Cours de translation et vecteur
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Description

# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # CHAPITRE9 COURS: TRANSLATIONS ET VECTEURS ExtraitduprogrammedelaclassedeTroisième: CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES Vecteurs et transla- ÏConnaître et utiliser Cetterubriqueprendencomptelesacquisducycle tions l’écriture vectorielle central sur les parallélogrammes et sur la transla- Égalitévectorielle AB = CD pour expri- tion. Elle est orientée vers la reconnaissance, dans ′ ′ ′mer que la translation les couples (A,A ), (B,B ), (C,C )... de points ho- qui transforme A en B mologues par une même translation, d’un même transformeaussiCenD. objetnommévecteur. ′ ′ ′Onécrira u =AA =BB =CC =.... L’undesobjectifsestquelesélèvessereprésentent un vecteur à partir d’une direction, d’un sens et d’unelongueur. ÏLier cette écriture Onmettraenévidencelacaractérisationd’uneéga- vectorielle au paral- litévectorielleàl’aidedemilieuxde[AD]et[BC]: lélogramme ABCD Si AB =CD alors les segments [AD] et [BC] ont le éventuellementaplati. mêmemilieu. Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alorsona AB=CD et AC=BD. Composition de deux ÏUtiliserl’égalité Des activités de construction conduiront à l’idée translations; somme AB+BC = AC et la relier que la composée de deux translations est une dedeuxvecteurs. à la composée de deux translation. translations.

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Publié le 23 octobre 2013
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Langue Français

Exrait

CHAPITRE9
COURS: TRANSLATIONS ET VECTEURS
ExtraitduprogrammedelaclassedeTroisième:
CONTENU COMPÉTENCES EXIGIBLES COMMENTAIRES
Vecteurs et transla- ?Connaître et utiliser Cetterubriqueprendencomptelesacquisducycle
tions l’écriture vectorielle central sur les parallélogrammes et sur la transla-
Égalitévectorielle AB = CD pour expri- tion. Elle est orientée vers la reconnaissance, dans
′ ′ ′mer que la translation les couples (A,A ), (B,B ), (C,C )... de points ho-
qui transforme A en B mologues par une même translation, d’un même
transformeaussiCenD. objetnommévecteur.
′ ′ ′Onécrira u =AA =BB =CC =....
L’undesobjectifsestquelesélèvessereprésentent
un vecteur à partir d’une direction, d’un sens et
d’unelongueur.
?Lier cette écriture Onmettraenévidencelacaractérisationd’uneéga-
vectorielle au paral- litévectorielleàl’aidedemilieuxde[AD]et[BC]:
lélogramme ABCD Si AB =CD alors les segments [AD] et [BC] ont le
éventuellementaplati. mêmemilieu.
Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu,
alorsona AB=CD et AC=BD.
Composition de deux ?Utiliserl’égalité Des activités de construction conduiront à l’idée
translations; somme AB+BC = AC et la relier que la composée de deux translations est une
dedeuxvecteurs. à la composée de deux translation.
translations.
?Construireunreprésen- Àpartirdecerésultat,àétablirouadmettre,ondé-
tant du vecteur somme finira la somme de deux vecteurs. On introduira le
à l’aide d’un parallélo- vecteur nul 0 = AA= BB = ... ainsi que l’opposé
gramme. d’unvecteur.Aucunecompétencen’estexigibledes
élèvessurl’égalitévectorielleAC−AB=BC ni,plus
généralement,surlasoustractionvectorielle.
Composition de deux ?Savoir que l’image Des activités de construction permettront de
symétriescentrales. d’une figure par deux conjecturer le résultat de composition de deux sy-
symétries centrales suc- métriescentrales.Ladémonstrationseral’occasion
cessives de centres dif- de revoir la configuration des milieux dans un tri-
férents est aussi l’image angle.
de cette figure par une
translation.
?Connaître le vecteur de Onpourrautiliser, poursa commodité, la notation
la translation composée 2AB pourdésigner AB+AB.
de deux symétries cen- Tout commentaire sur le produit d’un vecteur par
trales. unentieresthorsprogramme,ainsiquelanotation
"o"pourdésignerlacomposée.
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1 Notiondevecteur
Définition :
Si, par une translation donnée, les points A, B, C
′B′ ′ ′ont pour images respectives les points A , B et C ,
′ ′alorsonditquelescouplesdepoints(A,A ),(B,B ),
B ~u′ ′(C,C )définissentunvecteur. A
′Sionnote u cevecteur,alorsonpeutécrire C
′ ′ ′ ′ ′ ′ Au = AA =BB =CC ,et onditque AA ,BB etCC
Csontdesreprésentantsduvecteur u.
Caractéristiquesd’unvecteur :
Si A etB sontdeuxpointsdistincts,alorsonpeutentièrementdéterminerlevecteur AB par:
– sadirection(celledeladroite(AB)),
– sonsens(de A versB)
– etsalongueur,ounorme(celledusegment[AB]).
Vocabulaire:Danscecas,lepoint A estappeléorigineduvecteur,etlepointB enestl’extrémité.
2 Vecteurségaux
Définition : ~u
~vOnditquedeuxvecteurs u et v sontégauxs’ilsontlamême
direction,lemêmesensetlamêmelongueur.
B
Définition : B
Si A etB sont deux pointsdistinctsdu plan,alorsle vecteur
BA a la mêmedirectionet lamêmelongueurquelevecteur
AAB,maisiln’apaslemêmesens.OnditqueBAestlevecteur
A
opposéauvecteur AB,etonnoteBA=−AB.
Propriétés :
D
Soient A,B,C etD quatrepointsduplan. B
ou?Silesvecteurs AB etCD sontégaux,
alors ABDC est un parallélogramme (éventuellement B D
aplati). C
?Si ABDC estunparallélogramme(éventuellementaplati), C
A Aalorslesvecteurs AB etCD sontégaux(toutcommelesvec-
teurs AC etBD).
DPropriétés :
B
Soient A,B,C etD quatrepointsduplan.
?Silesvecteurs AB etCD sontégaux, I
alorslessegments[AD]et[BC]ontlemêmemilieu.
?Silessegments[AD]et[BC]ontlemêmemilieu,
Calorslesvecteurs AB etCD sontégaux(toutcommelesvec-
A
teurs AC etBD).
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#~v
~v
Commentplacerunpointdéfiniparuneégalitévectorielle:
A,B etC sonttroispointsduplan.OnveutplacerlepointD telque AB=CD.
Surdupapierblanc:
Surunquadrillage:
On commence par repérer, à peu près, la zone
On commence par repérer, à peu près, la zone
danslaquelleserasituélepointD (étape1).
danslaquelleserasituélepointD (étape1).
Puis on utilise le compas pour construire le
Puis on utilise le quadrillage pour construire le
quatrième sommet du parallélogramme ABDC
quatrième sommet du parallélogramme ABDC
(étape 2);ici, on trace un arc de cercle de centre
(étape 2); ici, on décale de deux carreaux vers la
C de rayon AB, puis un second arc de cercle de
droiteetdecinqcarreauxverslebas.
centreB derayon AC.
A
A
C
C
B
B
A
A
C
C
B
B
D
D
BPropriété :
I
Soient A,I etB troispointsdistinctsduplan.
Direque AI =IB revientàdirequeI estlemilieude[AB] A
3 Sommededeuxvecteurs
Propriété :
Lacomposéededeuxtranslationsdevecteurs u et v estelle-mêmeunetranslation,dontlevecteur
estappelésommedesvecteurs u et v,etestnoté u+ v.
B
C
A
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~u+~v
~u+~v
~u
~u~2AB
RelationdeChasles :
Si,aveclesnotationsprécédentes,AB estunreprésentantde u,etBC estunreprésentantde v,alors
onpeutécrirelarelation AB+BC=AC,connuesouslenomderelationdeChasles.
Remarque: On peut retenir que "faire la translationde vecteur AB, puisfaire la translationde vecteur
BC,celarevientàfairedirectementlatranslationdevecteur AC."
Définition :
SiAetB sontdeuxpointsdistincts,ona,d’aprèslarelationdeChasles,AB+BA=AA,quicorrespond
àundéplacementnul.
Levecteur AA estparconséquentappelévecteurnul,etonnote 0 =AA.
Commentconstruirelasommededeuxvecteurs:
A estunpointduplan, u et v sontdeuxvecteurs.OnveutplacerlepointB telque AB= u+ v.
Enmettantlesvecteurs"boutàbout": Enprenantdesreprésentantsdemêmeorigine:
OnconstruitlepointM telque AM= u,puison On construit des représentants des vecteurs u
construit le représentant du vecteur v ayant ce et v d’origine A, et on appelle M et N les ex-
point M pour origine; un représentant du vec- trémitésdecesdeuxreprésentants.Onconstruit
teur u+ v estlevecteur AB. le point B comme quatrième sommet du paral-
lélogrammeAMBN ;unreprésentantduvecteur
u+ v estlevecteur AB.
B
M
B
M
A N
A
4 Composéededeuxsymétriescentrales
Propriété :
A
Soient A etB deuxpointsdistinctsduplan.Lacomposéede B
lasymétriedecentre AetdelasymétriedecentreB estune
translationdevecteurAB+AB (quel’onnotera2AB parana-
logieaveclecalculnumérique)
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~u+~v
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