Definition Soit A une algebre sur C equipee d'une norme On dit que A est une algebre de Banach si les deux conditions suivantes sont satisfaites

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Chapitre 6 Algebres de Banach 6.1 Introduction Definition 6.1.1 Soit A une algebre sur C equipee d'une norme ?·?. On dit que A est une algebre de Banach si les deux conditions suivantes sont satisfaites : (i) A est un C-espace de Banach (i.e. un C-espace vectoriel norme, complet) (ii) pour tous x, y ? A, on a ?xy? ≤ ?x??y?. Si de plus, il existe un element e ? A tel que xe = ex = x (x ? A) et ?e? = 1, alors, on dit que A est une algebre de Banach unitaire. L'element e s'appelle l'element unite de l'algebre A. Enfin, nous dirons qu'une algebre A est commutative si xy = yx pour tous x, y ? A. Remarque 6.1.1 • Il existe au plus un element unite e. • Concernant l'existence d'un element unite, notons qu'on peut toujours “plon- ger” isometriquement une algebre de Banach quelconque dans une algebre de Banach unitaire. En effet, si A est une algebre de Banach (sans unite), 51

• algebre de banach unitaire


• algebres de banach


• conjugaison complexe


• temps des proprietes algebriques et des proprietes topologiques


• lemme elementaire sur les elements inversibles


• ?xn? ≤


• norme du sup

Sujets

• multiplication
• conjugaison
• exercice
• cours
• exercices

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Extrait

Chapitre 6

Alg`ebresdeBanach

6.1 Introduction

D´efinition6.1.1SoitA`ebrealgesurnuC´eqee’diu´proemnunek  k. On dit que Aedxuocdncashliseivantessitionssutiaf:sestnositastee`glaenunaBederb (i)Aest unC-espace de Banach (i.e. unCrielectoacev-esp)telpmoc,e´mron (ii)pour tousx y∈ A, on a

kxyk ≤ kxkkyk

Sideplus,ilexisteun´el´emente∈ Atel que

xe=ex=x(x∈ A)etkek= 1

alors, on dit queAlaenutsetnerL.tiiae´em´’leredeg`ebchunBanaes’appelle l’e´le´mentunit´edel’alge`breA. Enfin,nousdironsqu’unealge`breAest commutative sixy=yxpour tous x y∈ A.

Remarque 6.1.1•pelxuissteaIull´emun´ein´tneutee. •l’ntnaerncteisexle´nu’denutneme´oCcnn-it´e,notonsqu’oneptuotjuuosrp“ol ger”isom´etriquementunealge`bredeBanachquelconquedansunealg`ebre de Banach unitaire. En effet, siAsterbdeBenanuaegle`unit´e),ach(sans

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` CHAPITRE 6. ALGEBRES DE BANACH

alors on poseA ♯ =A ×C, muni de sa structure d’espace vectoriel produit carte´sienetondefinitlamultiplicationsurA ♯ par ´ (x α)(y β) := (αy+βx+xy αβ) La norme surA ♯ elets´delinfiearep k(x α)k:=kxk+|α| Alorsonv´erifie(exercice6.8.5)queA ♯ irtaeeglaenutseBedbr`enihuacan etAeuqitnemmosirte´plsegeondansA ♯ . •La condition(ii)itacilpitlumaleditfa.1.1n6ioitfinionerateop´onunnalsdae´d continue deA × AdansA. Ceci signifie que six n →xety n →y, alors x n y n →xyeti´ecouledel’´egal,ecuqdi ´ x n y n −xy= (x n −x)y n +x(y n −y) Enparticulier,lamultiplicationestcontinue`agaucheetcontinuea`droite: x n y→xyetxy n →xy(6.1)

six n →xety n →y. Commeonleverradansl’exercice6.8.1,lacondition(ii)peuteˆtreremplace´e par la condition (6.1) (apparemment plus faible) et la condition de normalisation del’´el´ementunit´epeutˆtreomisesans´elargirlaclassedesalg`ebresconside´re´es. e Donnonsmaintenantquelquespremiersexemplesclassiquesd’alge`bresdeBa- nach.

Exemple 6.1.1(a)SoitX l’ensembleun ensemple quelconque ;B(X)des fonc- tionsborne´esdeXdansC,´p´edequileeltdseanelmeorposeare´noitusus du “sup” kfk ∞ := sup|f(x)| x∈X estunealg`ebredeBanachunitaire,commutative.(Notonsquecettealg`ebre est, pourX=N,erg`ebl’alℓ ∞ edssbsroiuet)sexelpm.ensdeen´coesbrom

6.1. INTRODUCTION

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(b)SiXun espace topologique compact, l’ensembleC(X)des fonctions conti- nues deXdansCestusup,g`ebnealaBaneredhcledinum,udemrona unitaireetcommutative.Enfait,c’estunesous-alg`ebreferme´edeB(X)! (c)SiEest unC-espace de Banach, l’ensembleL(E)acitppiledassairein´eonsl etborn´eesdeEnacauhine`rbdeBeurlataire,poadulsnunstlgeamˆi-eeem “normeop´erateur”

kTk:= supkT xk x∈Ekxk≤1 Cettealg`ebreestnoncommutatived`esquedimE >1. (d)la`guo-stuseoTeed´ermfereebL(E)eestunee´aretrudineit´tpo’ltnanetnocte alg`ebredeBanachunitaire.Enfait,onpeutmontrerquetoutealge`brede Banachunitaireestisomorphe`aunesous-alge`breferm´eedeL(E), conte- nantl’identit´e(voirexercice6.8.1). (e)SoitΩ.u.e(ineaiomndub)exennoctrevuonompllanceduporn´er`gbe’Llaxe.e H ∞ (Ω),snocutitdee´foestincshonomolrohpseteobnre´sesurΩ, est une alg`ebredeBanachunitaireetcommutativepourlanormedusup. (f)SoitKun sous-ensemble compact non vide deCetA(K)lsteouetedbr`elg’a les fonctionsfcontinues surKieerdeura`’lni´tmorohpseetholK. Alors A(K)uosela-senutseref`gbedeemre´C(K)munie de la norme du sup. C’est doncunealg`ebredeBanach.LorsqueK=Dtledisqueunit´efmreedese ´ C, on appelleA(D)l’.uge`saqlrdieedbu

Remarque 6.1.2eeniremmˆdeBabreslg`edesavrnenietaftianhceiroe´htaL tempsdesproprie´te´salg´ebriquesetdesproprie´te´stopologiquesetcommenousal- lonslevoirdanscecours,unvaetvientconstantentrecesdeuxtypesdepropriet´e permetd’obtenirtr`essimplementdesr´esultatsparfoissurprenants.Ilexisteaussi d’´etroitesrelationsentrelesalge`bresdeBanachetlesfonctionsholomorphes:la d´emonstrationlaplusfaciledufaitfondamentalquelespectred’une´l´ementd’une algebredeBanachn’estjamaisvidereposesurlethe´ore`medeLiouvilleetlafor-`

` 54CHAPITRE 6. ALGEBRES DE BANACH muledurayonspectrald´ecoulenaturellementdethe´ore`messurled´loppements s eve ens´erieentie`respourlesfonctionsholomorphes.C’estla`unedesraisonspour restreindrenotreattentionauxalge`bresdeBanachcomplexes.Uneautreraison est queCniovutendaemocalgujnasa`riovretue,lltilunaonplexe,etaisoncom quebeaucoupdepropri´ete´simportantesdesalg`ebresdeBanachd´endentdela ep pr´esenced’uneinvolution. Lathe´oriedesalge`bresdeBanachreelles(dontnousnedonnonspasla ´ d´efinitionquieste´vidente)n’estpasaussisatisfaisanteetriche.

6.2Inversibilit´eetspectre. ¸nsproduirelapremie`renotionalg´ebriquefondamentale. Nous commenco ar int

D´efinition6.2.1SoitAuneaneteml´´eUne.irtaniuhcanaBederbe`glx∈ A est dit inversible s’il admet un inverse dansAxisteun´el´ement-tsed-a`serieli’c’, − x 1 ∈ Atel que e = x −1 x=xx −1 o`ueneme´le´de´tinutel’steA. On noteraInv(A)ssrnbmielnieev’sneees´tl´bldmeeelesdA. Il est facile de voir que : •six∈ Aceseasrii,elts´nque.ementuniseernvnitumead • Inv(Aest un groupe (pour la multiplication).) Nousallonsdonnerunlemmee´l´ementairesurles´ele´mentsinversiblesquisera crucialdanstoutelasuite.Celemmemontrecommentcettenotionalge´briquese m´elangeaveclatopologie.

Lemme 6.2.1SoitAteeinuhriatBedecana`ebrealgunx∈ Atel quekxk<1. Alors (a)e−x∈ Inv(A),