Definition Soit A une algebre sur C equipee d'une norme On dit que A est une algebre de Banach si les deux conditions suivantes sont satisfaites
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Chapitre 6 Algebres de Banach 6.1 Introduction Definition 6.1.1 Soit A une algebre sur C equipee d'une norme ?·?. On dit que A est une algebre de Banach si les deux conditions suivantes sont satisfaites : (i) A est un C-espace de Banach (i.e. un C-espace vectoriel norme, complet) (ii) pour tous x, y ? A, on a ?xy? ≤ ?x??y?. Si de plus, il existe un element e ? A tel que xe = ex = x (x ? A) et ?e? = 1, alors, on dit que A est une algebre de Banach unitaire. L'element e s'appelle l'element unite de l'algebre A. Enfin, nous dirons qu'une algebre A est commutative si xy = yx pour tous x, y ? A. Remarque 6.1.1 • Il existe au plus un element unite e. • Concernant l'existence d'un element unite, notons qu'on peut toujours “plon- ger” isometriquement une algebre de Banach quelconque dans une algebre de Banach unitaire. En effet, si A est une algebre de Banach (sans unite), 51 algebre de banach unitaire algebres de banach conjugaison complexe temps des proprietes algebriques et des proprietes topologiques lemme elementaire sur les elements inversibles ?xn? ≤ norme du sup
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Chapitre 6
Alg`ebresdeBanach
6.1 Introduction
D´efinition6.1.1SoitA`ebrealgesurnuC´eqee’diu´proemnunek k. On dit que Aedxuocdncashliseivantessitionssutiaf:sestnositastee`glaenunaBederb (i)Aest unC-espace de Banach (i.e. unCrielectoacev-esp)telpmoc,e´mron (ii)pour tousx y∈ A, on a
kxyk ≤ kxkkyk
Sideplus,ilexisteun´el´emente∈ Atel que
xe=ex=x(x∈ A)etkek= 1
alors, on dit queAlaenutsetnerL.tiiae´em´’leredeg`ebchunBanaes’appelle l’e´le´mentunit´edel’alge`breA. Enfin,nousdironsqu’unealge`breAest commutative sixy=yxpour tous x y∈ A.
Remarque 6.1.1•pelxuissteaIull´emun´ein´tneutee. •l’ntnaerncteisexle´nu’denutneme´oCcnn-it´e,notonsqu’oneptuotjuuosrp“ol ger”isom´etriquementunealge`bredeBanachquelconquedansunealg`ebre de Banach unitaire. En effet, siAsterbdeBenanuaegle`unit´e),ach(sans
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` CHAPITRE 6. ALGEBRES DE BANACH
alors on poseA♯=A ×C, muni de sa structure d’espace vectoriel produit carte´sienetondefinitlamultiplicationsurA♯par ´ (x α)(y β) := (αy+βx+xy αβ) La norme surA♯elets´delinfiearep k(x α)k:=kxk+|α| Alorsonv´erifie(exercice6.8.5)queA♯irtaeeglaenutseBedbr`enihuacan etAeuqitnemmosirte´plsegeondansA♯. •La condition(ii)itacilpitlumaleditfa.1.1n6ioitfinionerateop´onunnalsdae´d continue deA × AdansA. Ceci signifie que sixn→xetyn→y, alors xnyn→xyeti´ecouledel’´egal,ecuqdi ´ xnyn−xy= (xn−x)yn+x(yn−y) Enparticulier,lamultiplicationestcontinue`agaucheetcontinuea`droite: xny→xyetxyn→xy(6.1)
sixn→xetyn→y. Commeonleverradansl’exercice6.8.1,lacondition(ii)peuteˆtreremplace´e par la condition (6.1) (apparemment plus faible) et la condition de normalisation del’´el´ementunit´epeutˆtreomisesans´elargirlaclassedesalg`ebresconside´re´es. e Donnonsmaintenantquelquespremiersexemplesclassiquesd’alge`bresdeBa-nach.
Exemple 6.1.1(a)SoitX l’ensembleun ensemple quelconque ;B(X)des fonc-tionsborne´esdeXdansC,´p´edequileeltdseanelmeorposeare´noitusus du “sup” kfk∞:= sup|f(x)| x∈X estunealg`ebredeBanachunitaire,commutative.(Notonsquecettealg`ebre est, pourX=N,erg`ebl’alℓ∞edssbsroiuet)sexelpm.ensdeen´coesbrom
6.1. INTRODUCTION
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(b)SiXun espace topologique compact, l’ensembleC(X)des fonctions conti-nues deXdansCestusup,g`ebnealaBaneredhcledinum,udemrona unitaireetcommutative.Enfait,c’estunesous-alg`ebreferme´edeB(X)! (c)SiEest unC-espace de Banach, l’ensembleL(E)acitppiledassairein´eonsl etborn´eesdeEnacauhine`rbdeBeurlataire,poadulsnunstlgeamˆi-eeem “normeop´erateur”
kTk:= supkT xk x∈Ekxk≤1 Cettealg`ebreestnoncommutatived`esquedimE >1. (d)la`guo-stuseoTeed´ermfereebL(E)eestunee´aretrudineit´tpo’ltnanetnocte alg`ebredeBanachunitaire.Enfait,onpeutmontrerquetoutealge`brede Banachunitaireestisomorphe`aunesous-alge`breferm´eedeL(E), conte-nantl’identit´e(voirexercice6.8.1). (e)SoitΩ.u.e(ineaiomndub)exennoctrevuonompllanceduporn´er`gbe’Llaxe.e H∞(Ω),snocutitdee´foestincshonomolrohpseteobnre´sesurΩ, est une alg`ebredeBanachunitaireetcommutativepourlanormedusup. (f)SoitKun sous-ensemble compact non vide deCetA(K)lsteouetedbr`elg’a les fonctionsfcontinues surKieerdeura`’lni´tmorohpseetholK. Alors A(K)uosela-senutseref`gbedeemre´C(K)munie de la norme du sup. C’est doncunealg`ebredeBanach.LorsqueK=Dtledisqueunit´efmreedese ´ C, on appelleA(D)l’.uge`saqlrdieedbu
Remarque 6.1.2eeniremmˆdeBabreslg`edesavrnenietaftianhceiroe´htaL tempsdesproprie´te´salg´ebriquesetdesproprie´te´stopologiquesetcommenousal-lonslevoirdanscecours,unvaetvientconstantentrecesdeuxtypesdepropriet´e permetd’obtenirtr`essimplementdesr´esultatsparfoissurprenants.Ilexisteaussi d’´etroitesrelationsentrelesalge`bresdeBanachetlesfonctionsholomorphes:la d´emonstrationlaplusfaciledufaitfondamentalquelespectred’une´l´ementd’une algebredeBanachn’estjamaisvidereposesurlethe´ore`medeLiouvilleetlafor-`
` 54CHAPITRE 6. ALGEBRES DE BANACH muledurayonspectrald´ecoulenaturellementdethe´ore`messurled´loppements s eve ens´erieentie`respourlesfonctionsholomorphes.C’estla`unedesraisonspour restreindrenotreattentionauxalge`bresdeBanachcomplexes.Uneautreraison est queCniovutendaemocalgujnasa`riovretue,lltilunaonplexe,etaisoncom quebeaucoupdepropri´ete´simportantesdesalg`ebresdeBanachd´endentdela ep pr´esenced’uneinvolution. Lathe´oriedesalge`bresdeBanachreelles(dontnousnedonnonspasla ´ d´efinitionquieste´vidente)n’estpasaussisatisfaisanteetriche.
6.2Inversibilit´eetspectre. ¸nsproduirelapremie`renotionalg´ebriquefondamentale. Nous commenco ar int
D´efinition6.2.1SoitAuneaneteml´´eUne.irtaniuhcanaBederbe`glx∈ A est dit inversible s’il admet un inverse dansAxisteun´el´ement-tsed-a`serieli’c’, − x1∈ Atel que e = x−1x=xx−1 o`ueneme´le´de´tinutel’steA. On noteraInv(A)ssrnbmielnieev’sneees´tl´bldmeeelesdA. Il est facile de voir que : •six∈ Aceseasrii,elts´nque.ementuniseernvnitumead • Inv(Aest un groupe (pour la multiplication).) Nousallonsdonnerunlemmee´l´ementairesurles´ele´mentsinversiblesquisera crucialdanstoutelasuite.Celemmemontrecommentcettenotionalge´briquese m´elangeaveclatopologie.
Lemme 6.2.1SoitAteeinuhriatBedecana`ebrealgunx∈ Atel quekxk<1. Alors (a)e−x∈ Inv(A),
