Concours Fesic mai

Description

Niveau: Supérieur
[ Concours Fesic mai 2006 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . Soit la fonction f qui, à tout point M d'affixe z, z différent de 1, associe le point M ? d'affixe z ? telle que z ? = 2z+1 z?1 . 1. f possède deux points invariants conjugués. 2. L'ensemble des points M d'affixes z tels que z ? ?R est l'axe des abscisses. 3. L'ensemble des points M d'affixes z tels que z ? = 2 est un cercle. 4. À tout point M ? du plan d'affixe z ?, on peut associer un point M d'affixe z tel que f (M)=M ? sauf au point M ? d'affixe z ? = 2. EXERCICE 2 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . On considère les complexes z1 de module 2 et d'argument π 3 , z2 = z1 et z3 = 1+ i.

• repère orthonormal


• équation différentielle


• complexes z1 de module


• tangente


• ?? e?t2


• plan complexe

Sujets

• Base orthonormale
• Équation différentielle
• Tangente
• Plan d'Argand
• exercice
• exercices

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mai 2006
• Nombre de lectures: 132
• Langue: Français

Extrait

[Concours Fesic mai 2006\

Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse,−1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.

E X E R C IC E 1 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O,u,v. ′ Soit la fonctionfqui, à tout pointMd’affixez,zdifférent de 1, associe le pointM ′ d’affixeztelle que 2z+1 ′ z=. z−1 1.fpossède deux points invariants conjugués. ′ 2.L’ensemble des pointsMd’affixesztels quez∈Rest l’axe des abscisses. ′ 3.L’ensemble des pointsMd’affixesztels quez=2 est un cercle. ′ ′ 4.À tout pointMdu plan d’affixez, on peut associer un pointMd’affixeztel ′ ′ ′ quef(M)=Msauf au pointMd’affixez=2.

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O,u,v. π On considère les complexesz 1 ,de module 2 et d’argument z 2 =z 1 etz 3 =1+i. 3 8 9 z×z 3 1 1.=4. 11 ¯ ¯ z 2 4 7 z×z 1 2 2.est un nombre réel. 6 z 3 p 4 3. ( z 1 −z 3 ) =28−16 3. 4.L’ensemble des pointsMd’affixeztelles que arg(z) = arg(z 3 ) est la droite d’équationy=x.

E X E R C IC E 3 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O,u,v. On considère le point A d’affixea=5−On appelle :i 3. π – B le point d’affixeb., image de A par la rotation de centre O et d’angle 3 – C le point d’affixec, milieu de [OA], 1 – D le point d’affixeddonnée pard−c=(b−a), 2 – E le point d’intersection des droites (AD) et (BC). p 1.Le point B a pour affixeb=3 3+i. 2.D est le milieu de [OB]. 3.E est le barycentre de {(B, 1) ; (C, 2)}. 4.La droite (OE) est perpendiculaire à (AB).

Concours FESIC

E X E R C IC E 4

1.La courbe représentant la fonctionx7−→sin(x) est la courbeC 2 .

2

1

−1

−2

2

1

−1

−2

2

1

−1

−2

2

1

−1

−2

mai 2006

2.On considère les trois courbes cidessous : la courbe représentant la fonction x+1 x−→7e estC 1 .

−3

−2

5

4

3

2

1

−1 −1

1

2

3.On considère la fonctionfreprésentée par la courbeCcidessous et la fonc tionFdéfinie sur [0 ; 4] par Z x F(x)=f(t) dt. 0

2

Concours FESIC

Fest croissante sur [0 ; 4]. 4.On considère les mêmes fonctionsfetFqu’auc. ′′ La fonctionFest deux fois dérivable sur [0 ; 4] et vérifieF(0)=0.

E X E R C IC E 5

−2

3

2

1

−1 −1

−2

−3

1

2

3

4

mai 2006

1.Soientf,gethtrois fonctions définies surR. On suppose que, quel que soit x∈R, on a :f(x) 6 g(x) 6 h(xlim), que f(x)=3 et que limh(x)=5. x→+∞x→+∞ Alorsg(x) admet une limite quandxtend vers+∞et cette limite est comprise entre 3 et 5. 1 − 2.Soitfla fonction définie parf(x)=e pourx6=0 etf(0)=0. On appelle (C) x sa courbe représentative dans un repère du plan. (C) possède une asymptote d’équationx=lim0 et f(x)=0. x→+∞ x>0 2 x x 3.La fonctionFdéfinie parF(x)=lnx−est une primitive de la fonctionf 2 2 ∗ définie parf(x)=xlnxsurR. + 4.Soientfla fonction définie parf(x)=2 lnxet (C) sa courbe représentative dans un repère du plan. (C) possède au point d’abscisse−1 une tangente d’équationy= −2x−2.

E X E R C IC E 6

Z n 2 ∗ −t 1.Soitula suite définie pour toutn∈Nparu n =e dt. On veut prouver 1 que la suiteuest convergente. On considère pour cela le raisonnement sui vant : ∗2 « Je choisism=0 etM=1. Soientn∈Nett∈[1 ;n], on at > t, donc Z n 2 £ ¤ n −t−t −t −t 0 6 e 6 . Il s’ensuit que 0e . 6 u n 6 e dt, soit 0 6 u n 6 −e , soit 1 1 −1−n∗ enfin 0 6 u n 6 e−e 6 1. Ceci étant vrai pour toutn∈N, la suite apparaît bornée parm=0 etM=1. 2 ∗ −t Soit de plusn∈N. La fonctiont7−→continue et positive sur [1 ;e est n].u n représente donc l’aire de la portion de plan comprise entre les droites d’équa tionsx=1,x=n,y=0 et la courbe représentant cette fonction. Cette aire

3

Concours FESIC

mai 2006

augmente quandnaugmente, ce qui se traduit par le fait que la suiteuest croissante. Conclusion :uest croissante et majorée par 1 donc la suiteuest conver gente. ». Ce raisonnement est exact. x 2.Soitfla fonction définie sur [0 ; ln 2] par :f(x)=(2x−On appelle (1)e . C) la courbe représentative defdans un repère du plan. On cherche à calculer l’aire de la portion de plan limitée par les droites d’équationx=0,x=ln 2,y=0 et la courbe (C). On considère pour cela le raisonnement suivant (et le rensei gnement ln 2≈ 0, 7) : x « La fonctionFdéfinie parF(x)=(2x−3)e est une primitive defsur [0 ; ln 2]. ′x x x Fest en effet dérivable sur [0 ; ln 2] etF(x)=2e+(2x−3)e=(2x−1)e . Z ln 2 £ ¤ ln 2 x On a :f(x) dx=(2x−3)e=(2 ln 2−3)×2−(−3)=4 ln 2−3≈ −0, 2. 0 0 Comme le résultat est négatif, c’est que l’aire cherchée est la valeur absolue de ce résultat, soit 0,2 unité d’aire ». Ce raisonnement est exact. 10 3.Soitfla fonction définie sur parf(x)=(1+x) . On cherche une approxima tion def(0, 001). On considère pour cela le raisonnement suivant : ′9 «fest définie et dérivable surR. Pourxréel,f(x)=10(1+xla courbe) et représentantfpossède une tangente au point d’abscisse 0 d’équationy= ′ x f(0)+f(0), soity=10x+1. On en déduit quef(0, 001)≈10×0, 001+1, soit f(0, 001)≈1, 01. » Ce raisonnement est exact. 4.Soit D l’ensemble des valeurs réellesxtelles que sinx6=0. Soitfla fonction cosx définie sur D par :f(x)=. On veut prouver quefest décroissante sur D. sinx On considère pour cela le raisonnement suivant : «fest une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont dérivables sur D et dont le dénominateur ne s’annule pas sur D. On en déduit qu efest déri vable sur D. 2 2 −sinx−cosx ′ ′ Pourx∈D , on af(x)=. Pour toutx∈D, on af(x)<0. 2 sinx Comme le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fo nction, c’est quefest strictement décroissante sur D. » Ce raisonnement est exact.

E X E R C IC E 7 ′ −x Soit (E) l’équation différentielle :y+2y=e sinx. 1 Soitfla fonction définie parf(x)= −(cosx−sinx). 2 ′ 1.fest dérivable surRet, pourx∈R,f(x)=sinxcosx. Z (n+1)π 1 ¡ ¢ ′ −nπ−π 2.Pourn∈N,f(x) dx=e e+1 . nπ 2 3.fest l’unique solution de l’équation (E) qui s’annule en 0. 4.Sigest une solution de (E), la courbe représentantgpossède une tangente au point d’abscisse 0 dont une équation est donnée pary=(1−2x)g(0).

E X E R C IC E 8 ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal O,u,v. µ ¶ 3x+2 Soitfla fonction définie parf(x)=ln . On appelleD f l’ensemble de défini 5x tion def.

4

Concours FESIC

mai 2006

∗ 1.D f =R. + ½ ¾ −2 2.Soitgune fonction définie et dérivable surD g =R−telle que quel0 ; 3 3 1 ′ que soitx∈D g ,g(x)= −.fetgsont égales à une constante additive 3x+2x près. f(x) 2 3.lim= −. x→1 x−1 5 4.limx f(x)=0. x→0 x>0

E X E R C IC E 9 ∗3x Soientλ∈Ret les fonctionsf 1 etf 2 définies surRparf 1 (x)=e , + 2x2x f 2 (x)= −λe+2λe . On appelleC 1 etC 2 leurs courbes représentatives dans un repère du plan. 1.C 1 etC 2 se coupent au point A(lnλ; 3λ). ∗ itλ∈Rdessus deC 2 . 2.Quel que so + ,C 1 est au 3.Il existe un point B en lequelC 1 etC 2 possèdent la même tangente. 4.Lorsqueλest supérieur à 1, l’aire de la portion du plan comprise entre les courbesC 1 etC 2 et limitée par les droites d’équationx=0 etx=lnλest, en 3 (λ−1) unités d’aire, . 3

E X E R C IC E 10 On considère une suitevstrictement croissante dont tous les termes appartiennent à l’intervalle [0 ;π]. On définit les suitescetspourn∈Nparc n =cos (v n ) ets n =sin (v n ). 1.La suitevconverge versπ. 2.La suitecest croissante. 3.La suitesest périodique. π 4.Les suitescetssont adjacentes si et seulement si la suitevconverge vers . 4

E X E R C IC E 11 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal O,u,v. 2nπ i On considère la suite (z n ) définie pourn∈Nparz n =e et on appelleA n le point 3 d’affixez n . 1.Quel que soitn∈N,A n appartient au cercle de centre O et de rayon 1. 2.Quel que soitn∈N, | z n+1 −z n | = | z 1 −1 | . 3.La suite (z n ) est périodique de période 5. 4 X 4.=z 0 +z 1 + ∙ ∙ ∙ +z 4 =0. k=0

E X E R C IC E 12 µ ¶ 1 1 ∗ On considère la suiteudéfinie pourn∈Npar :u 1 =1 etu n+1 = +u n . 2 n n n ∗ 1.Pourn∈N, on au n =. (n−1)! 2.La suiteuest croissante.

5

Concours FESIC

mai 2006

µ ¶ n−2 3 ∗ 3.Quelque soitn∈N, si on an > 2, alors on aura : 0 6 u n 6 2×. 4 4.La suiteuest convergente et de limite nulle.

E X E R C IC E 13 On considère un espace probabilisé fini (Ω,p) dans lequel un évènement A a les trois possibilités A 1 , A 2 , et A 3 deux à deux distinctes de se produire et un évènement B a les deux possibilités B 1 et B 2 distinctes de se produire. Le tableau suivant donne en pourcentages la probabilité de certains évènements de se produire par rapport à l’universΩ.

A 1 A 2 A 3 Total / A B 1 20 B 2 30 Total / B 10 100 1 On donne aussi les renseignements suivants :p(A 2 ) =60 % etp B (A 3 ) =. 1 6 1.A 1 et B 1 sont incompatibles. 2.La probabilité d’obtenir B 1 est 24 %. 3.Si A 3 est réalisé, la probabilité d’obtenir A 3 et B 1 est 4 %. 4.La probabilité d’obtenir A 3 et B 1 est 4 %.

E X E R C IC E 14 Une rampe lumineuse est constituée d’ampoules bleues, rouges ou jaunes prove nant de deux usines U 1 et U 2 . U 1 produit 60 % de ces ampoules. La durée de vie en années de chacune de ces ampoules suit une loi exponentielle dont les paramètres sont les suivants :

Ampoules de U 1 Ampoules de U 2

Ampoules bleues λ B 1 =0, 25 λ=0, 2 B 2 0

Ampoules rouges λ R 1 =0, 20 λ R =0, 15 2

Ampoules jaunes λ J =0, 15 1 λ=0, 10 J 2

1.nt qu’elleLa probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans sacha ¡ ¢ −1 vient de U 1 6 1est 0, −e . 2.La probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans est −1,25−1 1−0, 6e−.0, 4e 3.La probabilité qu’une ampoule jaune dure entre 5 et 10 ans est ¡ ¢ ¡ ¢ −0,75−1,5−0,5−1 0, 6 e−e+e0, 4 −e . 4.La demivie en années d’une ampoule jaune de U 2 est 4 ln 2.

E X E R C IC E 15 Le schéma cidessous représente une situation de l’espace dans un repère approprié dont le centre est un point O. On sait que la droite d est orthog onale au plan P. On appelle A le point de coordonnées (2 ;−1 ;−2). P

6

Concours FESIC

x

P

2

−1

1

z

1

O

−2

1

d

mai 2006

1.Le plan P a pour équation cartésiennex−y−2z−1=0.  x= −2t  2.La droite d a pour équations paramétriques : y=1+2t ,t∈R  z=2+4t  x=2+2t  3.La demidroite [OA) a pour équations paramétriques : y= −1−t  z= −2−2t 1 4.La sphère de centre O et de rayon est cachée par P. 2

y

E X E R C IC E 16 ³ ´ −→−→ −→ L’espace est muni d’un repère orthonormal O,ı,,k. ½ 2 y−x=sinθ Pourθ∈R, on désigne par P et Q les plans d’équations respectives P : z∈R ½ 2 z−y=cosθ Q : . x∈R On appelleΔla droite d’intersection de ces deux plans. 1.Pour toutθ∈R, les plans P et Q sont orthogonaux. ½ z−x=1 2.Pour toutθ∈R, la droiteΔest contenue dans le plan d’équation y∈R 3.Pour toutθ∈R, la droiteΔest orthogonale au plan d’équationx+y+z=0. ³ ´ −→−→ 4.Il existe un réelθtel queΔO,soit parallèle au plan ı,.

7

,