Coucours Fesic mai 2005

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Coucours Fesic mai 2005

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Concours Fesic mai 2005
Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. + 1 si bonne réponse,1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.
EXERCICE1   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormalO,u,v. On considère   2 z la fonctionfqui, à tout complexeznon nul, associe le complexe :z=f(z)=. |z| SoientzC{0} etz=f(z). On appelleMle point de coordonnées (x;y) d’affixez    etMle point de coordonnées (x;y) d’affixez. 2 2 xy2x y   a. Onax=ety=. 2 22 2 x+y x+y b.zRsi et seulement siMappartient à l’axe des ordonnées.   8 c.f(1+un nombre réel.i) est d. Ilexiste un et un seul pointMtel queMetMsoient confondus.
EXERCICE2   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormalO,u,v. SoitmR. On considère les points A, J, K et M d’affixes respectiveszA=1+i,zJ= i,zK=2+i etzM=1+im. SoitNle symétrique deMpar rapport à A.
a. LepointNa pour affixe 1+i(2m). b. Quelque soitmR, K est l’image deNpar la translation de vecteur JM. c. Ilexiste une valeur demet une seule telle que K soit l’image de J par la rotation π de centreMet d’angle. 2 d. Soitm=2. Pour prouver que les droites (OA) et (MK) sont perpendiculaires, il faut et il suffit de prouver quezA(zKzM)=0.
EXERCICE3 2π1i On appellezet on posele complexe de module 2 et d’argumentt=. 3 2 n a. SoitnZ.test un nombre réel si et seulement sinest un multiple de 4. 2 πz b. estun argument de. 3 12 t 10 9 c. Lapartie réelle dezest2 . 2 8 d. 1+t+t+ ∙ ∙ ∙ +t=1.
EXERCICE4 On considère la courbe (C) cidessous, la droiteΔ:x=2 et l’axe des abscisses étant asymptotes à (C). On appellefla fonction représentée par (C) etgla fonction définie parg(x)=ln[f(x)].