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2-cours-fonctions-2 FONCTIONS 2 I) EXTREMA D'UNE FONCTION 1) Définition OBSERVATION DE LA TRADUCTION PROPRIETE DE LA COURBE COURBE MATHEMATIQUE FONCTION 2 Pour tout x tel que : On dit que la fonction f admet Pour x  [−2 ; 1], un maximum de 2 en x = −1 la plus grande valeur que prend −2  x  1 x f (x) est … On a : sur [−2 ; 1] -1 -2 1 Cette valeur est obtenue f (x) ..... f (−1) f (x) pour x = … f (x) Pour x  [−1 ; 3], Pour tout x tel que : On dit que la fonction f admet la plus petite valeur que prend f (x) est … 2 Cette valeur est obtenue pour x = … x 1 2) Dans les exercices y Cf 2Soit f la fonction définie sur  par x  x − 4 x + 2. [D'après Cf, il semblerait que f admette un minimum en x = 2.

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Publié le 10 octobre 2013
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Langue English
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2-cours-fonctions-2
FONCTIONS 2


I) EXTREMA D'UNE FONCTION

1) Définition
OBSERVATION DE LA TRADUCTION PROPRIETE DE LA
COURBE
COURBE MATHEMATIQUE FONCTION

2
Pour tout x tel que : On dit que la fonction f admet Pour x  [−2 ; 1],
un maximum de 2 en x = −1 la plus grande valeur que prend −2  x  1
x
f (x) est … On a : sur [−2 ; 1] -1 -2 1
Cette valeur est obtenue f (x) ..... f (−1)
f (x)
pour x = …

f (x)
Pour x  [−1 ; 3], Pour tout x tel que : On dit que la fonction f admet
la plus petite valeur que prend
f (x) est …
2
Cette valeur est obtenue
pour x = …
x 1


2) Dans les exercices y
Cf 2Soit f la fonction définie sur  par x  x − 4 x + 2.

[D'après Cf, il semblerait que f admette un minimum en x = 2.]

j
Démonstration :
O i x Pour tout réel x phrase d'hypothèse
Déterminons le signe de f (x) − f (2) :
2 2f (x) − f (2) = x − 4 x + 2 − (2 − 4×2 + 2)
2 = x − 4 x + 2 − (−2)
2 = x − 4 x + 4 mettre (x − 2) en facteur
2 = (x − 2)
or un carré est toujours positif ou nul
donc f (x) − f (2)  0
donc f (x)  f (2) (avec f (2) = −2)
phrase de conclusion donc f admet un minimum de −2 en 2 sur 

p95 : 1(bcdfg)
ndextrema de fonctions du 2 degré
2 f définie sur  par x  x − 5 x + 1
g définie sur  par x  (x + 2) (1 − x)
2 h définie sur [−1 ; 2] par x  x − 2 x + 3
p101 : 46, 49 2-cours-fonctions-2
II) VARIATIONS D'UNE FONCTION

1) Définition
OBSERVATION DE LA TRADUCTION PROPRIETE DE LA
COURBE
COURBE MATHEMATIQUE FONCTION

f (x ) Pour tous x et x tels que : On dit que la fonction f est 2 Pour x  [0 ; 3], on remarque 1 2
que la courbe monte : strictement croissante 0  x1 < x2  3
sur [0 ; 3] 2 nombres et leurs images sont On a : f (x1)
toujours dans le même ordre f (x ) ..... f (x ) 1 2
x x 1 2

Pour tous x et x tels que : On dit que la fonction f est Pour x  [0 ; 3], on remarque 1 2
f (x ) 1
que la courbe descend :
2 nombres et leurs images sont
f (x ) toujours dans l’ordre …….. 2
x x 1 2

2) Dans les exercices
2Soit f la fonction définie sur  par x  x − 4 x + 2.

[D'après Cf, il semblerait que f soit strictement décroissante sur ]−  ; 2],
puis qu'elle soit strictement croissante sur [2 ; + [ ]
Démonstration :
a) Variations sur ]−  ; 2]
phrase d'hypothèse Pour tous x1, x2 tels que x1 < x2  2
Déterminons le signe de f (x ) − f (x ) : 1 2
2 2f (x ) − f (x ) = x − 4 x + 2 − (x − 4 x + 2) 1 2 1 1 2 2
2 2 = (x − x ) − 4 (x − x ) +2 − 2 1 2 1 2
= (x − x )(x + x ) − 4 (x − x ) mettre (x − x ) en facteur 1 2 1 2 1 2 1 2
= (x1 − x2)(x1 + x2 − 4)
or x < x donc x − x < 0 1 2 1 2
déterminer le signe de chacun des facteurs x < 2 et x  2 donc x + x < 4 donc x + x − 4 < 0 1 2 1 2 1 2
donc f (x ) − f (x ) > 0 1 2
donc f (x ) > f (x ) 1 2
phrase de conclusion donc f est strictement décroissante sur ]-  ; 2]

b) Variations sur [2 ; + [
études complètes de fonctions + Pour tous x1, x2 tels que 2  x1 < x2
2-cmp-variations.html + Déterminons le signe de f (x ) − f (x ) : 1 2
p95 : 4, 5, 6, 8 f (x ) − f (x ) = (x − x )(x + x − 4) 1 2 1 2 1 2
p98 : 16, 22, 23 or x < x donc x − x < 0 1 2 1 2
p99 : 25, 27, 28, 29 x  2 et x > 2 donc x + x > 4 donc x + x − 4 > 0 1 2 1 2 1 2
p124 : 46 donc f (x ) − f (x ) < 0 1 2
donc f (x ) < f (x ) 1 2
donc f est strictement croissante sur [2 ; + [

c) Tableau de variations
On a l'habitude de toujours conclure l'étude des variations d'une fonction par un tableau de variations :

x −  2 + 

f
− 2 2-cours-fonctions-2
III) PARITE D'UNE FONCTION

1) Fonction paire
a) Exemple
4 2Soit f la fonction définie sur [– 3 ; 3] par x  x + 2 – x
4 2Pour tout x de [– 3 ; 3] on remarque que f (– x) = (– x) + 2 – (– x) = .............................. = f (x)
Une telle fonction est dite paire.

En déduire SANS CALCULATRICE la moitié x – 3 – 2 –1,5 – 1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3
gauche du tableau de valeur ci-contre : f (x) 1,4 1,2 0,7 0,4 0,25 0,1

En déduire SANS CALCULATRICE la moitié gauche de Cf :

y
Cf
j
O x i

La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à ..............................................

Remarque : Si f n'avait été définie que sur [−1 ; 3], elle n'aurait pas été paire. Pourquoi ?
En effet, montrer que f est paire, c'est montrer que pour tout x de Df, on a : f (− x) = f (x).
Or si Df = [−1 ; 3], on remarque que 2 appartient à Df mais pas −2 : On ne peut donc ni calculer f (− 2) ni
écrire f (− 2) = f (2) !
On voit donc que pour pouvoir calculer aussi bien f (−x) que f (x), il faut que pour tout x de l'ensemble de
définition, (− x) appartienne aussi à cet ensemble . Un tel ensemble est dit centré en 0.


b) Définition
Lorsque pour tout x de Df, −x appartient aussi à Df et : f (− x) = f (x), on dit que f est paire.

Remarques :
 Il suffit alors d'étudier les variations de f sur une moitié de Df pour pouvoir les déduire sur Df tout entier
 Dans un repère orthogonal, la courbe Cf est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
2-cours-fonctions-2
2) Fonction impaire
a) Exemple
1Soit f la fonction définie sur * par x  x –
x
1Pour tout x de * on remarque que f (– x) = – x – = .............................. = – f (x)
– x
Une telle fonction est dite impaire.

En déduire SANS CALCULATRICE la moitié x – 4 – 2 – 1 –0,5 –0,3 0,3 0,5 1 2 4
gauche du tableau de valeur ci-contre : f (x) – 3 –1,5 0 1,5 3,75

En déduire SANS CALCULATRICE la moitié gauche de Cf :

y
Cf
j
O x i


La représentation graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à ..........................................


b) Définition
Lorsque pour tout x de Df, −x appartient aussi à Df et : f (− x) = − f (x), on dit que f est impaire.

Remarques :
 Il suffit alors d'étudier les variations de f sur une moitié de Df pour pouvoir les déduire sur Df tout entier
 Dans un repère quelconque, la courbe Cf est alors symétrique par rapport à l'origine du repère


p123 : 36, 37, 39
faire à la maison les exercices du §3
p124 : 44 2-cours-fonctions-2
3) Dans les exercices
1
Ex1 : Soit f la fonction définie sur  − {−1 ; 1} par x  2x − 1
1 1
Pour tout x de  − {−1 ; 1}, −x appartient aussi à  − {−1 ; 1} et f (−x) = = = f (x) 2 2(−x) − 1 x − 1
donc f est paire.

3Ex2 : Soit f la fonction définie sur  par x  x − x
3 3Pour tout x de , −x appartient aussi à  et f (−x) = (−x) − (−x) = − (x − x) = − f (x)
donc f est impaire.

x + 5
Ex3 : Soit f la fonction définie sur  − {−2} par x  x + 2
 − {−2} n'est pas centré en 0 donc f n'est ni paire, ni impaire.

2Ex4 : Soit f la fonction définie sur [−3 ; 3] par x  x + x
 f (−1)  f (1) et f n'est pas paire
On remarque que f (−1) = 0 et f (1) = 2 donc
 f (−1)  −f (1) et f n'est pas impaire

Attention :
 Ce ne sont pas f (x) ou Cf qui sont paires ou impaires mais la fonction f
 Ce ne sont pas f ou f (x) qui présentent une symétrie mais la courbe Cf
 Ce ne sont pas f ou Cf qui sont centrées en 0 mais l’ensemble Df !!


étude complète de :
4 2x  x − 2 x