelapremie`reformefondamentaleve´rientE=G= 0 etF1.
2 R´ep.Faux, sifrsloeaer`iluge´rtseEGF >0.
2.–SiDest une droite contenue dans une surface alors tous les points de Drbouact`aueGedur.ellunsssno
20 0 det(δ, δγ , ) Re´p.Faux, sif(u, t) =γ(t)+(teracgl´eea´erslo)seutenusfrK(t, u) =. 2 2 (EGF) 3.–minimecafrusenutbuurco`ae.i.e(alneluel.)eromeynndeesco¨ı´eliLh
R´ep.ueMrreinrevuapet4.f.,c-SCMai,d´ecoVr
4.–Soitγ:I−→Se´ertcagueualonrcetrdate´maraplrapee´rubeurcone sur une surfaceS.Siγmytp-oqueetunecourbeassiofgenudoe´ise´stela`a tique deS, alors son support est une portion de droite.
R´ep.edeD`edretriansliad,rVobra(xuT , V, n) on a
dT 00 γ= =kgV+kTn. ds Orγsi´esiquesnugee´doetskg= 0 etγest une courbe asymptotique ssikT= 0.Donc 00 γ= 0,qnesui`tniergeγ(t) =at+bet le support est une droite.
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