Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

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Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

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Extrait

Universit´e Mohammed V
Facult´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiques
& d’Informatique
Rabat, Maroc
1Cours d’Analyse 4
Zine El Abidine ABDELALITable des mati`eres
Chapitre 1. Notions sur la topologie deR 7
1. Rappel de quelques propri´et´es deR. 7
2. Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass. 8
3. Suites de Cauchy dansR. 9
4. Notions sur la topologie deR. 11
5. Applications continues et parties compacts. 14
o6. S´erie n 1 15
Chapitre 2. S´eries num´eriques 21
1. Suites dansC. 21
2. S´eries num´eriques. 21
3. S´eries num´eriques `a termes positifs. 25
4. R`egles de convergence. 26
5. Comparaison s´erie-integrale. 28
6. S´erie `a termes r´eels ou complexes. 29
o7. S´erie n 2. 33
Chapitre 3. Espaces vectoriels norm´es 39
1. D´efinitions g´en´erales. 39
2. Espaces vectoriels norm´es de dimension finie. 49
o3. S´erie n 3. 55
Chapitre 4. Suites et s´eries de fonctions 59
1. Suites de fonctions. 59
2. Diff´erents types de convergence pour les s´eries de fonctions. 63
3. S´eries enti`eres. 67
o4. S´erie n 4. 75
Chapitre 5. Int´egrales d´ependant d’un param`etre 83
1. Rappels 83
56 Z. ABDELALI
2. Int´egrales propre d´ependant d’un param`etre 83
o3. S´erie n 5. 84
Chapitre 6. Calcul diff´erentiel 91
1. Applications diff´erentiables. 91
2. D´eriv´ees partielles et applications continument diff´erentiables. 94
k3. C diff´eomorphismes. 97
4. D´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieure. 99
5. Extremums relatifs. 101
o6. S´erie n 6. 102CHAPITRE 1
Notions sur la topologie deR
1. Rappel de quelques propri´et´es deR.
Propriet´e 1.1. (Caract´erisation deR) L’ensembleR poss`ede les propri´et´es sui-
vantes :
1) (R,+,.,≤) est un corps comutatif totalement ordonn´e,
2)R v´erifie la propri´et´e de la borne sup´erieure,
3)R est un corps archim´edien.
Exercices 1.1. 1) D´eduire de la propri´et´e 1.1, que R v´erifie la propri´et´e de la borne
inf´erieure.
2) Montrer que si (u ) est une suite croissante major´ee (resp. d´ecroissante minor´ee), alorsn n
elle est convergente et on a lim u = supu (resp. lim u = inf u ).n n n n
n→∞ n→∞ n∈Nn∈N
3) V´erifier que la suite (1/n) ∗ converge vers 0.n∈N
Remarque 1.1. Pour tout x∈R on peut d´efinir :
1) La valeur absolue |x| = max{−x,x}.
• L’existence de la valeur absolue d´ecoule de 1) propri´et´e 1.1.
2) La partie enti`ere [x] qui n’est autre que l’unique entier relatif v´erifiant [x]≤x< [x]+1.
•L’existencedelapartieenti`ered´ecoulede2)propri´et´e1.1,etlefaitqueNestbien-ordonn´e.
D´efinition 1.1. Un sous ensemble A deR est dit dense dansR si tout ´el´ement de
R est une limite d’une suite d’´el´ements de A.
Proposition 1.1.Q dense dansR.
D´emonstration. Soit x∈R, alors on a
n n[10 ·x] [10 ·x]+1
≤x< ,
n n10 10
ainsi
n[10 ·x]
x = lim .
nn→∞ 10
76
8 Z. ABDELALI
Exercices 1.2. 1) Montrer queR\Q dense dansR.
2) Montrer q’un sous ensemble A deR est dense dansR si, et seulement si, tout intervalle,
non vide, ]a,b[ deR contient un ´el´ement de A.
23) Pour tout (x,y) ∈R , si x < y, alors ]x,y[ contient une infinit´e de rationnels et une
infinit´e d’irrationnels.
2. Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
D´efinition 1.2. Soit (u ) une suite r´eelle, on appelle sous suite extraite de (u ) ,n n n n
toute suite de la forme (u ) ou` σ : N −→N est une application strictementσ(n) n
croissante.
Remarque 1.2. 1) On a pour tout entier n, σ(n)≥n.
2) On a (u ) , (u ) , (u ) , (u ) , (u ) , (u ) sont des sous suites extraites den n 2n n 2n+1 n 3n n 3n+1 n 3n+2 n
la suite (u ) .n n
3) Si (k ) est une suite d’entier strictement croissante, alors (u ) est une sous suiten n k nn
extraite de (u ) .n n
4) Une sous suite extraite d’une sous suite extraite de (u ) est une sous suite extraite den n
(u ) .n n
Proposition 1.2. Soit (u ) une suite r´eelle, on an n
1) si (u ) converge vers une limite l, alors toute sous suite extraite de (u )n n n n
converge vers l.
2) si (u ) tend vers +∞ (resp. −∞), alors toute sous suite extraite tend versn n
+∞ (resp. −∞).
D´emonstration. Exercice.
Remarque 1.3. 1) Si deux sous suites extraites d’une suite (u ) convergent vers deuxn n
limites diff´erentes, alors la suite est divergente.
2) La proposition pr´ec´edente donne une m´ethode pour d´emontrer que certaines suites ne
nsont pas convergentes. Par exemple la suite ((−1) ) est divergente, carn
lim u = 1 =−1 = lim u .2n 2n+1
n→∞ n→∞
Corollaire1.1. Soit(u ) une suite r´eelle, Alors(u ) tend vers une limite, finie ou infinie,n n n n
l si et seulement si (u ) et (u ) tendent vers l.2n n 2n+1 nCours d’Analys 4, SM -SMI 93 3
D´emonstration. Exercice.
Une propri´et´e ´equivalente a` celle de la borne sup´erieure et le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1.1. (de Bolzano-Weierstrass) Toute suite r´eelle born´ee admet une
sous suite extraite convergente.
D´emonstration. Soit (u ) une suite born´ee. Il existe un segment [m,M] qui contientn n∈N
tous les ´el´ements de la suite (u ) . Soient (a ) et (b ) les deux suites d´efinies par a =n n∈N n n n n 0
a +bn nm, b =M, et si {k∈N : u ∈ [a , ]} est infini0 k n 2
a +bn n
a =a et b =n+1 n n+1
2
dans l’autre cas
a +bn n
a = et b =bn+1 n+1 n
2
M−malors on a (a ) est une suite croissante, (b ) est une suite d´ecroissante etb −a = → 0.n n n n n n n2
Donc (a ) et (b ) convergent vers une mˆeme limite l, en effet, l c’est sup{a : n ∈ IN}.n n n n n
Rappelons que pour tout entiern l’intervalle [a ,b ] contient une infinit´e de termes de la suiten n
(u ). Posons k = 0 et choisisons pour tout n> 0 un entier k v´erifiantk 0 n
k > max{k ,...,k } et u ∈ [a ,b ]n 0 n−1 k n nn
Alors (u ) est une sous suite extraite de (u ) et on a lim u =l.k n n n kn n
n→∞
3. Suites de Cauchy dansR.
D´efinition 1.3. Une suite (u ) est appel´ee suite de Cauchy si elle v´erifie lan n∈N
propri´et´e suivante, appel´ee crit`ere de Cauchy :
∀ε> 0, ∃N ∈N : ∀n≥N, ∀m≥N, |u −u |<ε.n m
Le crit`ere de Cauchy peut ˆetre aussi s’´enoncer ainsi :
∀ε> 0, ∃N ∈N : ∀n≥N, ∀p≥ 0, |u −u |<ε.n+p n
Exercices1.3. V´erifier qu’une suite (u ) est de Cauchy si, et seulement si lim M = 0n n∈N n
n→∞
ou`
M = sup|u −u | = 0.n n+p n
p∈N10 Z. ABDELALI
Attention 1.1. La suite (ln(n+1)) , est une suite qui v´erifie pour chaque entier p fixen
n+p+1
|u −u | =|ln( )|n+p n
n+1
donc
lim |u −u | = 0n+p n
n→∞
Mais (ln(n+1)) n’est pas une suite de Cauchy car par exemple on a pour tout n∈Nn
|u −u | = ln(2)6→ 0.2n+1 n
Proposition 1.3. Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
D´emonstration. Soit (u ) une suite convergente vers une limite l, alors on a :n n∈N
∀ε> 0, ∃N ∈N : ∀n≥N, |u −l|<εn
par suite
∀n≥N, ∀m≥N, |u −u |≤|u −l|+|l−u |< 2ε.n m n m
Proposition 1.4. Toute suite de Cauchy est born´ee.
D´emonstration. Soit (u ) une suite de Cauchy. Pour ε = 1, il existe un entier Nn n∈N
tel que pour tout n ≥ N, |u −u | < 1 ainsi |u | ≤ 1 +|u |. D’ou` pour tout n ∈N on an N n N
|u |≤M, ou` M = max{|u |,|u |,...,|u |,|u |+1}.n 0 1 N−1 N
Th´eor`eme 1.2. Toute suite de Cauchy est convergente.
D´emonstration. Soit (u ) une suite de Cauchy. Donc elle est born´ee, d’apr`es len n∈N
th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass il existe une sous suite extraite (u ) qui converge versσ(n) n∈N
une limite l. Montrons que (u ) converge vers l. Soit ε> 0, alors il existe un entier N teln n∈N 1
que
∀n≥N , |u −l|<ε1 σ(n)
il existe aussi un entier N tel que2
∀n,m≥N , |u −u |<ε2 n m
Posons N = max{N ,N }, pour tout n≥N on a :1 2
|u −l|≤|u −u |+|u −l|< 2ε.n n σ(N) σ(N)
On dit alors queR est un espace complet.