Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2005 1/7 MATHÉMATIQUES II Filière MP Notations : on désigne par le corps des nombres réels ou des complexes . Lorsque et , est le module de et . Pour les entiers et , on note : • le espace vectoriel des vecteurs avec pour . • les matrices à lignes et colonnes à coefficients dans ; et . On identifie et donc, en calcul matriciel un vecteur s'identifie avec la matrice colonne ayant les mêmes éléments. Pour , on note lorsqu'on veut préciser les éléments de ; quand le contexte est clair, on écrit simplement ou . Pour , est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont ceux de . Pour , désigne le spectre de , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs pro- pres de et . Pour , est la transposée de ; et pour , ( c'est-à-dire ). désigne le sous- ensemble des matrice symétriques de . Pour , et sont respectivement les sous-ensembles des matrices symétriques positives et définies positives de . On rappelle qu'une matrice symétrique est posi- tive (resp. définie positive) lorsque la forme quadratique qu'elle définit ne prend que des valeurs positives (resp. strictement positives) sur . Partie I - I.A - Dans cette partie, on munit de la norme soit .

• espace vectoriel des vecteurs


• cercle bordant le disque


• mn ic


• filière mp


• condition suffi- sante


• i–? ??


• ic zt

Sujets

• mathématiques
• mathématique

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Extrait

MATHÉMATIQUES II

Concours Centrale-Supélec 2002

1/6

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-

phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel

Dans tout le problème,

• les espaces vectoriels

et

sont munis de leur produit scalaire

canonique et orientés par leur base canonique,

• on désigne par

ou

le produit scalaire de deux vecteurs

d’un espace vectoriel euclidien, par

la norme associée,

• on désigne par

le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel

euclidien orienté de dimension 3.

Les vecteurs dans les espaces vectoriels

sont notés en colonnes, mais on leur

préférera la notation

, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande

taille.

Partie I - Étude dans

euclidien orienté de dimension 3

On considère dans cette partie

espace vectoriel euclidien orienté de

dimension 3 et la base canonique

orthonormale directe. Si

est dans

on définit

, endomorphisme de

, par sa restriction à

:

I.A -

Dans cette question on considère les endomorphismes

, de

matrices respectives

et

dans la base

:

Déterminer

et

, matrices respectives dans la base

de

et

.

IR

3

IR

4

,

IR

6

x

y

,

〈

〉

x

y

⋅

x

y

,

.

∧

IR

n

…

(

)

t

E

E

IR

3

=

B

e

1

e

2

,

e

3

(

,

)

=

u

L

E

(

)

u

~

E

B

u

~

e

1

(

)

u

e

2

(

)

u

e

3

(

)

∧

=

u

e

2

(

)

~

u

e

3

(

)

u

e

1

(

)

∧

=

u

~

e

3

(

)

u

e

1

(

)

u

e

2

(

)

∧

=



















u

1

u

2

,

L

E

(

)

∈

U

1

U

2

B

U

1

0

0

1

–

1

0

3

–

0

1

3

–





















=

U

2

0

1

1

0

1

1

–

0

1

1





















=

U

~

1

U

~

2

B

u

~

1

u

~

2