Correction de la feuille V
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Description

Correction de la feuille V On designe par K le corps R ou C et par |?| le module de ? ? K. Attention, on donne ici des indications et on n'explicite pas tous les calculs demandes, qui sont absolument a faire cependant. Exercice 1. (Produit scalaire standard sur Kn) — 1-a. Rappelons qu'une norme n est issue d'un produit scalaire ssi cette norme verifie l'identite du parallelogramme : ?a, b ? E, n2(a + b) + n2(a? b) = 2(n2(a) + n2(b)). - Pour n = 1, les deux normes ? ? 1 et ? ? ∞ sont bien issues d'un produit scalaire, puisque ?x? 1 = ?x? ∞ = |x| et que |x| = √ (x|x), ou (x|y) = xy. - Pour n ≥ 2, les deux normes ? ? 1 et ? ? ∞ ne sont pas issues d'un produit scalaire. En e?et, posons par exemple a = (1, 1, 0, · · · , 0) et b = (1, 0, · · · , 0). On a alors ?a + b? ∞ = 2, ?a ? b? ∞ = 1, ?a? ∞ = 1, ?b? ∞ = 1.

  • somme partielle

  • ?a ? πf

  • equivalents complexes des matrices symetriques

  • x3 ?

  • matrice de passage

  • nu? ≤

  • rang


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Langue Français

Exrait

Correction de la feuille V
Onde´signeparKle corpsRouCet par|α|le module deαKon donne ici des. Attention, indicationsetonnexplicitepastouslescalculsdemande´s,quisontabsolument`afairecependant.
n Exercice 1.(Produit scalaire standard surK) —1a.Rappelons qu’une normenest issue dunproduitscalairessicettenormev´erielidentit´eduparalle´logramme:
2 22 2 a, bE, n(a+b) +n(ab) = 2(n(a) +n(b)).
- Pourn= 1, les deux normes 1et sont bien issues d’un produit scalaire, puisque x1=x=|x|et que|x|= (x|xu`o,)(x|y) =xy. - Pourn2, les deux normes 1et ne sont pas issues d’un produit scalaire.En effet, posons par exemplea= (1,1,0,∙ ∙ ∙,0) etb= (1,0,∙ ∙ ∙,a alors0). Ona+b= 2,ab= 1,a= 1, b= 1.Pour 1, posons par exemplea= (1,1,0,∙ ∙ ∙,0) etb= (2,0,∙ ∙ ∙,0). 1b.SoitB= (a1, a2, a3,)`oua1= (1, i,i), a2= (1,0, i), a3= (0,1,1imontrer que). PourBest 3 une base deCensslonoseocnoltriceamatlescdontlreluclaledgnaretceunp,odoor´enndeessaidans la base canonique et montre que celui-ci est 3. 3 Trouverunebaseorthonorme´eNdeC, telle que la matrice de passage deNa`Bsoit triangulaire, revient`adirequelabaseN= (n1, n2, n3) est telle quevect(n1) =vect(a1),vect(n1, n2) =vect(a1, a2). Leproc´ed´edorthonormalisationdeGram-SchmidtvadonnerlabaseN. a1 2 22 - On aa1+= 11ii+ (i)(i) =|1|+|i|+| −i|posons= 3,n1= . 3 1  - Soitn=a(a|n)n= (1,2i,5i). On a/10. 2 22 1 1n= 10/:3. On posen2= 3n2 2 3  |n)netn- Enfin on pose :n=a3(a3|n1)n1(a3 3 2 2n3=3n. 3 4 1c.SoitF={(x, y, z, t)R;x+yt= 0}trouver une bon de. PourF, on trouve une base de Fotemrlaohonotr´ddeoc´eleprlisenutiidhmoutpndredu´etasidnoiarGecS-mriueenob.n Exercice 2.(Produit scalaire surKn[X]) —SoitE=K3[Xr´eedegpaesl]psloecedemdsnyoˆ3, `acoecientsre´elsoucomplexes,maisa`variablere´elle(pourinte´grerdesfonctionsr´eelles!),munidu produit scalaire (P|Q) =P Qnote. On la norme issue de ce produit scalaire. [0,1] 3 23 4 2a.IciK=Ra (1. On+X|1X+X1) =X+XX= 11/3 + 1/41/5 et [0,1] 2 22 4 1 +X= 1+ 2X+X= 1 + 2/3 + 1/eed´ermnUonh5o.arsteeboEest par exemple obtenue [0,1] 2 3 `apartirdelabase(1, X, X, Xp)Schmidt.ndeGram-silaoitaohtrmrond´´eoedlearocpr  2b.On suppose iciK=C. SoitF={P(X)E;P(0) =P(0), P(0) =iP(0)}. Une i 2 3 base deFest par exemple (P(X+) = 1XX ,X.O)ndnedu´etinubesadeeFeproc´ed´eaplr 2    3 33 6 3 3 d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.On a :X=X X=X X=X= [0,1] [0,1] [0,1] 3  1/7, on poseA(X7) =XetB(X) =P(X)(P|A)A(X), puisB=B /B. Lafamille (A, B) est alors une bon deFonogdeale´tehtroeL.jorpQ(X) = 1iXsurFestR= (Q|A)A+ (Q|B)Bet la distance deQ(Xa`)FestQR. CommeFest de dimension finie, on sait que :FF=E, et que si (A, B,G) est une bon deE, ⊥ ⊥ Gest une bon deFouecfl(cbenU.)srpusudesamentpl´eorthairelagonoFdeFneeotdsconde´nen compl´etant(A, B) parGen une bon deEO.cnmo(drobaurceladpl`etepoA, B) en une base deE, par ` exemple :(1, X, A, B) est une base deE. Ace stade, (1, X) n’est pas une base deF. Onapplique alors lalgorithmedeGram-Schmidt`a1etX, pour obtenir une baseGtelle que (A, B,G) soit une bon deE. Remarque.On peut aussi remarquer quePFssi pour toute base (v1,∙ ∙ ∙, vn) deF, (P|v1) =∙ ∙ ∙= (P|vnneusdntCe).sebaennodicels´me´eest´leurogohilanlretrotdev´eri=0(ilsu)
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