CORPS DE FONCTIONS DE VARIÉTÉS HOMOGÈNES ET COHOMOLOGIE GALOISIENNE

Emmanuel Peyre

Description

CORPS DE FONCTIONS DE VARIÉTÉS HOMOGÈNES ET COHOMOLOGIE GALOISIENNE? Emmanuel Peyre Résumé. — Soit V une variété de drapeaux généralisée sur un corps k. Il existe alors des extensions finies ki de k pour 1 6 i 6 m, des éléments ?i du groupe de Brauer de ki et une suite exacte naturelle m ? i=1 k?i Nki/k(.??i)?????????? Ker ( H3(k,Q/Z(2))?H3(k(V ),Q/Z(2)) ) ?CH2(V )tors?0. où Hi(k,Q/Z(2)) désigne le groupe de cohomologie galoisienne à valeur dans Q/Z tordu deux fois et CH2(V ) le groupe de Chow des cycles de codimension deux modulo l'équivalence ration- nelle. Abridged English Version – For any field L we denote by Ls a separable closure of L. For any discrete Gal(Ls/L)-module M , Hi(L,M) is the Galois cohomology group of degree i with coefficients in M . If L? is a finite extension of L, we denote by NL?/L the corestriction map from Hi(L?,M) to Hi(L,M). If ai belongs to k? for 1 6 i 6 n then (ai) denote their images in H1(k,Z/2Z) and (a1, .

• adhérence de l'image dans vj de la double


• tors ?


• variété de drapeaux


• cône


• groupe algébrique


• modules de permutation


• iso- morphismes k2ks ?˜


• morphisme

Sujets

• maths
• mathématiques
• mathématique

Informations

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Extrait

CORPS DE FONCTIONS DE VARIÉTÉS HOMOGÈNES ET ∗ COHOMOLOGIE GALOISIENNE

Emmanuel Peyre

Résumé. — SoitVune variété de drapeaux généralisée sur un corpsk. Il existe alors des extensions finiesk i dekpour16i6m, des élémentsα i du groupe de Brauer dek i et une suite exacte naturelle m N( M k /k .∪α i )   ∗3 3 2 i k−−−−−−−−→KerH(k,Q/Z(2))→H(k(V),Q/Z(2))→CH (V) tors →0. i i=1 i oùH(k,Q/Z(2))désigne le groupe de cohomologie galoisienne à valeur dansQ/Ztordu deux 2 fois etCH (V)le groupe de Chow des cycles de codimension deux modulo l'équ ivalence ration- nelle.

s Abridged English Version– For any fieldLwe denote byLa separable closure ofL. For s i any discreteGal(L /L)-moduleM,H(L, M)is the Galois cohomology group of degreei ′ with coefficients inM. IfLis a finite extension ofL, we denote byN ′ the corestriction L /L i′i∗ map fromH(L , M)toH(L, M). Ifabelongs tokfor16i6nthen(a)denote i i 1 their images inH(k,Z/2Z)and(a , . . . , a)the cup-product(a)∪ ∙ ∙ ∙ ∪(a). The Galois 1n1n i cohomology groups with coefficients inQ/Ztwisted twice are denoted byH(L,Q/Z(2)) and the Brauer group ofLbyBrL. s LetVbe an integral smooth variety over a fieldL. ThenVdenotes the productV× SpecL s i SpecL. The function field ofVis denoted byL(V). The groupCH (V)is the Chow group of cycles of codimensionimodulo rational equivalence. For anyi>0, the sheafKis the i sheaf for Zariski topology corresponding to the presheaf which maps an open setUtoK(U), i thei-th group of Quillen'sK-theory. A generalized flag variety overLis a projective variety overLwhich is homogeneous under the action of a connected linear algebraic group. Theorem1. —LetVbe a generalized flag variety over a fieldk. LetGbe the Galois group s s ofkoverk. Then the Picard group ofVis a permutation module. Thus it may be written as L n Z[G/H]where the groupsHare open subgroups ofG. Letkbe the corresponding i=1 ii i fields. There exist elementsαofBrkand a natural complex i i m M N k /k (.∪α i ) ∗3 3 i k−−−−−−−→H(k,Q/Z(2))→H(k(V),Q/Z(2)) i i=1

∗ C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math.321(1995), 891–896