Cours de probabilités
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Cours de probabilités niveau master de Jean-François Le Gall
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FIMFA
Int´egration, Probabilit´es
et Processus Al´eatoires
Jean-Franc¸ois Le Gall
Septembre 2006
D´epartement Math´ematiques et Applications
Ecole normale sup´erieure de Paris 2 Sommaire
I Int´egration 7
1 Espaces mesur´es 9
1.1 Ensembles mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Mesures positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Int´egration par rapport `a une mesure 17
2.1 Int´egration de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Fonctions int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Int´egrales d´ependant d’un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Construction de mesures 29
3.1 Mesures ext´erieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Liens avec l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Un exemple d’ensemble non mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Int´egrale de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
p4 Espaces L 43
4.1 D´efinition et in´egalit´e de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
p4.2 L’espace de Banach L (E,A,) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
p4.3 Th´eor`emes de densit´e dans les espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 Le th´eor`eme de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Mesures produits 57
5.1 G´en´eralit´es sur les espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Construction de la mesure-produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Le th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.1 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4.3 Calcul du volume de la boule unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 6 Mesures sign´ees 69
6.1 D´efinition et variation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 La d´ecomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
p q6.3 La dualit´e L −L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Formule de changement de variables
et compl´ements 81
7.1 La formule de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2 Mesure de Lebesgue sur la sph`ere unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
II Probabilit´es 89
8 Fondements de la th´eorie des probabilit´es 91
8.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.1.1 Espaces de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.1.2 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.1.3 Esp´erance math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.1.4 Exemple : le paradoxe de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.1.5 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.1.6 Fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire r´eelle . . . . . . . . . 99
8.1.7 Tribu engendr´ee par une variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.2 Moments de variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.1 Moments d’ordre p et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.2.2 La r´egression lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2.3 Fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.2.4 Fonction g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9 Ind´ependance 109
9.1 Ev´enements ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2 Variables al´eatoires et tribus ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3 Le lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.4 Sommes de variables al´eatoires ind´ependantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10 Convergence de variables al´eatoires 125
10.1 Les diff´erentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.2 La loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.3 La convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.4 Deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.4.1 La convergence des mesures empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.4.2 Le th´eor`eme central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.4.3 Extension au cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4 11 Conditionnement 143
11.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.2 La d´efinition de l’esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.2.1 Cas des variables int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.2.2 Cas des variables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.2.3 Le cas particulier des variables de carr´e int´egrable . . . . . . . . . . . 150
11.3 Propri´et´es sp´ecifiques de l’esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 150
11.4 Calculs d’esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.4.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.4.2 Cas des variables `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.4.3 Conditionnement gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.5 Probabilit´es de transition et lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 157
III Processus al´eatoires 161
12 Th´eorie des martingales
`a temps discret 163
12.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
12.2 Temps d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.3 Convergence presque suˆre des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
p12.4 La convergence dans L pour p> 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
12.5 Uniforme int´egrabilit´e et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.6 Martingales r´etrogrades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
13 Chaˆınes de Markov 191
13.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
13.2.1 Variables al´eatoires ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
d13.2.2 Marches al´eatoires surZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
13.2.3 Marche al´eatoire simple sur un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
13.2.4 Processus de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
13.3 La chaˆıne de Markov canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.4 La classification des ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
13.5 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.6 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13.7 Martingales et chaˆınes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
14 Introduction au mouvement brownien 219
14.1 Le mouvement brownien comme limite de marches al´eatoires . . . . . . . . . 219
14.2 La construction du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
14.3 La mesure de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
14.4 Premi`eres propri´et´es du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
14.5 La propri´et´e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
14.6 Fonctions harmoniques et probl`eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5 14.7 Fonctions harmoniques et mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6 Partie I
Int´egration
7 Chapitre 1
Espaces mesur´es
L’id´ee de d´epart de la th´eorie de la mesure est d’assigner un nombre r´eel positif (la mesure
de ce sous-ensemble) `a chaque sous-ensemble d’un ensemble donn´e, de mani`ere `a satisfaire
certaines propri´et´es naturelles d’additivit´e (la mesure d’une r´eunion disjointe doit ˆetre la
somme des mesures). Pour des raisons profondes, il n’est pas possible en g´en´eral de d´efinir
la mesure de n’importe quel sous-ensemble, et on doit se restreindre `a une certaine classe
(tribu) de sous-ensembles, appel´es les sous-ensembles mesurables : un ensemble muni d’une
tribu est appel´e espace mesurable. Ce chapitre introduit les notions fondamentales de tribu
(= famille des ensembles mesurables), de mesure sur un espace mesurable, et de fonctions
mesurables, qui sont les fonctions dont on saura plus tard d´efinir l’int´egrale. Le dernier
paragraphe´enonce une forme du lemme de classe monotone, qui joue un rˆole tr`es important
`a la fois en th´eorie de la mesure et en th´eorie des probabilit´es.
1.1 Ensembles mesurables
D´efinition 1.1.1 Soit E un ensemble quelconque. Une tribu (ou σ-alg`ebre) sur E est une
familleA de parties de E telle que:
(i) E∈A ;
c(ii) A∈A⇒A ∈A ; [
(iii) Si A ∈A pour tout n∈N, on a aussi A ∈A.n n
n∈N
Les´el´ementsdeAsontappel´espartiesmesurables,ouparfo
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