Cours sur les équations différentielles

Description

´Equations diff´erentielles Math 111 29 janvier 2007 Table des mati`eres 1 G´en´eralit´es 2 1.1 Qu’est-ce qu’une ´equation diff´erentielle? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 D’autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Repr´esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 M´ethode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7 Le th´eor`eme d’existence et d’unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Primitives 10 2.1 D´efinition, existence, condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Dessins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ´3 Equations `a variables s´eparables 14 3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 M´ethode g´en´erale de r´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Pi`eges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4 R´esolution des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.5 Dessins . . . . . . . . .

Sujets

• Équation différentielle (mathématiques élémentaires)
• Équation
• cours de math

Informations

• Publié par: Oliv94
• Publié le: 22 octobre 2013
• Nombre de lectures: 132
• Langue: Français

Extrait

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matieres
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Table des

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janvier 2007

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Equationsdiff´erentielles
Math 111

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Etudege´ome´trique
5.1 Bar i`
r eres . . . . . . . . . .
5.2 Explosion des solutions . .

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Equationsdiffe´rentielleslin´eairesd’ordre1
4.1D´efinition...................................
4.2Re´solutiondel’equationhomoge`ne.....................
´
4.3Re´solutiondel’e´quationquandonaunesolutionparticulie`re......
4.4Commenttrouverunesolutionparticuli`ere:lavariationdelaconstante
4.5 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2` coefficients
a
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constants
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Equationdiffe´rentiellesline´airesd’ordre
6.1L’´equationdiff´erentiellehomoge`ne...
6.2 Exemple avec second membre . . . . . .
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . .

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G´eneralite´s
´
1.1Qu’est-cequ’unee´quationdiffe´rentielle?...................
1.2 D’autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 R ´ entation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
epres
1.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6M´ethoded’Euler................................
1.7Lethe´oremed’existenceetd’unicit´e.....................
`

1

Primitives
2.1De´finition,existence,conditioninitiale....................
2.2 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Dessins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´
Equations`avariablesse´parables
3.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2M´ethodege´ne´raledere´solution.......
3.3Pi`eges.....................
3.4R´esolutiondesexemples...........
3.5 Dessins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

Ge´ne´ralit´es

Qu’est-cequ’unee´quation?-onnci)srueisulpuo(enantuportecomlit´e´aguten’Cse
nue(s) :
“Resoudrel’e´quation2x+ 3 = 0”.
´
R´esoudrerhetcesrcheoita’c,n’luqe´toutes’´egontl´e.alitlevaesl’ielsdurqeunnocnfsitasiu
Danslaplupartdes´equationsquevousavezrencontre´esjuqu’`apr´esent,lesinconnuese´taient
desnombres.Unedesdifficult´esdese´quationsdiff´erentielles,c’estquelesinconnuesvontˆetre
des fonctions.

1.1Qu’est-cequ’une´equationdiff´erentielle?

(cf Hubbard et West, p2)
Commen¸consparl’e´quationdiff´erentiellelaplussimple:

y0=αy.

Danscettee´galit´e,yependantd’uneva-cnitnoniocnneu´dofenuesilobmys
riablet, ety0tte´uecetionequaT(revazeelq)imansile´dome´eadv´ri.Veessoustse
l’e´volutiondansletempsdunombred’atomesradioactifs.Elleexprimelefait
que la diminution du nombre d’atomes radioactifs (cad le nombre d’atomes qui
sed´esinte`grent)estproportionnelleaunombretotald’atomesradioactifs.
Demani`ereg´ene´rale,uneetauqe´´eiffndiollientrenu´eetsitnoqeau
– dont l’inconnue est une fonctionyvera’dnuadtnpened´ebliax(out),
– qui fait interveniryese´ir´veeesdesesdtcertainy0,y00,etc.emeltneneveltut´,e
la variablex(out) .
Re´soudrerherchelleitnerctse’c,equatl’´eiff´eiondtouteseseslofcnitno,s´dfiein
sur un intervalle, qui satisfont l’´ ation (on dit aussirreegt´in’´lnoitauqe
equ
diffe´rentielle).

ExempleUatqunio’le´noedulitenosy0=αyest une fonctionfrivablesu,re´d
un certain intervalleInafiir,e´tvetf0(t) =αf(t) pour tous lest∈I.

Remarques
–Lavariableestparfoisnote´ex, parfoist(tpnraitucilreuqnadeutstisilee´e
l’´equationd´ecritunph´enome`ned´ependantdutemps).Lafonctioninconnue
peuteˆtrenot´eey, parfoisxe´tpadaelborpuaeme`eo,teauutouettrtrel
(cf plus bas,Npour le nb d’individus d’une population). Ainsi, laemmˆe
e´quationpeuts’´ecrire

–

y0=αyou

ddyt(t) =αy(t)

ou

ddxy(x) =αy(x)

ou

x0=αx.

Attention :
– dans le cours sur les fonctions de deux variables,yeunede´isng
variable ;
–danslecourssurlese´quationdiffe´rentielle,yonc-unefgien´dse
tioninconnuedansune´equation.

2

1.2

1.

2.

D’autres exemples

Enfait,l’e´quationy0=αydomnoed´evoluti´elisel’n’importe quelle quan-
tit´ey`eanasse)ece´duiorcontillneprstoropodssance(ontlacroiy, et pas
seulementlad´ecroissanceradioactive:citonsparexemple:
–l’´evolutiond’unesommed’argentrapportantdesint´ereˆts,place´ea`un
tauxα;
– le nombre d’individus dans une population avec un taux de naissanceα.
Expliquonsavecunpeuplusdede´taillamode´lisationdel’´evolutiond’une
population.
(a)Lemod`eleleplussimpleestlesuivant:lapopulationNa un taux
de naissanceαqui est constant le ;nombrede naissances est alors
proportionnel au nombre d’individu : pendant un petit tempsdt, il
est´egalauproduitN αdt.se`ce´duxdeletaeme,Demˆβoppustsees´
constant,etlenombredemortsest´egal`aN βdttauqnoisrole´’l.Onaa

(b)

(c)

dN=N(t)αdt−N(t)βdt

cequiconduit`al’´equationdiff´erentielle

N0(t) = (α−β)N(t).

Lessolutionsdecettepremi`ere´equationsontdesfonctionsexponen-
tielle,cequin’estpasre´aliste:onpeutaffinerlemode`leensupposant
quequandlapopulationdevienttropimportante,ilyaplusdede´c`es
(parsurpopulation, dus par exemple au manque de nourriture). Une
possibilite´,parmibeaucoupd’autres,estderajouteruntermeded´ec`es
proportil`aN2(ce terme est donc dominant lorsqueNest grand) :
onne
on aboutit alors a
`

N0(t) = (α−β)N(t)−kN(t)2.

Le choix duN2ˆleecav-aierembraeitra(eriartiestendepngra
m
sonnement on aurait pu choisirN3/2-sesisna`etrcmacoheUn).´eed...
sayerdiversexposant,et`acomparera`desdonn´eesexpe´rimentalepour
se´lectionnerl’exposantquisembleconvenirlemieux.
Ilyabeaucoupd’autresvariantespossibles.Consid´eronsparexemple
l’e´quationdiff´erentielle

N0= (2−cos(t))N−21N2−1

–Tauxdenaissanceavecvariationssaisonnie`res;
– terme de surpopulation ;
–termeinde´pendantdelatailleetdutemps(e´levagedesaumons,ce
sontlessaumonspe´ch´es!).

La figure ci-dessous montre les graphes de trois fonctions solutions de cette
e´quationdiff´erentielle.

3

1.3 Conditions initiales

Unecondition initialeest une relation du typey(x0) =y0, qui impose la valeur
y0de la fonction inconnue enx0.
Enpratique,sedonneruneCIrevientdonca`sedonnerlepoint(x0, y0) par
lequel doit passer le graphe de la fonction solution.
ExemplesSur la figure ci-dessus, les trois solutions correspondent successi-
vement aux CIsy(0) = 1 (cad quex0= 0 ety0= 1) ;y(0) = 2 ;y(0)