Critère de positivité de Li et l'hypothèse de Riemann

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Critère de positivité de Li et l'hypothèse de Riemann Kamel Mazhouda Faculté des sciences de Monatir, Tunisie LIPN (Université Paris 13), 17 décembre 2009

  • produit eulérien

  • développement en produit de weierstraß

  • formule arithmétique de coe?cients de li

  • série ∑

  • entier naturel

  • zéros triviaux de ?

  • xian-jin li

  • ligne critique


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Publié le 01 décembre 2009
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Langue Français
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desCrit?reersit?deTp17ositivit?dedeLIPNLiarisetbrel'hsciencesypMonatir,oth?seunisiede(UnivRiemannPKamel13),Mazhoudad?cemF2009acult?.T.able.des1mati?res.0.1.La.fonction.z?ta.de.Riemann..ecien.La.......Crit?re...........4.................................de...........ule....2.0.1.1.D?nitionerg.............................4.Li.......................0.2.1.......................F.de.de....2.0.1.2.Pro.duit.eul?rien6.de.......................Riemann.....................................0.2.de..............2.0.1.3.?quation.fonctionnelle..........................4.Crit?re.Li...........................................0.2.22orm0.1.4arithm?tiqueProlongemencottsanalytiqueLi...........................0.3.classe.Selb......................................3.0.1.5.Hyp7oth?sedefs2C Re(s)> 1g
+1X 1
(s) = :
sn
n=1
P +1 log n > 1 0n=1 n
1 me]1; +1[ C k
+1 kkX ( 1) log n(k)
(s) = :sn
n=1
k 0
[a; +1[ a> 1
fs2
C Re(s)> 1g
+(s) +1 s 1 R
P N s Re(s)> 1
Q 1 fs2 C Re(s) agsp2P 1 p
a> 1
Y 1
8s2C Re(s)> 1; (s) = :s1 p
p2P
(s) = 0 s Re(s)> 1
X 1 +
= log(s 1) +A +o(1); s2R; s! 1 ;sp
p2P
P 1A p2P p
s=2 (1 s)=28s2C; ( s=2)(s) = ((1 s)=2)(1 s):
Re(z)> 1
Z +1
z 1 u ( z) = u e du:
0
2u =n x
Z +11 s 2s=2 1 n x2 ( s=2) = x e dx:
sn 0
neeet,nombrestunnctc?quationonverregepuniform?mentLsur,tout?riedemi-planidealorslalaformelaettdeestemiersEnprpartelz?taqueanesetnombrestdesz?tal'ensembleourSoitcon1aositionleProppaveappcoeul?rien0.1.1duitcertaineProteetla0.1.2outr.erge.dansLasRiemanntelfonctionnelleque:rd?rivedevfonctendtelorsqueersLaeetvergetendour3.?.,queRapptelteldemi-pland?nieleonsurtholomorphelefonctiononuneOnesteRiemannxeAlors,p1.unedecoz?tastantionr?elle.oncparticulier,6s?riefelaEnpdivour0.1.3toutfonctionnellet,fonctionteldequevralemenl'?quation?suivnteg?donn?ePlus?e2.sa.classe.on2.tOnunea?leind?vstelopprefonctionmen1.t,asymptotiquetoutsuivpanEntpcverievsaqueformeonlaelonsdearallequetervdemi-planinsurtoutfonctionsurz?ta,normaleEnestosans?rieilafodeelergence,vobtienconduitc1omprplD?nitione.LaD?nitionourRiemanno?lade,z?tatierfonctionen0.1touttel2queZ+1 +1X s 2s=2 1 n x2 ( s=2)(s) = x e dx:
0n=1
RP
Re(s) > 1
!Z +1+1 Xs 2s=2 1 n x2 ( s=2)(s) = x e dx
0 n=1
Z Z1 +1
s 1
2= + x !(x)dx;
0 1
P 2+1 n x 1!(x) = e = ((x) 1) (x)n=1 2
1
(x) =p (1=x):
x
p p1 1
!(1=x) = ((1=x) 1) = x!(x) + ( x 1):
2 2
x7 ! 1=x
Z Z+1 +1
s s+1 1 112 2x !(1=x)dx = x !(x)dx + + :
s 1 s1 1
Z +1 1 s+1 ss=2 12 2 ( s=2)(s) = + x +x !(x)dx:
s(s 1) 1
x!(x) e
s s2C
s7 ! 1 s
Re(s)> 0
Z +1s [u] u
(s) = +s du:
s+1s 1 u1
N;M N < M s
sRe(s) > 1 F (u) = u ; = 1n
=nn
Z MX 1 [u]1 s 1 s= M N +s du
s s+1n uNN<nM
Z ZM M
[u] u u1 s 1 s= M N +s du +s du
s+1 s+1u uN N
Z M1 [u] u1 s 1 s= M N +s du:
s+1s 1 uN
M!1
Z1 s +1X 1 N [u] u
(s) = + + du:
s s+1n s 1 uNnN
1< [u] u 0 s Re(s)> 0 N
vunpremiernom?bresuitecomplexeth?tatelpque,tierslaenadeuxo?tOnSoienp.leD?monstrationt.devienEnhangemeutilisant,tfonctionnellelafonctionformergence.uleermdelesommationl'inpartelpartieet(duet?grale??d'Abonel)Painvtecleaouron,,arPour?rie2laositionestPropeneconuetalytiqonanmemt.et,Prolongemene0.1.4tout.brel'applicationAlors,naturelsettelsque,secondondansobtienl'intl'estimationparGr?cetobtienan,iarrtat?gralevpremi?rein,tnsceecbrePmemAsecondons?quenleonquectPremarquanl'?quationnvefonctioneth?ta.h?vlaacets'd?duit,d?monstrationOnlavAinsila.gr?cetoututeourppbre,vraieaestsecondl'?galit?Danssuiteourpard?nietalorstoutt?gralourexistepourergeestvqueconmemteLepr?c?den?mem(bretoutde).l'?gali3tfs2C Re(s)> 0g
s = 1
C

s=2
(s) :=s(s 1) ( s=2)(s):
(s)
(s)
0 Re(s) 1
Y s
(s) =(0) 1 ;


(0) = 1=2 (s)

(s) =(1 s):
Re(s) = 1=2
Re(s) = 1=2
N(T ) = f : () = 0; = +i ; 0 1 jjTg
1 1 7
= T logT + log(2e)T + +O(logT ):
2 2 8

z 1
(z) := = :
1 z 1 z
z 1z7 ! fzj0<Re(z)< g jzj< 1z 1 2
0 (z)
(z)
f gn n2N
n 1 d n 1
:= z log(z) ;n n z=1(n 1)!dz
0 n2Nn
0.1.5qetueolongementnoiet,analytique.lanumbsym?triefonctionnelleparcomplrappsiortpar?anla325ligneLacritiquez?rosonsRiemanncdisqueardePsur:1.pleunsimz?tonnellepfonctiJ.devienoth?settouttrivvraieiplusale.ord,Alors,mlefonctions?z?rosRiemannsonositiontsnonlaseulemendetfoncseym?entrqueiiemannqlue?sseparRrapptheoryort(Crit?re?estl'axear?el,deils?galit?son?tNotonsaussil'applicationsym?triquesqueparenrappnsortpar??taladelignelacritique.t?rieurL'houvypoth?seoth?seAlorsdeL'hypRiemanniemannpvrostuleseulementque.l'?quationse.fonctionz?roslason?tsuiteenbresfaitrsur?lelaplignedanscritiqueun?riedevonfonctionth?or?mela(plus,Li,Deof.edeandtriviauxhyp.bCes(2)z?rosTh?or?mesonLi)tRenaienomsibrepinniCorollaireettriviauxvdeuxi?me?rienesttgr?ceunel'?quationformci-dessus.ulededequetconformeyplesenotonsRiemann-VD'abonvMangoldt.l'enonez?rosblelesd?nieparcourtdeo?zetlao??t?e:fonctionHadamardConsid?ronsdel'induitduprounit?nomertledesousHypu.connPropeierstra?,3Woth?sedeRduiteprotnaieeettsietfonctionementoutoppprolongeelRiemannd?vz?taunestadmetSoitettionnelle,critiquel'?quationbandeGr?celaunedansdtousnomtd?nieen?sidutrouvdesesimplenon-triviauxprosourz?saufdesteltanalytiqueseulemenpraadmetAinsi,R.afonctionalorslaadeetssuivondantcorrespduesimplesXian-Jin0.2TheCrit?reositivitydeaLiquenc0.2.1ofCrit?reersdetheLiiemannConsid?ronsothesis,laNumfonctioner?les65p(1997)les333).par1ul?sdeannL'hyptdesoniemannquivrn?gatifs,sipairsseulementtiersfonction?enLdesourtous1tsontous4lesn
0 X (z) n
= z ;n+1
(z)
n0
nX 1
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1X1 j(z) := := 1 + a z :j
1 z
j=1
n
1log aj1 z
Z j p 1h i X 01 1j 1 3=2 0 p 1=2a = 4 x ! (x) logx 1 + ( 1) x dx;j j p p! 2pp=1
P 21 n x!(x) := e ajn=1
0 1 !
1 1 1X X X
n i j@ Ana z = a z z ;n i j+1
n=1 i=0 j=0
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z