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2-cours-trigonometrie.doc O M N ? TRIGONOMETRIE La trigonométrie dans le triangle rectangle est bien utile pour calculer des angles et des longueurs mais hélas, elle se limite aux angles aigus. De plus, les angles que nous avons manipulés jusqu'à maintenant ? appelés angles géométriques ? ne sont pas orientés ce qui pose un problème pour tous les phénomènes de rotation. Comment décrire par exemple, le mouvement d'une planète qui tourne sur son orbite ? Ce genre de questions a conduit les mathématiciens et physiciens à redéfinir et élargir la notion d'angle puis de sinus et de cosinus. C'est ce que nous allons aborder avec ce chapitre ! I) SINUS ET COSINUS DANS LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE 1) Une nouvelle unité d'angle : le radian Le cercle ci-contre a pour rayon 1 : On l'appelle cercle trigonométrique. Complétons le tableau ci-dessous : Mesure de ? en degrés 0 30 45 60 90 180 360 Longueur de l'arc AM 2 Nous voyons donc que la longueur de l'arc AM permet de mesurer l'angle ?. Définition : La mesure d'un angle en radian est donc la longueur de l'arc qu'il intercepte dans le cercle trigonométrique. Pourquoi utiliser les radians plutôt que les degrés ? Car ils permettent de simplifier la plupart des formules et des calculs ou les angles interviennent ! Par exemple, dans le secteur angulaire de rayon R ci-dessous, on a : • MN = R ? • Aire = 1 2 R 2 ?

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2-cours-trigonometrie.doc TRIGONOMETRIE La trigonomtrie dans le triangle rectangle est bien utile pour calculer des angles et des longueurs mais hlas, elle se limite aux angles aigus. De plus, les angles que nous avons manipuls jusqu maintenant − appels angles gomtriques − ne sont pas orients ce qui pose un problme pour tous les phnomnes de rotation. Comment dcrire par exemple, le mouvement dune plante qui tourne sur son orbite ? Ce genre de questions a conduit les mathmaticiens et physiciens  redfinir et largir la notion dangle puis de sinus et de cosinus. Cest ce que nous allons aborder avec ce chapitre ! I) SINUS ET COSINUS DANS LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE 1) Une nouvelle unit dangle : le radian Le cercle ci-contre a pour rayon 1 : On lappelle cercle trigonomtrique. MCompltons le tableau ci-dessous : Mesure deαen degrs0 3045 60 90180 360 αO 2Longueur de larc AM ANous voyons donc que la longueur de larc AM permet de "mesurer" langleα. Dfinition :La mesure dun angle en radian est donc la longueur de larc quil intercepte dans le cercle trigonomtrique. Pourquoi utiliser les radians plutt que les degrs ? Car ils permettent de simplifier la plupart des formules et des calculs ou les angles interviennent ! Par exemple, dans le secteur angulaire de rayonRci-dessous, on a : NMN =Rαα1 O2 Aire =Rα2 M2) Angles orients JSur le cercle ci-contre, combien y a-t-il de points M tels que IOM =? 3 Pour placer M sans ambigut comme ci-contre, nous pouvons orienter cet angle et OIlcrire :(OI,OM) = −.(Ici nous avons tourn dans le sens indirect pour aller de I vers M)3 M
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2-cours-trigonometrie.doc 3) Les diffrentes mesures dun mme angle Imaginons que lon enroule une "ficelle gradue" autour du cercle /221trigonomtrique en partant du point I. Chaque longueurxde la ficelle M3va donc correspondre  un point M du cercle et donc aussi  un angle 0,Iorient (OI OM). O4Daprs ce qui prcde, on peut crire :(OI,OM) =xradians. Remarque : Pourquoi ne pas faire plusieurs tours autour du cercle ? Correspondant  chaque point du cercle, il y aura alors autant de valeurs dexque de tours ! 2410Plaons par exemple les points associs aux rels− , , J 33 3 On constate que ces trois rels sont associs au mme point et sont donc autant de mesures du mme angle orient (OI,OM) ! 24− +2= 433 3 OI10On remarque de plus que  2 10 3 − +4= 3 3 23 alor -On voit donc que sik, s2kcorrespond toujours  un nombre entier 2Mde tours complets et le nombre− +2k seraencore une mesure de 3 langle orient(OI,OM) Bilan : Tout angle orient a une infinit de mesures quivalentes :x,x+ 2,x− 2,x+ 4, …x+ 2kParmi toutes ces mesures, la mesure principale de l’angle est lunique mesure appartenant  ]−;] 4) Sinus et cosinus dun angle quelconque JLe triangle OHM ci-contre tant rectangle en H, en dduire lesMcoordonnes du point M en fonction dex: xM= OH = 1yM= HM = Ia) Nouvelle dfinition du sinus et du cosinus :HOSoitle cercle trigonomtrique muni du repre (O ; OI ; OJ). xtant un rel quelconque, on appelle cosxet sinxles coordonnes du point M deassoci  l’angle orient de mesurexb) Proprits : cosxPour toutxde :sinxcosx+ sinx=
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II) LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS 1) La fonction sinus :xsinx avecxPour toutxdesin (−, centr en 0,x) = En dduire la parit de la fonction sinus puis,sans calculatrice, complter ci-dessous sa reprsentation graphique sur [−; 0] Pour toutxde,xetx+ 2sont deux mesures du mme angle donc sin (x+ 2) = On dit alors que la fonction sinus est priodique de priode 2. Sans calculatrice, en dduire ci-dessous sa reprsentation graphique sur [; 3] 1
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2) La fonction cosinus :xcosx avecxPour toutxde, centr en 0,cos (−x) = En dduire la parit de la fonction cosinus puis,sans calculatrice, complter ci-dessous sa reprsentation graphique sur [−; 0] Pour toutxde,xetx+ 2sont deux mesures du mme angle donc cos (x+ 2) = On dit alors que la fonction cosinus est priodique de priode 2. Sans calculatrice, en dduire ci-dessous sa reprsentation graphique sur [; 3] 1
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