Algèbre commutative, méthodes constructives
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Français

Algèbre commutative, méthodes constructives

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Description

Compléments, exercices, problèmes et solutions supplémentaires, pour le livre Algèbre commutative, méthodes constructives Modules projectifs de type fini Dernière mise à jour, 13 janvier 2012 Petit laius. Nous remercions tous les lecteurs qui voudront bien nous signaler des erreurs de toutes sortes, ou des démonstrations élégantes, ou des solutions d'exercices ou problèmes. Nous signalons au début de chaque chapitre les errata d'ordre mathématique (pas les fautes d'orthographes).
  • matrice carrée
  • cf ∈
  • classes de similitude
  • similitude des matrices
  • similitude de matrices
  • égalité ⋂n
  • e1 r2s1
  • table des matières chapitre
  • r2
  • problème
  • problèmes

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Langue Français

Compléments,exercices,problèmesetsolutionssupplémentaires,
pourlelivre

Algèbrecommutative,méthodes
constructives

Modulesprojectifsdetypefini
Dernièremiseàjour,21février2012

Petitlaiusàcompléter.

Nousremercionstousleslecteursquivoudrontbiennoussignalerdes
erreursdetoutessortes,oudesdémonstrationsélégantes,oudessolutions
d’exercicesouproblèmes.
Noussignalonsaudébutdechaquechapitreleserratad’ordremathématique
(maispaslesfautesd’orthographes).

Tabledesmatières

Tabledesmatières

Avant-Propos

ChapitreII.Principelocal-globaldebaseetsystèmeslinéaires
Exercices..............................7
Solutions..............................7

ChapitreIII.Laméthodedescoefficientsindéterminés
Exercices..............................9
Problèmes.............................10
Solutions..............................12

ChapitreIV.Modulesdeprésentationfinie
Exercices..............................19
Solutions..............................20

ChapitreVI.Algèbresstrictementfiniesetalgèbresgaloisiennes
Errata...............................21
Complémentsducours......................21
Exercices..............................22
Problèmes.............................22
Solutions..............................22

ChapitreIX.Anneauxlocaux,oupresque
Errata...............................23
Exercices..............................24
Solutions..............................25

–3–

4

Tabledesmatières

ChapitreX.Modulesprojectifsdetypefini,2
Exercices..............................
Problèmes.............................
Solutions..............................

ChapitreXII.AnneauxdePrüferetdeDedekind
Errata...............................
Complémentsducours......................
Exercices..............................
Problèmes.............................
Solutions..............................

ChapitreXIII.DimensiondeKrull
Complémentsducours......................
10Morphismesquasi-finis......................

ChapitreXIV.Nombredegénérateursd’unmodule
Complémentsducours......................
Exercices..............................
Problèmes.............................
Solutions..............................

ChapitreXVI.Modulesprojectifsétendus
Exercices..............................
Solutions..............................

920343

3434444444

5454

94499494

1515

Avant-Propos

Avant-Propos

Uneprécision

5

LacitationdeMarxenbasdelapagexvestmalréférencée.
Enfaitils’agitd’unextraitd’untexte,
Remarquesàproposdelarécente
instructionprussiennesurlacensure
,parudanslarevueAnekdotaen1843.
NousavonsindiquélatraductionparJ.Molitorparueen1927etcitéepar
G.Perec:
Lemoyenfaitpartiedelarecherchedelavérité,aussibienquelerésultat.
Ilfautquelarecherchedelavéritésoitelle-mêmevraie;larecherchevraie,
c’estlavéritédéployée,dontlesmembreséparsseréunissentdanslerésultat.
LatraductiondanslaPléiadeparMaximilienRubel,estlasuivante(j’ai
rajoutéunephraseavantetunephraseaprès):
...lecaractèredel’objetnedoit-ilexercernulleinfluence,vraimentpas
lamoindre,surlarecherche?Lavéritéenglobenonseulementlerésultat,
maisaussilechemin.Larecherchedelavéritédoitelle-mêmeêtrevraie,la
vraierechercheestlavéritéépanouiedontlesmembreséparsseréunissent
danslerésultat.Etl’onvoudraitquelemodederecherchenechangepas
selonsonobjet!

ChapitreII
Principelocal-globaldebaseetsystèmesliné-
seriaExercices
Exercice30.
Soient
A

A
m
×
n
,
B

A
n
×
p
,et
r
,
s
avec
r
+
s>n
.
1.Si
AB
=0
alors
D
r
(
A
)
D
s
(
B
)=0
.
2.Engénéral,
D
r
(
A
)
D
s
(
B
)
⊆D
1
(
AB
)
.
3.Plusgénéralemen
q
tsi
r
+
s
>
n
+
q
,alorspourtoutmineur
µ
d’ordre
r
de
A
onal’inclusion
µ
D
s
(
B
)
⊆D
q
(
AB
)
.

Solutions
Exercice14.
1.
et
2.
Cas
m
=2
.Onaparmanipulationsélémentairesavec
e
1
=
r
1

r
2
=
r
1
+
s
1
r
2
=
r
2
+
s
2
r
1
,
ennotantque
e
1
r
2
=
r
2
et

r
2
(
r
2
s
1
)=

r
2
s
1
=
r
1
r
2

r
2
.

r
1
0
7−→
r
1
0
7−→
r
1
+
r
2
s
1
r
2
s
1
=
e
1
r
2
s
1
0
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
0e17−→
0
r
1
r
2
.
feEnoutreenposant
f
=
r
2
s
1
,
e
=1

f
et
P
=
ona
P
2
=I
2
,
er
1
=
r
1
,
efer
2
=
r
1
r
2
et

r
1
0
er
1
fr
2
r
1
fef
P
0
r
2
P
=
fr
1
er
2
P
=0
r
1
r
2
fe
=
r
1
e
+
f
0=
e
1
0
.
0
r
1
r
2
e
0
r
1
r
2
QQExercice15.
Onpose
b
i
=
j
:
j
6
=
i
a
j
.Onnote
ϕ
:
A

kn
=1
A
/
a
k
l’application
canonique.Écrivons
a
ij
+
a
ji
=1
pour
i
6
=
j
avec
a
ij

a
i
,
a
ji

a
j
.Onécrit
YY1=
k
:
k
6
=
i
(
a
ik
+
a
ki
)=
k
:
k
6
=
i
a
ki
+
b
i
=
e
i
+
b
i
(#)
avec
b
i

a
i
et
e
i

b
i
,donc
e
i

0mod
b
i
et
e
i

1mod
a
i
(+)
Enconséquence,pour
x
1
,...,x
n

A
nXϕe
i
x
i
=(
x
1
mod
a
1
,...,x
n
mod
a
n
)
1=icequimontreque
ϕ
estsurjective.Lethéorèmedefactorisationdonnealors

8

ComplémentsduchapitreII

nTQl’isomorphisme
θ
:
A
/
a

i
A
/
a
i
caronaévidemment
Ker
ϕ
=
k
=1
a
k
=
a
.
Lescongurences
(+)
montrentqueles
π
(
e
i
)

A
/
a
donnentpar
θ
lesy
Q
stèmefonda-
mentald’idempotentsorthogonauxassociéàlastructuredeproduit
i
A
/
a
i
.Vus
dansceproduit,lesélémentsde
a
1
sontceuxdontlapremièrecoordonnéeestnulle:
ilsformentdoncbienl’idéalengendrépar
ϕ
(1

e
1
)
.Autrementditenremontant
dans
A
/
a
,
π
(
a
1
)=
π
(
h
1

e
1
i
)
,etenremontantdans
A
,
a
1
=
a
+
h
1

e
1
i
.
nnQTL’égalité
k
=1
a
k
=
k
=1
a
k
sedémontreparrécurrencesur
n
pour
n
>
2
en
notantque
(#)
impliqueque
a
i
et
b
i
sontcomaximaux.Voyonsl’initialisation,
c’est-à-direlecas
n
=2
:si
x

a
1

a
2
etsi
a
+
b
=1
avec
a

a
1
et
b

a
2
,alors
x
=
ax
+
bx
,avec
ax

a
1
a
2
parceque
x

a
2
et
bx

a
1
a
2
parceque
x

a
1
,donc
x

a
1
a
2
.
Exercice30.
1.
Onpeutsupposer
r
6
n
.Onconsidèreunmineur
µ
d’ordre
r
de
A
,sansperte
degénéralitéonsupposelamatricecarréeextraitecorrespondante
A
1
situéedans
lecoinnord-ouest.Onécrit

XA1A
f
1
0
µ
I
r
0
A
=
,A
0
=
,A
0
A
=
YZ
0000

avec
µ
=det(
A
1
)
.Onpartage
B
en
B
1

A
r
×
p
et
B
2

A
(
n

r
)
×
p

BµB11B
=
,A
0
AB
==0
.
0B2Unmineur
ν
d’ordre
s
de
B
estledéterminantd’unematricecarréeextraite
C
dontaumoinsuneligneestdans
B
1
.Onexprimecemineur
ν
aumoyend’un
développementdeLaplaceenpartageant
C
endeuxparties,l’unecorrespondant
auxlignesempruntéesà
B
1
,l’autre,éventuellementvide,correspondantauxlignes
empruntéesà
B
2
.Onvoitque
µν
estdansl’idéalengendréparlescoefficients
de
µB
1
,donc
µν
=0
.Cequ’ilfallaitdémontrer.
2.
Ilsuffitd’appliquerlepoint
1.
avecl’anneau
A
/
D
1
(
AB
)
.
3.
Supposonsparexemple
r
+
s
>
n
+2
.Lemêmecalculquedanslepoint
1.
donnecettefois-ci
µ
2
D
2
(
B
1
)=
D
2
(
µB
1
)
⊆D
2
(
AB
)
.Onutiliseledéveloppement
deLaplacepourexprimer
ν
=det(
C
)
,lamatrice
C
amaintenantaumoinsdeux
lignesempruntéesà
B
1
,onobtientdonc
µ
2
ν
∈D
2
(
AB
)
.

ChapitreIII
Laméthodedescoefficientsindéterminés
Exercices
Exercice27.
(Mineursd’ordre2delamatricecotransposée)
Cetexerciceexplicitelepoint
8.
dulemme1.4.Etantdonnés
i
,
i
0

J
1
..n
K
distincts,
0onnote
ε
i,i
0
lasignaturedelapermutation
(
I,i,i
)

I
estlasuite
J
1
..n
K
privée
de
(
i,i
0
)
.Ouencoresi
(
e
1
,...,e
n
)
estlabasecanoniquede
A
n
,
ε
i,i
0
estdéfinipar
e
I

e
i

e
i
0
=
ε
i,i
0
e
1
∧∙∙∙∧
e
n
.
Ona
ε
i,i
0
=(

1)
i
+
i
0
+1
si
i<i
0
et
ε
i,i
0
=(

1)
i
+
i
0
sinon.
Soient
A
e
lacotransposéede
A

M
n
(
A
)
,
i
6
=
i
0
,
j
6
=
j
0
,
I
=
J
1
..n
K
\{
i,i
0
}
,
J
=
J
1
..n
K
\{
j,j
0
}
.Montrerque: