Cours de probabilités
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Cours de probabilités niveau master de Jean-François Le Gall

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Langue Français
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Extrait

FIMFA Int´egration, Probabilit´es et Processus Al´eatoires Jean-Franc¸ois Le Gall Septembre 2006 D´epartement Math´ematiques et Applications Ecole normale sup´erieure de Paris 2 Sommaire I Int´egration 7 1 Espaces mesur´es 9 1.1 Ensembles mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Mesures positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Classe monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Int´egration par rapport `a une mesure 17 2.1 Int´egration de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Fonctions int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Int´egrales d´ependant d’un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Construction de mesures 29 3.1 Mesures ext´erieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Liens avec l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Un exemple d’ensemble non mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Int´egrale de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6 Le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 p4 Espaces L 43 4.1 D´efinition et in´egalit´e de H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 p4.2 L’espace de Banach L (E,A,) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 p4.3 Th´eor`emes de densit´e dans les espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4 Le th´eor`eme de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 Mesures produits 57 5.1 G´en´eralit´es sur les espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2 Construction de la mesure-produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3 Le th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4.1 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.4.3 Calcul du volume de la boule unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 6 Mesures sign´ees 69 6.1 D´efinition et variation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.2 La d´ecomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 p q6.3 La dualit´e L −L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.4 Le th´eor`eme de repr´esentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7 Formule de changement de variables et compl´ements 81 7.1 La formule de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.2 Mesure de Lebesgue sur la sph`ere unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 II Probabilit´es 89 8 Fondements de la th´eorie des probabilit´es 91 8.1 D´efinitions g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.1.1 Espaces de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8.1.2 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.1.3 Esp´erance math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.1.4 Exemple : le paradoxe de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.1.5 Lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.1.6 Fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire r´eelle . . . . . . . . . 99 8.1.7 Tribu engendr´ee par une variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.2 Moments de variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2.1 Moments d’ordre p et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2.2 La r´egression lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.2.3 Fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.2.4 Fonction g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9 Ind´ependance 109 9.1 Ev´enements ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.2 Variables al´eatoires et tribus ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.3 Le lemme de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.4 Sommes de variables al´eatoires ind´ependantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10 Convergence de variables al´eatoires 125 10.1 Les diff´erentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 10.2 La loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 10.3 La convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 10.4 Deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.4.1 La convergence des mesures empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.4.2 Le th´eor`eme central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.4.3 Extension au cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4 11 Conditionnement 143 11.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 11.2 La d´efinition de l’esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 11.2.1 Cas des variables int´egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 11.2.2 Cas des variables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 11.2.3 Le cas particulier des variables de carr´e int´egrable . . . . . . . . . . . 150 11.3 Propri´et´es sp´ecifiques de l’esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 150 11.4 Calculs d’esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.4.1 Conditionnement discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.4.2 Cas des variables `a densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.4.3 Conditionnement gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 11.5 Probabilit´es de transition et lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 157 III Processus al´eatoires 161 12 Th´eorie des martingales `a temps discret 163 12.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 12.2 Temps d’arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 12.3 Convergence presque suˆre des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 p12.4 La convergence dans L pour p> 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 12.5 Uniforme int´egrabilit´e et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 12.6 Martingales r´etrogrades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 13 Chaˆınes de Markov 191 13.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 13.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 13.2.1 Variables al´eatoires ind´ependantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 d13.2.2 Marches al´eatoires surZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 13.2.3 Marche al´eatoire simple sur un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 13.2.4 Processus de branchement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 13.3 La chaˆıne de Markov canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 13.4 La classification des ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 13.5 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 13.6 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.7 Martingales et chaˆınes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 14 Introduction au mouvement brownien 219 14.1 Le mouvement brownien comme limite de marches al´eatoires . . . . . . . . . 219 14.2 La construction du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 14.3 La mesure de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 14.4 Premi`eres propri´et´es du mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 14.5 La propri´et´e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.6 Fonctions harmoniques et probl`eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5 14.7 Fonctions harmoniques et mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6 Partie I Int´egration 7 Chapitre 1 Espaces mesur´es L’id´ee de d´epart de la th´eorie de la mesure est d’assigner un nombre r´eel positif (la mesure de ce sous-ensemble) `a chaque sous-ensemble d’un ensemble donn´e, de mani`ere `a satisfaire certaines propri´et´es naturelles d’additivit´e (la mesure d’une r´eunion disjointe doit ˆetre la somme des mesures). Pour des raisons profondes, il n’est pas possible en g´en´eral de d´efinir la mesure de n’importe quel sous-ensemble, et on doit se restreindre `a une certaine classe (tribu) de sous-ensembles, appel´es les sous-ensembles mesurables : un ensemble muni d’une tribu est appel´e espace mesurable. Ce chapitre introduit les notions fondamentales de tribu (= famille des ensembles mesurables), de mesure sur un espace mesurable, et de fonctions mesurables, qui sont les fonctions dont on saura plus tard d´efinir l’int´egrale. Le dernier paragraphe´enonce une forme du lemme de classe monotone, qui joue un rˆole tr`es important `a la fois en th´eorie de la mesure et en th´eorie des probabilit´es. 1.1 Ensembles mesurables D´efinition 1.1.1 Soit E un ensemble quelconque. Une tribu (ou σ-alg`ebre) sur E est une familleA de parties de E telle que: (i) E∈A ; c(ii) A∈A⇒A ∈A ; [ (iii) Si A ∈A pour tout n∈N, on a aussi A ∈A.n n n∈N Les´el´ementsdeAsontappel´espartiesmesurables,ouparfo
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