cours maths matrices

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Mathématiques 
Chap. 4 : Matrices 
CHAPITRE 4 : MATRICES   
cesi–Mi–idréPyseén 
1. DEFINITION Soitfune application linéaire deRndansRp; on note (e1,e2, …,en) et (l1,l2, …,lp) les bases respectives deRnetRp. La matrice M associée àfrelativement aux bases deRnetRpest le tableau dont les colonnes sont les coordonnées des vecteursf(e1), f(e2),…, f(en la base () dansl1,l2, …,lp) deRp.
2. NOTATION Apn: est la matrice rectangulaire de p lignes et de n colonnes. aij: est l’élément de la matrice Apnde laièmeligne et de lajèmecolonne.
3. MATRICE NULLE, EGALITE, TRANSPOSITION On appelle matrice nulle de dimension (p, n), la matrice dont tous les éléments sont nuls c’est à dire :
aij   (1= 0 ip j, 1n)  Deux matrices sont égales lorsqu’elles représentent, par rapport à des bases données, la même application linéaire. L’égalité A = B équivaut donc, pour les éléments de A et B, aux relations :  
A = B  aij= bij (1 ip j, 1n) On appelle transposée d’une matrice A, et on notetdont les lignes sont les colonnes de A et les colonnesA, la matrice sont les lignes de A.  tApn= Bnp    aij= bji 
 
4. OPERATIONS LINEAIRES SUR LES MATRICES
4.1. Somme de deux matrices : Soit les trois matrices de dimension (p, n) A, B et C :
 
A + B = C aij+ bij= cij   
(1
i
p, 1
j
4.2. Produit d’une matrice par un scalaire : Soit les deux matrices de dimension (p, n) A, B etlun scalaire (complexe ou réel) :
4.3. Conclusions
A =lB aijlbij ( = 1
i
p, 1
jn) 
n) 
Conclusion 1 : On peut aisément montrer que l’ensemble des matrices de dimension (p, n) muni des l’addition usuelle et le produit par un scalaire (R ou C) forme une structure d’un espace vectoriel.
Conclusion 2 : Une base de l’espace vectorielMp,nest constituée des matricesAijdont seul l’élément situé à l’intersection de la lignei et de la colonnejest non nul, et vaut 1. Toute matrice A se décompose d’une façon unique sous la forme  A =aijAij 1σiσp 1σjσn L’espace vectoriel en question a donc pour dimension le produitnp. Exemple
FIP A 2007 2010 _ _
 
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