Coursetexercices de Mathématiques Deuxième année-Premiersemestre

Description

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• cours - matière potentielle : iii
• cours - matière potentielle : du premier semestre

1MATHEMATIQUES Cours et exercices de Mathématiques Deuxième année- Premier semestre

• théorème de dirichlet
• scalaire d'ordre1
• equations différentielles linéaires d'ordre
• développement en série entière
• équations différentielles linéaires
• equations différentielles linéaires
• série trigonométrique
• séries trigonométriques
• équation différentielle linéaire
• coefficients constants

Sujets

• mathématiques
• mathématique

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Extrait

1
MATHEMATIQUES
Cours et exercices de Mathématiques
Deuxième année- Premier semestre
[e-mail]2i
1Notes du cours du premier semestre 2006-2007
Les définitions, les énoncés des théorèmes et des exemples traités en cours.
1Ce document constitue seulement une aide à la prise de notes de cours. Il est indis-
pensable de noter les démonstrations et les exemplesiiPremière partie
cours
iiiTable des matières
I cours iii
1 équations différentielles linéaires 1
1.1 Equations différentielles scalaires d’ordre 1 . . . . . . 3
1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 étude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Boîte à outil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Equations différentielles linéaires d’ordre 1 - inconnue vectorielle 7
1.2.1 définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Approche théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 cas d’équations à coeffcients constants lorsque la ma-
trice est diagonalisable dansK . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 boîte à outils dans le cas de coefficients constants . . . 14
1.3 Equations différentielles linéaires scalaires d’ordre n . . . . . . 15
1.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Etude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Cas d’équations à coefficients constants . . . . . . . . . 20
II exercices du cours 23
2 équations différentielles 27
2.1 équationtielle linéaire scalaire d’ordre1 . . . . . . . . . 28
2.1.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 équations scalaires d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 exercices d’apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . 37
2.4 problème de physique : un montage électrique . . . . . . . . . 39
vvi
3 séries numériques 41
3.1 les séries télescopiques et séries de référence . . . . . . . . . . 41
3.1.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 opérations sur les termes d’une série . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 travaux dirigés suites et séries de fonctions 51
4.1 suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 séries de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 travaux dirigés séries trigonométriques 61
5.1 séries de fonctions trigonémétriques . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 problème de mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 travaux dirigés séries entières 73
6.1 domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.2 plus difficile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.3 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 propriété de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3 développement en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3.2 pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.4 exponentielle de la variable complexe . . . . . . . . . . . . . . 79lanière M-notes de cours Martine Picq vii
6.4.1 apprentissage du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79viii lanière M-notes de cours Martine Picq