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CONVERGENCE SIMPLE UNIFORME UNIFORME SUR TOUT COMPACT D UNE SUITE

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CONVERGENCE SIMPLE UNIFORME UNIFORME SUR TOUT COMPACT D UNE SUITE
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CONVERGENCE SIMPLE, UNIFORME, UNIFORME SUR TOUT COMPACT D'UNE SUITE D'APPLICATIONS
Contexte : SoitXune partie non vide d'unev. Soit (E, || . ||) un evn de dimension finie. Soit (n)nune suite d'applications deXdansE. Définitions : 1. On dit que la suite d'applications (n)nconverge simplement surXvers une applicationsi :
∀ ∈∀ε ∈∀ ∈ − ε ⇒ ε xX,+,N(x,ε) ,n ,(nN(x||, )n(x) (x)|| )
Ce qui revient à dire :
Pour chaquexXfixé, la suite (n(x))nconverge vers(x) (pour la norme || . || deE)
On note alors :
C S n surX
2. On dit que la suite d'applications (n)nconverge uniformément surXvers une applicationsi :
On note alors :
,n, (nN(ε)xX ∀ε+,N(ε) ,||n(x)(x)||ε)
C U n surX
3. On dit que la suite d'applications (n)nconverge uniformément sur tout compact deXvers une application si : C U Pour tout compactCdeX,n surC. C C On note alors :n surX
Comparaison de ces différents modes de convergence : C U 1. Supposonsn surX. SoientxXetε+. Par hypothèse, on a : N(ε),n, (nN ||n(x)(x)||ε) C S Ce qui prouve :n surX Donc :la convergence uniforme entraîne la convergence simple C U 2. Supposonsn surX. C U SoitCun compact deX. Alors :n surC. C C Ce qui prouve :n surX Donc :la convergence uniforme entraîne la convergence uniforme sur tout compact On verra plus loin des les réciproques de ces deux implications sont fausses. Auparavant, nous devons approfondir la notion de convergence uniforme.
Convergence d'une suite d'applications
Page1
G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
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