Cours de mathématiques

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COURS DE MATHEMATIQUES
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La continuite
Generalites
Ce cours porte exclusivement sur la notion de continuite relative aux fonc-
tions reelles.
1 L’idee generale
La continuite d’une fonction reelle peut se traduire par le fait que sa
courbe representative peut ^etre tracee d’un seul tenant, sans lever le crayon.
2 La theorie
2.1 La continuite en un point
Soit f une fonction reelle, et a2R.
La fonction f est continue en a lorsque f est de nie sur un intervalle ouvert
contenant a, et que f admet une limite en a, egale a:
f(a) = lim f(x) = lim f(a + h)
x!a h!0
12.2 La continuite sur un intervalle
Soit f une fonction reelle, et I un intervalle ouvert.
La fonction f est continue sur l’intervalle I lorsque f est continue en tout
point de I.
2.3 La continuite et la derivabilite
Soit f une fonction reelle, et I un intervalle ouvert.
Si la fonction f est derivable sur l’intervalle I, alors f est continue sur I.
3 Attention!
Avant d’etudier la continuite d’une fonction, il faut absolument determiner
son ensemble de de nition, que l’enonce le precise ou le neglige; ce doit ^etre
un re exe.
4 Par c ur
Les fonctions polyn^ omes, la fonction sinus, la fonction cosinus, la fonction
exponentielle sont continues surR.
+La fonction racine carree est continue surR .
+La logarithme neperien est continue surR .
?
Une fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles ou elle est
de nie.
25 Exercices pratiques
5.1 Exercice 1
2Soit la ...

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Lacontinuite

Generalites Cecoursporteexclusivementsurlanotiondecontinuiterelativeauxfonc- tionsreelles.

1 L’ideegenerale Lacontinuited’unefonctionreellepeutsetraduireparlefaitquesa courberepresentativepeutˆetretraceed’unseultenant,sansleverlecrayon. 2 Latheorie 2.1 Lacontinuite en un point Soitftell,efoncunereetiona∈R. La fonctionfestcontinueenalorsquefedstrtalleouvenunietvreinseru contenanta, et quefadmet une limite enaeg,:alae f(a) = limf(x) = limf(a+h) x→a h →0

1

2.2 Lacontinuite sur un intervalle Soitfeer,ellteneuncfoontiIun intervalle ouvert. La fonctionfestcontinuesur l’intervalleIlorsquefest continue en tout point deI.

2.3 Lacontinuite et la derivabilite Soitfneuetreell,eofcnitnoIun intervalle ouvert. Si la fonctionfvaerellrlsunt’irevibaeletsdI, alorsfest continue surI.

3 Attention! Avantd’etudierlacontinuited’unefonction,ilfautabsolumentdeterminer sonensemblededenition,quel’enoncelepreciseouleneglige;cedoitˆetre unreexe.

4Parcur Lesfonctionspolynoˆmes,lafonctionsinus,lafonctioncosinus,lafonction exponentielle sont continues surR. + LafonctionracinecarreeestcontinuesurR. + LafonctionlogarithmeneperienestcontinuesurR. ? Une fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles ou elle est denie.

2

5 Exercicespratiques 5.1 Exercice1 2 Soit la fonctionf:x7→3x+ 2x+ 1. Etudierlacontinuitedefenx= 2. Avantdes’interesseralacontinuite,ilfauts’occuperdel’ensemblede denitiondelafonctionf. Ici,fesetdienrsuR(voir le cours “Les fonc- tionsreelles-Intervallesetensemblededenition”). Lereelxoidnntinotclefansemal’eedebledppa2itradtnecnonio=f. La methodeconsistemaintenantcomparerlalimitedelafonctionfenx= 2 a la valeurf(2). 2 limf(2 +h) = 3(2 +h2(2 +) +h) + 1 h→0 2 limf(2 +h) = 3(4 + 4h+h) + 2(2 +h) + 1 h→0 2 limf(2 +h) = 12 + 12h+ 3h+ 4 + 2h+ 1 h→0 2 limf(2 +h) = 17 + 14h+ 3h h→0 limf(2 +h) = 17 h→0 2 f(2) = 32 +22 + 1 = 34 + 4 + 1 = 17 Onobtientparconsequent:limf(2 +h) =f(2), ce qui revient a dire que la h→0 fonctionfest continue enx= 2. fest donc une fonction continue enx= 2.

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5.2 Exercice2 2 x1 Soit la fonctionf:x7→. 2 x+ 1 Etudierlacontinuitedefenx= 1.

Avantdes’interesseralacontinuite,ilfauts’occuperdel’ensemblede denitiondelafonctionf. Ici,fruseintdeesR(voir le cours “Les fonc- tionsreelles-Intervallesetensemblededenition”).

Lereelxemns’ealcontdendnoitinededelbiononctelafa1pprait=f. La methodeconsistemaintenantcomparerlalimitedelafonctionfenx= 1 a la valeurf(1). 2 (1 +h)1 limf(1 +h) = 2 (1 +h) +1 h→0 2 1 + 2h+h1 limf(1 +h) = 2 1 + 2h+h+ 1 h→0 2 2h+h limf(1 +h) = 2 2 + 2h+h h→0 h(2 +h) limf(1 +h) = 2 2 + 2h+h h→0 limf(1 +h) = 0 h→0 2 11 11 0 f= =(1) == 0 2 1 +1 1+ 12 Onobtientparconsequent:limf(1 +h) =f(1), ce qui revient a dire que la h→0 fonctionfest continue enx= 1.

fest donc une fonction continue enx= 1.

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5.3 Exercice3 2x+ 3 Soit la fonctionf:x7→ineruse]1;+d∞[. x+ 1 Determinerlafonctiong,rptioncnofaledetiunitonrcpantmegeonolfen x= 1.

Prolonger la fonctionftnnpiraoceeniutxereredinnsis=1coconstea 1 la limite de la fonctionfquandxtend vers 1. 2(1 +h) + 3 limf(1 +h) = (1 +h) + 1 h→0 2 + 2h+ 3 limf(1 +h) = 1 +h+ 1 h→0 5 + 2h limf(1 +h) = 2 +h h→0 5 limf(1 +h) = 2 h→0 Parconsequent,lafonctiongementpar,prolongtdelefaoctnniiuctonniof enx=es1,:rapedtein ( g(x) =f(x)∀x∈]1; +∞[ 5 g(1) = 2

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5.4 Exercice4 Soit la fonctionf]uredesni ∞; 1[parx7→2x+1, et sur ]1;∞[ par 1 x7→. x Raccorderparcontinuitelafonctionf.

La fonctionfetsurniesdeR {1}snoi,elruleuqmadoedineeditnf est continue. Raccorderparcontinuitelafonctionfcnodetsrinedasioncf(1) de telle sorte quefsoit continue surR. Lamethodeconsisteadeterminerlalimitedefquandxtend vers 1 par va- leurssuperieures,lalimitedefquandxes,ieurvdne1sretinrserfrvpaeual etaverierquecesdeuxlimitessontidentiques. 1 limf(x) =lim x + + x→1x→1 limf(x) = 1 + x→1 limf(xlim 2) =x1 x→1x→1 limf(x) = 1 x→1 Parconsequent,lafonctionfadmet enxam1l=eursvrlaetapilimeˆem superieuresqueparvaleursinferieures.Raccorderparcontinuitefenx= 1 revient donc a imposer quef(1) = 1. 1 La fonctionfniesdeur] ∞par; 1[x7→2x1, sur ]1;+∞[ parx7→, x et parf(1) = 1 est donc continue surR.

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