Cours de Mathématiques (2ème année ) Département de Génie ...

Sujets

• cours
• mathématiques
• mathématique
• cours de

Informations

• Publié par: isybokom
• Nombre de lectures: 163
• Langue: Français

Extrait

Cours de Mathématiques (2 ème année ) Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle IUT du Havre

Gisella Croce

Table des matières 1 Avant-propos 3 2 Fonctions de plusieurs variables 4 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Le graphe d’une fonction à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4.1 Dérivées partielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.4.2 Composition de fonctions avec des fonctions à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Intégrales doubles 10 3.1 Comment calculer un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Propriétés de l’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 Changement de variables dans une intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4 Flux d’un champ vectoriel à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.5 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Suites numériques 15 4.1 Définition de suite et de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.3 Limites de fonctions et limites de suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4 Rappel sur les limites de fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Séries numériques 18 5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2.1 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.3 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6 Transformées enz23 6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.2 Tableau des transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.4 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.5 Relation avec la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.6 Equations aux différences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7 Séries de Fourier 29 7.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1

8 Transformée de Fourier 8.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Tableau des transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Appendice : exemples de DS et exercices de révision 9.1 Exemple de DS module MA31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Exemple de DS module MA32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Document pour le module MA32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Transformées enZ. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Corrigé des exercices du chapitre Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Corrigé des exercices du chapitre Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Corrigé des exercices du chapitre Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 Corrigé des exercices du chapitre Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9 Corrigé des exercices du chapitre Transformées enz. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.10 Corrigé des exercices du chapitre Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.11 Corrigé des exercices du chapitre Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Retrouver ce cours sur le web : EUREKA

2

34 34 35 36

37 37 37 39 39 39 40 42 44 45 46 47 48 50 51

52

Chapitre 1

Avant-propos

Ce polycopié a été élaboré à partir de – notes des cours donnés par Adnan Yassine, Aziz Alaoui et Dominique Soudière au Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle de l’IUT du Havre R.V. Churchill,Fourier series and boundary value problems, McGraw-Hill Book Co., 1963 – – B. Dacorogna et C. Tanteri,Analyse avancée pour ingénieurs, Presses polytechniques et universitaires ro- mandes, 2002 – E. Giusti,Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991 – E. Giusti,Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991 – E. Giusti,Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991 – E. Giusti,Esercizi e complementi di Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991 – J-M. Monier,Analyse MPSI, Dunod, 2006 Un grand merci à Dominique Soudière, Pierre Maréchal et Mounsif Ech-cherif el-kettani pour leur aide.

Même s’il a été contrôlé plusieurs fois, ce polycopié pourrait contenir des imprécisions, des fautes... merci aux étudiants qui voudront me signaler les erreurs éventuelles. Ce cours peut être retrouvé en ligne à la page https ://eureka.univ-lehavre.fr (voir chapitre 10 pour plus de détails).

3

Gisella Croce

Chapitre 2

Fonctions de plusieurs variables

Supposons de vouloir étudier la température en France, par exemple, dans le mois de septembre. Il s’agit détudier une fonction de trois variables : la position (deux variables) et la variable temps...voici un exemple qui illustre l’importance des fonctions à plusieurs variables.

2.1 Définition On appelle fonction de plusieurs variables deR n dansR, d’ensemble de définitionD⊆R n , toute application définie par : f:D⊆R n →R (x 1  x n )→f(x 1  x n ) Exemple 2.1.11.f 1 (x 1  x 2 ) = 3x 1 + 4x 2 + 7;D f 1 =R 2 2.f 2 (x 1  x 2 ) = ln(2x 1 +x 2 + 3);D f 2 ={(x y)∈R 2 : 2x+y+ 3>0} 3. quel est le domaine de définition de la fonction température en France au mois de septembre ? Dans ce cours on traitera essentiellement les fonctions de deux variables.

2.2 Le graphe d’une fonction à deux variables Soitf:D⊂R 2 →Rune fonction à deux variables. Pour représenter son graphe, on se donne le planxysur lequel on positionne le couple(x y)et sur un troisième axe vertical, au dessus du point(x y), on positionne un point à la hauteurf(x y). Les points ainsi positionnés composent legraphedef. En général il peut être difficil de représenter le graphe d’une fonctionfà deux variables. Cependant on peut s’aider avec les "sections". Considérer la sectiony=cconsiste à considérer les points(x c f(x c)), c’est-à-dire la courbe qui se trouve au dessus ou en dessous de la droitey=c(perpendiculaire à l’axe desy). En fait f(x c)est une fonction à une variable, dont on peut tracer le graphe, qui est justement une courbe. On peut pareilement considérer la sectionx=C, c’est-à-dire les points(C y f(C y)). Ces points composent la courbe au dessus ou en dessous de la droitex=C(perpendiculaire à l’axe desx). Exemple 2.2.1Soitf(x y) =x 2 y. La sectionx=constant la section ;nous donne des droites par l’origine y=constantnous donne des paraboles par l’origine. Considérer les points du graphe defqui se trouvent à une même hauteurz 0 donne aussi une idée du graphe def. On appelera les points de l’ensemble{(x y)∈D:f(x y) =z 0 }la ligne de niveau à hauteurz 0 . Exemple 2.2.2Soitf(x y) =x 2 +y 2 . Les lignes de niveau sont des cercles de centre(00 z)et rayon √ C pourC>0.

4