CONVERGENCE SIMPLE UNIFORME UNIFORME SUR TOUT COMPACT D UNE SUITE

Costantini

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Extrait

CONVERGENCE SIMPLE, UNIFORME, UNIFORME SUR TOUT COMPACT D'UNE SUITE D'APPLICATIONS

Contexte : SoitXune partie non vide d'unev. Soit (E, || . ||) un evn de dimension finie. Soit ( n ) n∈ une suite d'applications deXdansE. Définitions : 1. On dit que la suite d'applications ( n ) n∈ converge simplement surXvers une applicationsi :

∗ ∀ ∈∀ε ∈∃∀ ∈ − ε ⇒ ε xX, + ,N(x,ε)∈ ,n ,(nN(x||, ) n (x) (x)|| )

Ce qui revient à dire :

Pour chaquex∈Xfixé, la suite ( n (x)) n∈ converge vers(x) (pour la norme || . || deE)

On note alors :

C S  n → surX

 2. On dit que la suite d'applications ( n ) n∈ converge uniformément surXvers une applicationsi :

On note alors :

∗ ,∀n∈, (nN(ε)⇒∀x∈X ∀ε∈ + ,∃N(ε)∈ ,|| n (x)−(x)||ε)

C U  n → surX

3. On dit que la suite d'applications ( n ) n∈ converge uniformément sur tout compact deXvers une application si : C U Pour tout compactCdeX, n → surC. C C On note alors : n → surX

Comparaison de ces différents modes de convergence : C U 1. Supposons n → surX. ∗ Soientx∈Xetε∈ + . Par hypothèse, on a : ∃N(ε),∀n∈, (nN⇒ || n (x)−(x)||ε) C S Ce qui prouve : n → surX Donc :la convergence uniforme entraîne la convergence simple C U 2. Supposons n → surX. C U SoitCun compact deX. Alors : n → surC. C C Ce qui prouve : n → surX Donc :la convergence uniforme entraîne la convergence uniforme sur tout compact On verra plus loin des les réciproques de ces deux implications sont fausses. Auparavant, nous devons approfondir la notion de convergence uniforme.

Convergence d'une suite d'applications

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